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100测评网2009年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编


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2009 年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编 1.集合与常用逻辑用语 GZ-T 8. 命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题 是 ... A. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 C. 若a ? b, 则a ? 1 ? b

? 1 B.若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 D. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1

2 GZ-1 2.已知全集 U ? R,集合 A ? x x ? x ? 0 , B ? x ? 1 ? x ? 1 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. ?0?

B. ? 1?

C. ?0, 1?

D. ?

GZ-1

8.如果命题“ p 且 q ”是假命题, “非 p ”是真命题,那么 A.命题 p 一定是真命题 C.命题 q 一定是假命题 B.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题

GZ-2 1、已知全集 U ? ?1, 2, 3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? ?1, 2, 3? , B ? ?2, 3,4,5? , 则? U (A

B) =(

) C、 ?2,3? D、 ?1, 2, 3,4,5?

A、 ?6,7,8?

B、 ?1,4,5,6,7,8?

GZ-2 4、命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是(
2



A、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

B、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

C、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

D、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

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2.函数、导数 GZ-T 5.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ,则 f (?2) ? A.

1 4

B. ? 4

C. ?

1 4

D. 4

GZ-T

11. 函数 f ( x) ? log2 (1 ? x2 ) 的定义域为

.

GZ-T 21. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? (1) 当 a ? ?3 时,求函数 f ?x ? 的极值;

1 3 x ? x 2 ? ax ? a ( a ? R). 3

(2)若函数 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

GZ-1 6.已知 a, b ?R且 a ? b ,则下列不等式中成立的是 A.

a ?1 b

B. a ? b
2

2

C. lg?a ? b ? ? 0

D. ? ? ? ? ?

?1? ? 2?

a

?1? ? 2?

b

GZ-1 10.在区间 ?0, 1? 上任意取两个实数 a , b , 则函数 f ? x ? ? A.

1 8

1 3 x ? ax ? b 在区间 ?? 1, 1?上有且仅有一个零点的概率为 2 7 3 1 B. C. D. 4 8 4

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GZ-1

20.(本小题满分12分)

某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务, 每件产品由3个 A 型零件和1个 B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个 A 型零件或者3个 B 型零件, 现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整), 每组加工同一种型号的零件. 设加工 A 型零件的工人人数为 x 名( x ?N ).
*

(1)设完成 A 型零件加工所需时间为 f ?x ? 小时,写出 f ?x ? 的解析式; (2)为了在最短时间内完成全部生产任务, x 应取何值?

GZ-2 3、已知函数 f ( x ) ? ? A、1 B、2
3

? x( x ? 4), x ? 0 ,则函数 f ( x ) 的零点个数为( ? x( x ? 4), x ? 0
D、4



C、3

GZ-2 7、曲线 y ? x 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x =1 所围成的三角形的面积为



)A、

1 12

B、

1 6

C、

1 3

D、

1 2

GZ-2

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?

a2 , g( x ) ? x ? ln x , 其中a ? 0 。 x

(1)若 x ? 1 是函数 h( x ) ? f ( x ) ? g( x ) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1 , x2 ? 1, e (e为自然对数的底数) 都有 f ( x1 ) ? g( x2 ) 成立, 求实数 a 的取值范围。

? ?

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3.数列 GZ-T 2.在等比数列{an}中,已知 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 a5 ? A.16 B.16 或-16 C.32 D.32 或-32

GZ-T 20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ? 4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? 1 . n 2 4
*

GZ-1

12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ?N 都有 S n ? 2an ? 1 , 则 a1 的值为 ,数列 ?an ? 的通项公式 an ? .

GZ-1 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的相邻两项 a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根,
*

且 a1 ? 1 . (1) 求证: 数列 ?a n ?

? ?

1 n? ? 2 ? 是等比数列; 3 ?

(2) 设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立,
*

若存在, 求出 ? 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.

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4.不等式 5.平面向量与三角 GZ-T 3.已知向量 a =(x,1) ,b =(3,6) ,a ? b ,则实数 x 的值为 A.

1 2

B. ? 2

C. 2

D. ?

1 2

GZ-T 7. 已知 cos 2? ? A.

1 2

1 2 ,则 sin ? ? 4 3 B. C. 4

5 8

D.

3 8

GZ-T 16.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R ) . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并指出此时 x 的值.

GZ-1 1.函数 f ?x ? ? sin x cos x 的最小正周期为 A.

