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03历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

时间:2011-03-19


历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 第3届 (1969 年于捷克斯洛伐克的布尔诺)

【题1】右图的力学系统由三辆车组成,质量分别为 mA=0.3kg,mB=0.2kg,mC=1.5kg。 (a)沿水平方向作用于 C 车的力 F 很大。使 A、B 两车相 B 对 C 车保持静止。求力 F 及绳子的张力。 F C A (b)C 车静止,求 A、B 两车的加速度及绳子的张力。 (忽略阻力和摩擦力,忽略滑轮和车轮的转动惯量) 解: (a)A、B 两车相对 C 车保持静止,A 车在竖直方向没有加速度,因此它对绳的拉力为 mAg。这个力使 B 车得到加速度 a B ?

mA g 。又三车系统以相同的加速度运动,则: mB

F ? (m A ? mB ? mC )

mA g mB

由给定的数值得: aB=aC=aA=1.5g=14.7m/s2 绳中的张力为: T=mAg=2.94N 水平推力为: F=29.4N (b)如果 C 车静止,则力 mAg 使质量 mA+mB 加速,加速度为:

a AB ?
绳中的张力为:

mA g =0.6g=5.88N m A ? mB
T/=mAg-mA×0.6g=1.176N

1

【题2】在质量为 m1 的铜量热器中装有质量为 m2 的水,共同的温度为 t12;一块质量为 m3、 温度为 t3 的冰投入量热器中(如右图所示) 。试求出在各种可能情 m 3 c 3 t3 0 形下的最终温度。计算中 t3 取负值。铜的比热 c1=0.1kcal/kg·C, 0 0 水的比热 c2=1kcal/kg·C,冰的比热 c3=0.5kcal/kg·C,冰的熔解 热 L=80kcal/kg。 m 2 c 2 t2 解:可能存在三种不同的终态: (a)只有冰; (b)冰水共存; m 1 c 1 t1 (c)只有水。 (a)冰温度升高,但没有熔化,达到某一(负)温度 ta; 放出的热量和吸收的热量相等: c3 m3(ta-t3)=(c1 m1+c2 m2) 12-ta)+m2L (t 得出最终的温度为

ta ?

(m1c1 ? m2 c2 )t12 ? m3 c3t 3 ? m2 L m1c1 ? m2 c3 ? m3 c3

(1)

情况(a)的条件是 ta<0(注:指 00C) ,如果上式的分子为负值,我们得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3―m2L (2) (c)现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为 tc,冰块吸收的热量 等于量热器和水放出的热量: c3 m3(0-t3)+m3 L+c2 m3tc=(c1 m1+c2 m2) 12-tc) (t 得出最终的温度为

tc ?

(m1c1 ? m2 c2 )t12 ? m3 c3t 3 ? m3 L m1c1 ? m2 c2 ? m3 c2

(3)

这种情况只有在 tc>0时才能发生。取上式的分子为正值,得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12>―c3 m3t3+m3L (4) 0 (b) 冰水共存这种情况是冰和水混合后都以 0 C 共存于量热器中。 根据 (2) 式和 (4) 式,条件为: ―c3 m3t3―m2L<(c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3+m3L 如果混合后有 x 克冰熔化了,则 ―c3 m3t3+x L=(c1 m1+c2 m2)t12 故冰熔化了的质量为

x?

(m1c1 ? m2 c 2 )t12 ? m3 c3t 3 L

于是混合后,在量热器中有质量为(m3―x)的冰和质量为(m2+x)的水。x 为负值意味着 有水结为冰,冰的质量增加。对于给定的数值,我们可以从公式容易得到最终的结果。

2

【题3】在竖直平面内有半径 R=5cm 的线圈(如图) 。质量 m=1g 的小球系在长度为 l 的 绝缘轻绳上,从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球两 l 者都带有 Q=9×10-8C 的相同电量时,发现小球在垂直 R Fn ? 线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。 ? 解:如果线圈上的全部电荷集中与一点,则库仑力为 F mg

F ?k

Q2 l2

线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为?,它们在轴上的投影为 Fn=Fcos?。小球的重量 为 mg。由上图可得:

sin ? ?

mg R mg ? ? F l Q2 k 2 l
(k=9×109N m2/C2)

所以:

l?3

RkQ 2 =7.2cm mg

(注:以上解答为原解,可能有错) 另解:如解答图 3.3.1,在线圈上取一电荷微元,长 为 d ,电荷量为?d ,?为线电荷密度,2π R ?=Q。 R 则微元电荷对小球的作用力为:?

l

?

