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2016年高考数学二轮复习 第一部分专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用专题强化精练提能 理

时间:2016-05-07


第一部分专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第 3 讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用专题强化精练提能 理
1.已知幂函数 f(x)=xα 的图象过点(4,2),若 f(m)=3,则实数 m 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.±9 D.9 1 2 解析:选 D.由幂函数 f(x)=xα 过点(4,2)可得 4α =2 α =2,所以 α = ,所

以 f(x) 2 1 =x2= x,故 f(m)= m=3? m=9. x x 2.已知 f(x)=a 和 g(x)=b 是指数函数,则“f(2)>g(2)”是“a>b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 解析:选 C.由已知可得 a,b>0 且 a,b≠1,充分性:f(2)=a ,g(2)=b ,由 f(2)>g(2) 2 2 2 知,a >b ,再结合 y=x 在(0,+∞)上单调递增,可知 a>b,故充分性成立;必要性:由题 可知 a>b>0,构造 h(x)=

f(x) ax ?a?x a = x=? ? ,显然 >1,所以 h(x)在(0,+∞)上单调递增, g(x) b ?b? b
2 2

故 h(2)= 2>h(0)=1,所以 a >b ,故必要性成立.故选 C.
- 1 2

a2 b

3.(2015·河北省五校联盟质量监测)设 a=log32,b=ln 2,c=5 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a
- 1 2

,则(

)

解析:选 C.因为 c=5



1 1 ln 2 1 < ,a=log32= <ln 2=b,a=log32>log3 3= ,所 2 ln 3 2 5

以 c<a<b,故选 C. 4. (2015·郑州模拟)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间 t 1 2 内的路程为 s= t 米,那么,此人( ) 2 A.可在 7 秒内追上汽车 B.可在 9 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但期间最近距离为 14 米 D.不能追上汽车,但期间最近距离为 7 米 1 2 1 2 解析:选 D.车与人的间距 d=(s+25)-6t= t -6t+25= (t-6) +7.当 t=6 时,d 2 2 取得最小值为 7.故选 D. 1 5.函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标所在的区间为( )

x

B.(1,2) D.(3,4) 1 1 解析:选 B.令 f(x)=ln(x+1)- ,因为 f(2)=ln 3- >0,f(1)=ln 2-1<0,又函 x 2 数 f(x)在(1,2)上的图象是一条连续不断的曲线,所以函数 f(x)在区间(1,2)内有零点,

A.(0,1) C.(2,3)

1

1 此零点即函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标.

x

? ?1-2 ,x≥1, 6.(2015·东营市摸底考试)已知函数 f(x)=? 3 则方程 2f(x)=1 的根 ?x -3x+2,x<1, ?

1-x

的个数为( A.1 C.3

) B.2 D.4

1 1 1-x 解析:选 C.依题意,由 2f(x)=1 得 f(x)= .当 x≥1 时,f(x)=1-2 = ,解得 x= 2 2 1 3 3 2 2; 当 x<1 时, f(x)=x3-3x+2= , x3-3x+ =0.记 g(x)=x3-3x+ , 则 g′(x)=3x -3, 2 2 2 当 x<-1 时,g′(x)>0,当-1<x<1 时,g′(x)<0,g(x)在区间(-∞,-1)上是增函数, 7 1 在区间(-1,1)上是减函数,且 g(-1)= ,g(1)=- ,因此 g(x)在区间(-∞,1)上有 2 2 2 个零点.故方程 2f(x)=1 的根的个数为 3,选 C. 3 - 16 5 4 ? ? 4 7.(2014·高考安徽卷)? ? +log3 +log3 =________. 4 5 ?81? 3 - 5 4 ?2?-3 27 27 ?16? 4 解析:? ? +log3 +log3 =? ? +log31= +0= . 4 5 ?3? 8 8 ?81? 27 答案: 8 ? ?x+3,x≤1, 8.已知 f(x)=? 2 ?-x +2x+3,x>1, ? x 则函数 g(x)=f(x)-e 的零点个数为________. x x 解析: 函数 g(x)=f(x)-e 的零点个数即为函数 y=f(x)与 y=e 的图象的交点个数. 作 x 出函数图象可知有 2 个交点,即函数 g(x)=f(x)-e 有 2 个零点.

答案:2 9.已知函数 f(x)=ln x-x-a 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为________. 解析:函数 f(x)=ln x-x-a 的零点即关于 x 的方程 ln x-x-a=0 的实根,将方程 化为 ln x=x+a,令 y1=ln x,y2=x+a,由导数知识可知当两曲线相切时有 a=-1.若函 数 f(x)=ln x-x-a 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 10. 如图,线段 EF 的长度为 1,端点 E,F 在边长不小于 1 的正方形 ABCD 的四边上滑 动,当 E,F 沿着正方形的四边滑动一周时,EF 的中点 M 所形成的轨迹为 G,若 G 的周长为 l,其围成的面积为 S,则 l-S 的最大值为________.