? 2

B. ?

C. 2?

D. 4?

GZ-1

9.已知平面内不共线的四点 O, A, B, C 满足 OB ? 则 AB : BC ? A. 1 : 3 B. 3 : 1 C. 1 : 2

1 2 OA ? OC , 3 3

D. 2 : 1

GZ-1 17. (本小题满分14分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ? (1) 若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值.

3 . 5

GZ-2 13、在 ? ABC 中,已知 tan A ? 3 tan B ,则 tan( A ? B) 的最大值为________,

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此时角 A 大小为_______。 16、 (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2cos

GZ-2

x x ,1), n ? (sin ,1)( x ? R) ,设函数 f ( x) ? m n ? 1 。 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)已知锐角 ? ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f ( A) ? 求 f ( A ? B ) 的值。

5 3 ,f ( B ) ? , 13 5

3

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4

6.立体几何 GZ-T 9.图 2 为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图为正三角形, 尺寸如图,则该几何体的侧面积为 A.6 B. 24 C.12 3 D.32
俯视图 图2 正视图 侧视图

GZ-T 18.(本小题满分 14 分) 如图 6,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,

ABCD 是直角梯形, AD // BC , ? BAD ? 90? , BC ? 2 AD .
(1)求证: AB ⊥ PD ; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E ,使 AE //平面 PCD , 若存在,指出点 E 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.

GZ-1

13. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图 3 所示, 则该几何体的侧面积为 cm .
2

GZ-1 18. (本小题满分14分) 如图 4, A1 A 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径,

C 是底面圆周上异于 A, B 的任意一点, AA1 ? AB ? 2 .
(1)求证: BC ⊥平面 A1 AC ; (2)求三棱锥 A 1 ? ABC 的体积的最大值.

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GZ-2 5、在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9), B(10, ?1,6), C ( x,4, 3) 为顶点的 ? ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为( A、—2 B、2 C、 6 D、 2 或 6 GZ-2 18、 (本小题满分 14 分) )

在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中,AB ? BC ? 2, 过A1、C1、B 三点的平面截去长方体的 一个角后, 得到如图 4 所示的几何体 ABCD ? A1C1 D1 , 且这个几何体的体积为 (1)证明:直线 A1 B ∥平面 CDD1C1 ; (2)求棱 A1 A 的长; (3)求经过 A1、C1、B、D 四点的球的表面积。

40 。 3

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7.平面解析几何 GZ-T 4.经过圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

GZ-T

10. 已知抛物线 C 的方程为 x ?
2

1 y, 2

过点 A ?0, ? 1? 和点 B?t , 3? 的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 A. ?? ?,?1? ? ?1,??? C. ? ?,?2 2 ? 2 2 ,?? B. ? ? ?,?

? ? ?

? 2? ? 2 ??? ? , ?? ? 2 ? 2 ? ? ? ?

?

? ?

?

D. ? ?,? 2 ?

?

? ?

2 ,??

?

? x ? y ≥ 2, ? GZ-T 13.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ≤ 2,则 z ? 2 x ? y 的最大值为_______. ?0 ≤ y ≤ 3, ?
GZ-T 19. (本小题满分 14 分)

设椭圆 C :

x2 y2 2 ,点 A 是椭圆上的一点, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? , 求 3x1 ? 4 y1 的取值范围. GZ-1 5.已知过 A?? 1, a ? 、 B?a, 8? 两点的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为 A. ? 10 B. 2 C. 5 D. 17

GZ-1 11. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 16 4

.

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GZ-1 19. (本小题满分 14 分) 设点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是抛物线 x2 ? 4 y 上不同的两点, 且该抛物线在点 A 、 B 处的两条切线相交于点 C ,并且满足 AC ? BC ? 0 . (1) 求证: x1 x2 ? ?4 ; (2) 判断抛物线 x2 ? 4 y 的准线与经过 A 、 B 、 C 三点的圆的位置关系,并说明理由.

GZ-2 8、已知圆 x 2 ? y 2 ? 9 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程为( A、 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 ) B、 x ? 4 ? 0 C、 x ? y ? 0 D、 x ? y ? 2 ? 0

GZ-2

19、 (本小题满分 14 分)

3 x2 y2 1 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 P (1, ) 。 2 2 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 是椭圆 C 的左焦点,判断以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系, 并说明理由。

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甲 5 3 3 4 6 8 7 9 1 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7 3 7 8 乙

8.算法、统计与概率 GZ-T 6. 图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图, 则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A.62 C.64 B.63 D.65

开始 GZ-T 12.如图 3 所示的算法流程图中,输出 S 的值为 . 图3 i=3 GZ-T 17. (本小题满分 12 分) S=S+i i=i+1 否 i>10 是 输出 S 结束

某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计, 各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图 5 所示, 其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人.
频率 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10

图5

0.05

分数

0 70 80 90 100 110 120 130 (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于 90 分的概率.