Fi ? k

?dQ
l2
?
Fti

?

Fni

Fi

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解: Fni=Fi cos? Fti=Fi sin? 在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元,如解答 图 3.3.2。 对称的电荷微元, 长也为 d , 电荷量为?d , 它对小球的作用力为:?

解答图?????
Fti Fi

Fi / ? k

?dQ
l
2

R

?
l

?

Fni

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解: Fn/i=Fi /cos? 解答图 3.3.2 / / Ft i=Fi sin? / Fni 与 Fn i 方向相同,合力为大小相加,Fti 与 Ft/i 方向相反,合力为大小相减,等于零。 所以线圈对小球作用的库仑力为:

2??Q Q2 cos? ? k 2 cos? Fn=∑Fni= k l2 l
对小球受力分析,小球受三力作用:重力 mg、 库仑力 Fn、拉力 T,如解答图 3.3.3。则:

T R l

?

?

Fn

mg
解答图 3.3.3

F

l cos? Fn ? R mg

3

把 Fn= k

Q2 cos? 代入上式解得: l2
l?3 RkQ 2 =7.2cm mg
(k=9×109N m2/C2)

【题4】一块平板玻璃放置在边长为 2cm 的玻璃立方体上,两者之间有一层平行的薄空气 隙。波长在 0.4μm 到 1.15μm 之间的电磁波垂直入射到平板上,经空气隙的 两边表面反射而发生干涉。 在此波段中只有两种波长获得极大的增强, 其一 d 是?1=0.4μm。求空气隙的厚度。 解:光在厚度为 d 的空气隙中往返,经过的距离为 2d。光被玻璃反射时, 还经受 1800 的相位改变。于是对波长为?1 的光,增强的条件为: 2d= k1?1 ?

?1
2

(k1=0,1,2,3,……)

类似地,对其它波长的光,产生极大增强的条件是: 2d= k 2 ? 2 ?

?2
2

(k2=0,1,2,3,……)

比较这两个条件,得到:

2k1 ? 1 ?2 ? 2k 2 ? 1 ?1
根据波长给定的范围,得到:

?2 1.15 = ? 2.875 ?1 0.4
这个比值的最小可能值为 1,最大可能值为 2.875。因此我们得到关于 k1 和 k2 的下列条件: 1<

2k1 ? 1 <2.875 2k 2 ? 1

(1)

对不同的 k1 和 k2,我们算出上述分数值,得到下表: k1 k2 0 1 2 3 4 5 0 1 0.33 0.2 0.14 0.11 0.09 1 3 1 0.6 0.43 0.33 0.27 2 5 1.67 1 0.71 0.56 0.45 3 7 2.33 1.4 1 0.78 0.64 4 9 3 1.8 1.29 1 0.81 5 11 3.67 2.2 1.57 1.22 1

只有分数值满足条件(1)式的各个 k1 和 k2 对才是合格的,我们已在表格中算出。但 其中只有一对是允许的。这就是说,我们应当找出这样的一列,其中只能有一对是允许的 k1 和 k2。从表中看出,仅有的是 k1=2,k2=1 这一对,其分数值是 1.67,这就是解答。
4

对于?1=0.4μm 的光,根据 2d=2×0.4+0.2=1μm,得到空气隙的厚度为 d=0.5μm 由 2×0.5= ? 2 ? 得到第二个波长为 ?2=0.667μm

?2
2

【实验题】给定一闭合电路,它是由已知电阻 R、未知电阻 X 以及内阻可以忽略的电源组成 的。电阻 X 是可调电阻器,由引线、毫米标尺、滑动接触块组成。另一电路由干电池和零 点在中心的电流计组成,它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。试测定电阻 X 及端电压之比。

R U X x E

R U y X

E

解答图 3.5.1 解答图 3.5.2 解答:联接两种补偿电路,如解答图 3.5.1 和解答图 3.5.2。第一次测量不包括 R。滑动接触 块的位置在第一次测量中由比率 x 给出,在第二次测量中由 y 给出,在此两中测量下,电阻 值之比等于电势差之比,所以有

E xX ? , U R? X
解得:

E R ? yX ? U R? X

X ? R(

1 ) x? y

把 X ? R(

E xX 1 ) 代入 ? 得: U R? X x? y

E x ? U 1? x ? y

5


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