2

解析:

设正方形的边长为 a(a≥1),当 E,F 沿着正方形的四边滑动一周时,EF 的中点 M 的轨 1 迹如图,是由半径均为 的四段圆弧与长度均为 a-1 的四条线段围成的封闭图形,周长 l= 2 π 5π 2 2 π +4(a-1), 面积 S=a - , 所以 l-S=-a +4a+ -4(a≥1), 由二次函数的知识得, 4 4 5π 当 a=2 时,l-S 取得最大值 . 4 5π 答案: 4 2 x 11.已知函数 y=lg(-x +x+2)的定义域为 A,指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)(x∈A)的 值域为 B. (1)若 a=2,求 A∪B; ?1 ? (2)若 A∩B=? ,2?,求 a 的值. ?2 ? 2 解:(1)依题意知 A={x|-x +x+2>0},即 A=(-1,2). ?1 ? ?1 ? x x 若 a=2,则 y=a =2 ∈? ,4?,即 B=? ,4?,所以 A∪B=(-1,4). ?2 ? ?2 ? (2)由 A=(-1,2),知 1 1 ? ? = , 1 2? 1 ? ? ? ①当 a>1 时,B=? ,a ?,若 A∩B=? ,2?,则必有?a 2 所以 a=2; ?a ? ?2 ? ? ?a2≥2, 1 2 ? 2 1? 若 A∩B=?1,2?, ?1 ? ②当 0<a<1 时, B=?a , ?, 即 a= , 此时 B=? , 2?, ?2 ? 则必有 a2=2, a? 2 ? ? ? ?2 ?

? ? A∩B=? , 2?,不符合题意,故 a=

1 2 舍去. 2 ?2 ? 综上可知 a=2. 12.(2015·烟台模拟)已知 f(x)=|2x-1|+ax-5(a 是常数,a∈R). (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)如果函数 y=f(x)恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=|2x-1|+x-5 1 3x-6,x≥ , 2 = 1 -x-4,x< . 2 1 1 ? ? ?x≥ , ?x< , 2 由? 解得 x≥2;由? 2 解得 x≤-4.

? ? ? ? ?

? ?3x-6≥0,

? ?-x-4≥0,

所以 f(x)≥0 的解集为{x|x≥2 或 x≤-4}. (2) 由 f(x)=0,得|2x-1|=-ax+5.

3

作出 y=|2x-1|和 y=-ax+5 的图象,观察可以知道,当-2<a<2 时,这两个函数的 图象有两个不同的交点,即函数 y=f(x)有两个不同的零点. 故 a 的取值范围是(-2,2). 13.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓 励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单 价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 解:(1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时, p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x. ? ?60,0<x≤100, 所以 p=? ?62-0.02x,100<x≤600. ? (2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时, y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2. ?20x,0<x≤100, ? 所以 y=? 2 ? ?22x-0.02x ,100<x≤600. 当 0<x≤100 时,y=20x 是单调递增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 ymax=20×100 =2 000; 当 100<x≤600 时, y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6 050, 所以当 x=550 时,y 最大,此时 ymax=6 050. 显然 6 050>2 000. 所以当一次订购 550 件时,该厂获得利润最大,最大利润为 6 050 元. x-m 14.(2015·合肥模拟)已知函数 f(x)=e -x,其中 m 为常数. (1)若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 成立,求 m 的取值范围; (2)当 m>1 时,判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由. x-m 解:(1)f′(x)=e -1, 令 f′(x)=0,得 x=m. x-m 故当 x∈(-∞,m)时,e <1, f′(x)<0,f(x)单调递减; x-m 当 x∈(m,+∞)时,e >1, f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=m 时,f(m)为极小值,也是最小值. 令 f(m)=1-m≥0,得 m≤1, 即若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 成立, 则 m 的取值范围是(-∞,1]. (2)由(1)知 f(x)在[0,2m]上至多有两个零点, 当 m>1 时,f(m)=1-m<0. -m 因为 f(0)=e >0,f(0)f(m)<0, 所以 f(x)在(0,m)上有一个零点. m m 因为 f(2m)=e -2m,令 g(m)=e -2m,
4

因为当 m>1 时,g′(m)=e -2>0, 所以 g(m)在(1,+∞)上单调递增, 所以 g(m)>g(1)=e-2>0,即 f(2m)>0. 所以 f(m)·f(2m)<0, 所以 f(x)在(m,2m)上有一个零点. 故 f(x)在[0,2m]上有两个零点.

m

5


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