GZ-1

4. 某商场在国庆黄金周的促销活动中, 对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计, 其频率分布直方图如图 1 所示. 已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为 A. 6 万元 B. 8 万元 C. 10 万元 D. 12 万元

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GZ-1 7.阅读图2的程序框图( 框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ?”或“:=”), 若输出 S 的值等于 16 ,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 A. i ? 5 ? B. i ? 6 ? C. i ? 7 ? D. i ? 8 ? GZ-1 16. (本小题满分12分) 某校高三级要从3名男生 a、b、c 和2名女生 d、 e 中任选3名代表参加学校的演讲比赛. (1)求男生 a 被选中的概率; (2)求男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的概率.

GZ-2 9、在长为 1 的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于

1 的概率为( 2



A、

1 4

B、

1 2

C、

3 4

D、

7 8

GZ-2 11、阅读如图 2 所示的程序框图, 若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为__________。

GZ-2 12、在某项才艺竞赛中,有 9 位评委, 主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下: 剔除评委中的一个最高分和一个最低分, 再计算其他 7 位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩, 现有一位参赛者所获 9 位评委一个最高分为 86 分,一个最低分为 45 分, 若未剔除最高分与最低分时 9 位评委的平均分为 76 分, 则这位参赛者的比赛成绩为______分。 GZ-2 17、 (本小题满分 12 分)

已知实数 a, b ???2, ?1,1,2? (1)求直线 y ? ax ? b 不经过第四象限的概率;
2 2 (2)求直线 y ? ax ? b 与圆 x ? y ? 1 有公共点的概率。

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9.复数 GZ-T 1.已知 i 为虚数单位,则( 1 ? i) ( 1 ? i)= A.0 GZ-1 B. 1 C.2 D.2i

3.已知 z ? i(1 ? i)(i为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

GZ-2 2、如果复数 (m2 ? 3m) ? (m2 ? 5m ? 6)i 是纯虚数,则实数 m 的值为( A、0 B、2 C、 0 或 3 D、2 或 3



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10.推理与证明 GZ-2 6、 如图 1 所示的图形是由若干个小正方体所叠成的几何体的侧 (左) 视图与俯视图, 其中俯视图的小正方形中的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方形的个数, 则这个几何体的正(主)试图是( )

GZ-2 10、在平面内有 n(n ? N ? , n ? 3) 条直线, 其中任何两条不平行,任何三条不过同一点, 若 n 条直线把平面分成 f ( n) 个平面区域,则 f (6) 等于() A、18 GZ-2 B、22 C、24 D、32

20、 (本小题满分 14 分)

已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 am , am? 2 , am?1 (m ? N ? ) 成等差数列, 试判断 Sm , Sm ? 2 , Sm ?1 是否成等差数列,并证明你的结论。

? ?

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11.坐标系与参数方程 GZ-T 14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? y ? 2 ? 2 sin ?

以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心极坐标为_____.

GZ-1 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线 ? sin ?? ?

? ?

??

? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为__ 4?

.

GZ-2

15、 (坐标系与参数方程选做题)

直线 ?

? x ? ?2 ? 4t , ? x ? 2 ? 5cos ? , (t为参数) 被 圆 ? (? 为参数) 所 截 得 的 弦 长 为 ? y ? ?1 ? 3t , ? y ? 1 ? 5sin? ,

______________。

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12.几何证明选讲 GZ-T 15. (几何证明选讲选做题)

P 是圆 O 外一点, PCD , CD ? 3 , 如图 4, 过 P 引圆 O 的两条割线 PAB 、 PA ? AB ? 5 ,
则 PC ? ____________.
A P O C D 图4 B

GZ-1

15.(几何证明选讲选做题)

已知 PA 是圆 O ( O 为圆心)的切线,切点为 A ,

PO 交圆 O 于 B, C 两点, AC ? 3, ?PAB ? 30? ,则线段 PB 的长为

.

