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二次函数的应用简单


初三数学专题复习——二次函数知识应用
一、学习目标: 巩固所学函数的知识,并能正确应用二次函数的知识解决问题; 二、知识要点: (1) 二次函数的图象是一条抛物线, 二次项系数 a 符号决定了抛物线的开口方向,
a 决定抛物线的开口宽窄;

(2)二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 顶点坐标是( ?
b 4

ac ? b 2 ) , , 2a 4a

对称轴为:直线 x ? ?

b 2a

(3)确定二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 有如下的待定形式: 一般式: y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) 在确定二次函数的解析式时,要注意条件 a ? 0 这个条件; (4)二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 与一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的关系: y=0 2 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) a x ? b x c0 ( a 0 ) ? ? ?

判别式 抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 与 x 轴的交点 一 元 二 次 方

△>0 有两个交点

△=0 有一个交点

△<0 没有交点

程 有两个不相等的 有 两 个 相 等 没有实根 实根 的实根

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的实根

(5)二次函数的最值:
4ac ? b 2 b y? a>0,当 x ? ? 时,y 有最小值 4a 2a 4ac ? b 2 b a<0,当 x ? ? 时,y 有最大值 y ? 4a 2a

1

三、应用一:利用函数的性质确定图象 (一)例:已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置 如图所示,则有( ) A . a>0,b>0 C .b>0,c>0 B. D. a>0,c>0 a、b、c 都小于 0
O x y

(二)练习: 1、抛物线 y=x2+3x 的顶点在( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限

2、如图所示,当 b<0 时,函数 y=ax+b 与 y=ax2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能 是( )
y O A x
y O B x

y O C x

y O D x

3、已知 y=ax2+bx+c 中 a<0,b>0,c<0 ,△<0,画出函数的大致图象。

四、应用二:利用函数的性质求待定系数 (一)例:当 k 为什么值时,函数 y=(1-k2) x 2 k
2

?3 k ?3

的图象是抛物线;

(二)练习一 1、若 y ? (k ? 2) x k
2

?k ?4

的图象是抛物线,k 的值为 是二次函数,则 m= ;



2、若 y ? (m2 ? m) x m

2

?m

2

3、若 y ? (m ? 2) x m 4、若 y ? (k ? 3) x k
2

2

?2

? 2 x ? 3 的图象是抛物线,则 m=
? kx ? 1 的图象是抛物线,则 k=

; ; ;

?3 k ? 2

5、若 y ? (k ? 2) x k 6、当 m=

2

? 2 k ?1

的图象是开口向下的抛物线,则 k=
2

时 y ? (m ? 2) x m

?2 m? 2

? (m ? 1) x 的图象是抛物线;

当 m=

时 y ? (m ? 2) x m ?2 m? 2 ? (m ? 1) x 的图象是一条直线;
2

五、应用三:利用函数与方程的关系解决问题 (一)例:已知二次函数 y ? x 2 ? x ? m (m 为常数) (1) 写出它的图象的开口方向,对称轴,顶点坐标; (2) m 取什么值时,图象与 x 轴有两个交点; (3) m 取什么值时,顶点在 x 轴的上方; 分析: (2)若函数图象与 x 轴有两个交点,则满足什么条件? (3)若抛物线的顶点在 x 轴的上方,现已知 a= 轴满足什么条件? ,说明函数图象与 x

(二)练习 1、已知二次函数 y=2(x+3)(x-1),图象与 x 轴的交点坐标: 2、已知二次函数 y=x2-3x-4,求图象与 x 轴的交点坐标及顶点坐标; 解: ;

3

3、知二次函数 y ? mx 2 ? 4 x ? 2 ,若函数图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值;

4、 若二次函数 y=(m+5)x2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方,则 m 的取值范围 是多少?

※5、已知二次函数 y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中 m 为实数. (1)求证:不论 m 取何实数,这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点; (2)设这个二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1,0),B(x2,0),且 x1、x2 的倒数 和为 ,求这个二次函数的解析式;
2 3

4


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