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§3 全称量词与存在量词


3.1 全称量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有 什么关系? (1) X > 3 ;
(2)2x+1是整数;

(3)对所有的x?R,x >3;
(4)对任意一个x?2x+1是整数.

短语“对所有的”, “对任意一 个”在逻辑中通常叫做

全称量词, 并用符号 “ ? ”表示.含有全称 量词的命题,叫做全称命题.
常见的全称量词有: “对所有的”, “对任意一个”, “对一 切”, “对每一个”, “任给”, “所有的” 等.

例如,命题:
所有的正方形都是矩形;

对任意的n ? Z,2n+1是奇数。

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。

符号
全称命题 “对M中任意一个x有 p(x)成立”可用符号简记为

?x ? M , p( x)
读作 “对任意x属于M,有p(x)成 立”.

例1判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数;

(2) ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1;
(3)对每一个无理数x, x2也是无理数.

3.2 存在量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之 间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)X能被2和3整除;

(3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3;
(4)至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除.

短语 “存在一个”,“至少有一个”在 逻辑上通常叫做存在量词,并用符号“ ? ” 表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.

常见的存在量词有:
“存在一个”,“至少有一个”,“有些”,

?

“有一个”,“有的”,“对某个”等.

例如,命题:
有的平行四边形是菱形;

有一个素数不是奇数;
有的向量方向不定;

存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
有一些实数不能取对数.

特称命题”存在M中的一个x,使p(x) 成 立”可用符号简记为

?x0 ? M , p( x0).
读作“存在一个x0,使p(x0)成立”.

例2 判断下列特称命题的真假:
? 有一个实数x0,使 x
2 0

? 2 x0 ? 3 ? 0;

? 存在两个相交平面垂直于同一条直线; ? 有些整数只有两个正因数.

练习

P

3.3 全称命题与特称 命题的否定

探究
写出下列命题的否定

?x ? M,p(x) 1)所有的矩形都是平行四边形;

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0. 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

?x0 ? M,?p(x0 ) 1)存在一个矩形不是平行四边形;

3)?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0.
2

?x0 ? M,?p(x0 ) ?x0 ? M,?p(x0 )

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:

?x ? M , P( x), 全称命题P: ? ? ?x0 ? M , P(x0 ). 它的否定 P:
全称命题的否定是特称命题.

例3 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p:对任意 x ? Z , x2 的个位数字不等于3.

探究
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x0 ? M,p(x0 )

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x0 ? R, x02 ? 1 ? 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x0 ? M,p(x0 ) ?x0 ? M,p(x0 )
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个特称命题的否定 都变成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的 否定,有下面的结论:

?x0 ? M , P(x0 ). 特称命题P:
它的否定 P: ?x ? M , P( x),
?

?

特称命题的否定是全称命题.

例4 写出下列特称命题的否定
2 ? x ? R , x (1)p: 0 0 ? 2 x0 ? 2 ? 0

(2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含三个正因数.

例5写出下列命题的否定,并判断真假: 1)p:任意两个等边三角形都是相似的;

2)p:?x0 ? R,x +2x0 +2=0;
2 0

练习 P14


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