GZ-2 14、 (几何证明选做题) 如图 3 所示,在四边形 ABCD 中, EF ∥ BC , FG ∥ AD , 则

EF FG ? 的值为________。 BC AD

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2009 年广州市高三年级调研测试

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C A B A B C D C B D 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ?? 1, 1? 12. 52 13. 7 14. ? 2,

? ?

??
? 2?

15.2

说明:第14题答案可以有多种形式,如可答 ? 2,

? ?

5? ? ? ? ? ? 2k? ?(k ? Z)等, 均给 ? 或 ? 2, 2 ? ? 2 ?

满分. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵ f ?x? ? sin x ? 3 cos x

?1 ? 3 ? ? 2? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? ?

?? 2 分

? ?? ? ? 2? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ?
?? ? ? 2 sin? x ? ? . 3? ?
∴ T ? 2? . (2) 当 sin? x ? 此时 x ?

?? 4 分

?? 6 分 ?? 8 分

? ?

??
?

? ? 1 时, f ( x) 取得最大值, 其值为 2 . 3?

??10 分

?
3

?
2

? 2k? ,即 x ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) .

??12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为

5 ? 100 人. 0.05 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d ,

??4 分

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由 4 ? 22 ? 6d =100,解得 d ? 2 . ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人. ??8 分 (2) 在 抽 取 的 学 生 中 , 任 取 一 名 学 生 , 则 分 数 不 小 于 90 分 的 概 率 为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ??12 分 18.(本小题满分 14 分) 解: (1)∵ PA ⊥平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AB . ?? 2 分 AB AD PA AD ? A ? ∵ ⊥ , , ∴ AB ⊥平面 PAD , ∵ PD ? 平面 PAD , ∴ AB ⊥ PD . (2)法 1: 取线段 PB 的中点 E , PC 的中点 F ,连结 AE, EF , DF , 则 EF 是△ PBC 中位线.
P

?? 4 分 ?? 6 分

1 BC , 2 1 ∵ AD // BC , AD ? BC , 2
∴ EF ∥ BC , EF ? ∴ AD // EF, AD ? EF . ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 四边形 EFDA 是平行四边形, AE // DF . AE ? 平面 PCD , DF ? 平面 PCD , AE ∥平面 PCD . 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点.

??8 分
E

F

C D

??10 分

A

B

??12 分 ??14 分

法 2: 取线段 PB 的中点 E , BC 的中点 F ,连结 AE, EF, AF , 则 EF 是△ PBC 的中位线.
P

1 ∴ EF ∥ PC , CF ? BC , 2 ∵ EF ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , ∴ EF // 平面 PCD . 1 ∵ AD // BC , AD ? BC , 2
∴ AD // CF , AD ? CF . ∴ 四边形 DAFC 是平行四边形, ∴ AF // CD . ∵ AF ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , ∴ AF ∥平面 PDC . ∵ AF ? EF ? F , ∴平面 AEF // 平面 PCD . ∵ AE ? 平面 AEF ,

E

?? 8 分
D A B F

C

??10 分

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∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. 19. (本小题满分 14 分) , a? 2. 解:(1)依题意知, 2a ? 4? ∵e ? ∴c ? ??12 分 ??14 分 ?? 2 分

c 2 , ? a 2

2, b ? a 2 ? c 2 ? 2 .

?? 4 分

x2 y2 ? ? 1. ∴所求椭圆 C 的方程为 4 2
(2)∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? ,

?? 6 分

? y 0 ? y1 ? 2 ? ?1, ? ? x 0 ? x1 ∴ ? ? y 0 ? y1 ? 2 ? x 0 ? x1 . ? 2 ? 2
解得: x1 ?

?? 8 分

4 y0 ? 3 x0 3 y ? 4 x0 , y1 ? 0 . 5 5

?? 10 分

∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5x0 . ∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 在椭圆 C :

?? 12 分

x2 y2 ? ? 1 上, 4 2

∴ ? 2 ? x0 ? 2 , 则 ? 10 ? ?5x0 ? 10 . ∴ 3x1 ? 4 y1 的取值范围为 ?? 10, 10? . 20. (本小题满分 14 分) (1) 解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ??1 分 ??14 分

? n 2 ? 4n ? 4 ? ?n ? 1? ? 4?n ? 1? ? 4
2

?

?
??3 分

? 2n ? 5 .
∵ a1 ? 1 不适合上式, ∴ an ? ?

n ? 1, ? 1, ?2n ? 5, n ? 2.

??4 分

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? 1 ,n ?1 an ? ? 2 (2)证明: ∵ bn ? n ? ? . 2 ? 2n ? 5 , n ? 2 ? ? 2n
1 , 2 1 ?1 1 2n ? 5 当 n ? 2 时, Tn ? ? 2 ? 3 ? ? , 2 2 2 2n 1 1 ?1 1 2n ? 7 2n ? 5 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2n 2
当 n ? 1 时, T1 ? ①-②得: ??6 分 ① ②

1 1 2 1 1 2n ? 5 Tn ? ? 2 ? 2( 3 ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 5 ? (1 ? n ? 2 ) ? n ?1 2 2 2 2n ? 1 (n ? 2) , 得 Tn ? 1 ? 2n 此式当 n ? 1 时也适合. 2n ? 1 (n ? N * ) . ∴ Tn ? 1 ? n 2 2n ? 1 ? 0(n ? Ν* ) , ∵ 2n
∴ Tn ? 1. 当 n ? 2 时, Tn ?1 ? Tn ? (1 ? ∴ Tn ? Tn?1 (n ? 2) . ∵ T1 ?

??8 分

??10 分

2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 ) ? (1 ? n ) ? n ?1 ? 0 , n ?1 2 2 2
??12 分

1 3 1 , T2 ? 1 ? ? , 2 4 4

∴ T2 ? T1 . 故 Tn ? T2 ,即 Tn ?

1 ( n ? N* ) . 4
*

综上, ? Tn ? 1(n ? N ) . 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? ?3 时, f ? x ? ?
2

1 4

??14 分

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 3 , 3

∴ f ?? x ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?x ? 3??x ? 1? . 令 f ?? x ? =0, 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 . ?? 2

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分 当 x ? ?1 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? ?,?1? 上单调递增; 当 ? 1 ? x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? 1, 3? 上单调递减; 当 x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , f ?x ? 在 ?3,??? 上单调递增. ∴ 当 x ? ?1 时, f ?x ? 取得极大值为 f ?? 1? ? ? 当 x ? 3 时, f ?x ? 取得极小值为 f ?3? ? (2) ∵ f ?? x ? = x ? 2 x ? a ,
2

?? 4 分

1 14 ?1? 3 ? 3 ? ; 3 3
?? 6 分

1 ? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6 . 3

∴△= 4 ? 4a = 4?1 ? a ? . ① 若 a≥1,则△≤0, ∴ f ?? x ? ≥0 在 R 上恒成立, ∴ f(x)在 R 上单调递增 . ∵f(0) ? ? a ? 0 , f ?3? ? 2a ? 0 , ∴当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. ② 若 a<1,则△>0, ∴ f ?? x ? = 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1,x2, (x1<x2) . ∴x1+x2 = 2,x1x2 = a. 当 x 变化时, f x
'

?? 7 分

?? 9 分

?x?, f ?x?的取值情况如下表:
x1 0 极大值 (x1,x2) - ↘ x2 0 极小值

?? ?, x1 ?
+ ↗

?x2 ,???
+ ↗ ? ?

f ?? x ?
f(x)

11 分 ∵ x1 ? 2 x1 ? a ? 0 ,
2

∴ a ? ? x1 ? 2 x1 .
2

∴ f ? x1 ? ?

1 3 x1 ? x12 ? ax1 ? a 3 1 ? x13 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 3

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1 3 x1 ? ?a ? 2 ?x1 3 1 ? x1 x12 ? 3?a ? 2? . 3 1 2 同理 f ?x2 ? ? x 2 x 2 ? 3?a ? 2? . 3 1 2 2 ∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 x 2 x1 ? 3?a ? 2 ? ? x 2 ? 3?a ? 2 ? 9 1 2 2 2 ? ?x1 x 2 ??x1 x 2 ? ? 3?a ? 2? x12 ? x 2 ? 9?a ? 2? 9 1 2 2 ? a a 2 ? 3?a ? 2??x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? 9?a ? 2? 9 4 ? a a 2 ? 3a ? 3 . 9 令 f(x1)· f(x2)>0, 解得 a> 0 . ?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?
?

?
?

?

?

?

而当 0 ? a ? 1 时, f ?0? ? ?a ? 0, f ?3? ? 2a ? 0 , 故当 0 ? a ? 1 时, 函数( f x) 的图象与 x 轴有且只有一个交点. 分 综上所述,a 的取值范围是 ?0,??? . ?? 14 分 ?? 13

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2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B A B C B D A D D C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 12 题第一个空 2 分,第二个 空 3 分. 11.

3 2

12. 1 ; 2

n ?1

13. 80

14. 4 3

15.1

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查古典概率等基础知识,考查运算求解能力) 解:从3名男生 a、b、c 和2名女生 d、 e 中任选3名代表的可能选法是: a, b, c ; a, b, d ;

a, b, e ; a, c, d ; a , c , e ; a, d , e ; b, c, e ; b, c, d ; b, d , e ; c, d , e 共10种.
6 3 ? . 10 5 (2) 男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的情况共有9种, 故男生 a 和女生 d 至少有一人
(1)男生 a 被选中的的情况共有6种,于是男生 a 被选中的概率为 被选 中的概率为

9 . 10

16. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算 求解能力) 解: (1)∵ cos B ?

3 ? 0, 且0 ? B ? ? , 5 4 2 ∴ sin B ? 1 ? cos B ? . 5 a b ? 由正弦定理得 , sin A sin B 4 2? a sin B 5 ?2. ∴ sin A ? ? b 4 5

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(2)∵ S ?ABC ?

1 ac sin B ? 4, 2 1 4 ∴ ? 2? c ? ? 4. 2 5 ∴ c ? 5.
2 2 2

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B , ∴ b?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . 5

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间中线面的位置关系、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:∵ C 是底面圆周上异于 A 、 B 的一点,且 AB 为底面圆的直径, ∴ BC ? AC . ?? 2 分 ∵ AA1 ⊥平面 ABC , BC ? 平面 ABC , ∴ BC ? AA1 . ?? 4 分

∵ AA 1 ? AC ? A, AA 1 ? 平面 A 1 AC , AC ? 平面 A 1 AC , ∴ BC ? 平面 A 1 AC . ?? 6 分

(2)解法 1:设 AC ? x ,在 Rt△ ABC 中, BC ? AB 2 ? AC 2 ? 4 ? x 2 (0<x<2 ) , 故 VA ? ABC ? 1 即 VA1 ? ABC

1 1 1 1 2 S?ABC ? AA1 ? ? AC ? BC ? AA1 ? x 4 ? x (0<x<2 ) , 3 3 3 2 1 1 2 1 ? x 4 ? x2 ? x (4 ? x 2 ) ? ?( x 2 ? 2) 2 ? 4 . 3 3 3
2

∵ 0 ? x ? 2,0 ? x ? 4 , ∴当 x ? 2 ,即 x ? 2 时,三棱锥 A 1 ? ABC 的体积的最大值为
2

2 . 3

解法 2: 在 Rt△ ABC 中, AC ? BC ? AB ? 4 ,
2 2 2

V A1 ? ABC ?

1 1 1 S ?ABC ? A1 A ? ? A1 A ? ? AC ? BC 3 3 2 1 ? ? AC ? BC 3

1 AC 2 ? BC 2 ? ? 3 2

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1 AB 2 ? 3 2
2 . 3

?
?

当且仅当 AC ? BC 时等号成立,此时 AC ? BC ? ∴三棱锥 A1 ? ABC 的体积的最大值为

2.

2 . 3

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查圆、抛物线、直线、导数等基础知识和数学探究,考查数形结合的数学 思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
2 (1)解:由 x ? 4 y ,得 y ? 2

1 2 1 x ,则 y? ? x , 4 2 1 1 x1 , x2 . 2 2

∴抛物线 x ? 4 y 在点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别为 ∵ AC ? BC ? 0 , ∴ AC ? BC . ∴抛物线 x ? 4 y 在点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 处两切线相互垂直.
2



1 1 x1 ? x2 ? ?1. 2 2

∴ x1 x2 ? ?4 . (2)解法 1:∵ AC ? BC ? 0 , ∴ AC ? BC . ∴经过 A, B, C 三点的圆的圆心为线段 AB 的中点 D ,圆心 D ( ∵抛物线 x ? 4 y 的准线方程为 y ? ?1 ,
2

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

∴点 D (

x1 ? x2 y1 ? y2 y ? y2 , ) 到直线 y ? ?1 的距离为 d ? 1 ?1, 2 2 2
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 , 2

∵经过 A, B, C 三点的圆的半径 r ?

2 2 由于 x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 ,且 x1x2 ? ?4 ,则 y1 y2 ?

1 ( x1 x2 ) 2 ? 1 , 16

∴r ?

2 x12 ? x2 ? 2 x2 x2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 4 y1 ? 4 y2 ? 8 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 . ? 2 2

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( y1 ? y2 )2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 4 ( y1 ? y2 ? 2)2 y1 ? y2 ? 2 y1 ? y2 ? ? ? ?1, 2 2 2 2

即r ?

∴ d ? r. ∴抛物线 x2 ? 4 y 的准线与经过 A, B, C 三点的圆相切. 解法 2:由(1)知抛物线 x2 ? 4 y 在点 A( x1 , y1 ) 处的切线斜率为
2 又 x1 ? 4 y1 ,

1 x1 , 2

∴ 切线 AC 所在的直线方程为: y ? 即y?

1 2 1 x1 ? x1 ? x ? x1 ? 4 2


1 1 x1 x ? x12 . 2 4 1 1 2 x2 x ? x2 . 2 4

同理可得, 切线 BC 所在的直线方程为: y ? 由①,②得点 C 的横坐标 xC ? ∵ AC ? BC ? 0 , ∴ AC ? BC .



x1 ? x 2 ? x ? x2 ? ,纵坐标 yC ? ?1 ,即 C ? 1 ,?1? . 2 ? 2 ?

∴经过 A, B, C 三点的圆的圆心为线段 AB 的中点 D ,圆心 D ( ∵抛物线 x ? 4 y 的准线方程为 y ? ?1 ,
2

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

∴点 D 到直线 y ? ?1 的距离为 d ?

y1 ? y2 ? 1, 2

∵经过 A, B, C 三点的圆的半径 r ? CD ? ∴ d ? r.

y1 ? y 2 ?1 , 2

∴抛物线 x ? 4 y 的准线与经过 A, B, C 三点的圆相切.
2

20. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识,考查分类与整合的数学 思想方法,以及运算求解能力和应用意识) 解: (1)生产150件产品,需加工 A 型零件450个, 则完成 A 型零件加工所需时间 f ?x ? ?

450 90 ? ( x ? N * ,且1 ? x ? 49) . 5x x

(2)生产150件产品,需加工 B 型零件150个,

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则完成 B 型零件加工所需时间 g ?x ? ?

150 50 ? ( x ? N * ,且1 ? x ? 49) . 3?50 ? x ? 50 ? x

设完成全部生产任务所需时间为 h?x ? 小时,则 h?x ? 为 f ?x ? 与 g ?x ? 的较大者. 令 f ?x ? ? g ?x ? ,即 解得 1 ? x ? 32

90 50 ? , x 50 ? x

1 . 7

所以,当 1 ? x ? 32 时, f ?x ? ? g ?x ? ;当 33 ? x ? 49 时, f ?x ? ? g ?x ? .

? 90 , ? 故 h?x ? ? ? x 50 ? , ? 50 ? x

?x ? N ,1 ? x ? 32? . ?x ? N ,33 ? x ? 49?
* *

90 ? 0 ,故 h?x ? 在 ?1, 32? 上单调递减, x2 90 45 ? 则 h?x ? 在 ?1,32? 上的最小值为 h?32 ? ? (小时) ; 32 16
' 当 1 ? x ? 32 时, h ? x ? ? ?

' 当 33 ? x ? 49 时, h ?x ? ?

?50 ? x ?2

50

? 0 ,故 h?x ? 在 ?33, 49? 上单调递增,
50 50 ? (小时) ; 50 ? 33 17

则 h?x ? 在 ?33, 49? 上的最小值为 h?33 ? ?

? h?33? ? h?32? ,

? h?x ? 在 ?1, 49?上的最小值为 h?32? .
? x ? 32 .
答:为了在最短时间内完成生产任务, x 应取 32 . 21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、 分类与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括 能力) (1)证法 1: ∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根,
2 n
*

?a n ? a n ?1 ? 2 n , ∴? ? bn ? a n a n ?1 .
由 an ? an?1 ? 2 ,得 a n ?1 ?
n

1 n ?1 1 ? ? ? 2 ? ?? a n ? ? 2 n ? , 3 3 ? ?

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故数列 ?a n ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ?

证法 2: ∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根,

?a n ? a n ?1 ? 2 n , ∴? ? bn ? a n a n ?1 .

1 ? n ? 1 1 a n?1 ? ? 2 n?1 2 n ? a n ? ? 2 n?1 ? ? a n ? ? 2 ? 3 ? ? ?1 3 3 ? ? ∵ , ? 1 1 n 1 n n a ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 n 3 3 3
故数列 ?a n ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ?

(2)解: 由(1)得 a n ? ∴ bn ? a n a n ?1

?

1 2 n ?1 n 2 ? ?? 2 ? ? 1 . 9

?

1 n 1 1 n ?1 n ? 2 ? ? ?? 1? , 即 a n ? 2 n ? ?? 1? . 3 3 3 1 n n ?1 ? 2 n ? ?? 1? ? 2 n ?1 ? ?? 1? 9

?

?

?

??

?

?

∴ S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

?

1 2 n 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? ?? 1? ? ?? 1? ? ? ? ?? 1? 3

??

? ?

??

?

?? 1?n ? 1? . 1 ? n ?1 2 ? 2 ? ? ? 3? 2 ?
*

要使 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立, 即

?? 1?n ? 1? ? 0 (*)对任意 N * 都成立. 1 2 n ?1 ?? n 2 ? ?? 2 ? ? 1 ? ?2 n ?1 ? 2 ? n? ? 9 3? 2 ?

?

?

① 当 n 为正奇数时, 由(*)式得 即

1 n ?1 ? 2 ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 , 9 3

1 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 , 9 3

?

?

?

?

?

??

?

?

?

∵2 ∴? ?

n ?1

?1 ? 0 ,

1 n 2 ? 1 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 2 ? 1 有最小值 1 . 当且仅当 n ? 1 时, 3

?

?

?

?

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∴ ? ? 1. ② 当 n 为正偶数时, 由(*)式得 即

1 n ?1 2? n 2 ? 1 2n ?1 ? 2 ?1 ? 0 , 9 3

1 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 0 , 9 3

?

?

?

?

?

??

?

?

?

∵ 2 ?1 ? 0 ,
n

1 n ?1 2 ? 1 对任意正偶数 n 都成立. 6 1 n ?1 3 2 ? 1 有最小值 . 当且仅当 n ? 2 时, 6 2 3 ∴? ? . 2
∴? ?

?

?

?

?

* 综上所述 , 存在常数 ? , 使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N 都成立 , ? 的取值范围是

?? ?, 1? .

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2 模数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.第 13 题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分. 11.0 12.79 13.

3 ? , 3 3

14.1

15.6

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学 思想方法,以及运算求解能力) 解: (1) f ? x ? ? m n ? 1 ? ? 2cos , 1? ? sin , 1? ? 1

? ?

x 2

?? ??

x 2

? ?

x x ? 2 cos sin ? 1 ? 1 ? sin x . 2 2

x ? R, ∴函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1 , 1? .


5 3 , f ? B? ? , 13 5 5 3 ∴ sin A ? , sin B ? . 13 5
(2)∵ f ? A ? ? ∵ A, B 都是锐角, ∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

12 4 2 , cos B ? 1 ? sin B ? . 13 5

∴ f ? A ? B ? ? sin ? A ? B ?

? sin A cos B ? cos A sin B

5 4 12 3 ? ? ? 13 5 13 5 56 ? . 65 ?
∴ f ? A ? B ? 的值为

56 . 65

17. (本小题主要考查古典概型等基础知识, 考查化归和转化、 分类与整合的数学思想方法,

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以及简单的推理论证能力) 解:由于实数对 ? a, b ? 的所有取值为: ? ?2, ? 2? , ? ?2, 1? , ? ?2, 2? , ?1? , ? ?2,

? 2? ,? ?1 , ?1? ,? ?1, 2 ? ,?1, ? 2? ,?1, ?1? ,?1, 1? ,?1 , 2? ,? 2, ? 2? , 1? ,? ?1, ? ?1, ? 1? , ? 2, 1? , ? 2, 2? ,共16种. ? 2,
设“直线 y ? a x ? b 不经过第四象限”为事件 A , “直线 y ? ax ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有 公共点”为事件 B . (1)若直线 y ? a x ? b 不经过第四象限,则必须满足 ?

即满足条件的实数对 ? a,b ? 有 ?1 , 1? , ?1 , 2? , ? 2, 1? , ? 2, 2? ,共4种. ∴ P ? A? ?

0, ? a≥  0. ?b≥ 

4 1 ? . 16 4 1 . 4

故直线 y ? a x ? b 不经过第四象限的概率为

( 2)若直线 y ? ax ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有公共点,则必须满足

b a ?1
2

≤1,即 b ≤

2

a2 ? 1 .

? 1,, 1 2 符合要求,此时实数对( a,b )有4种不同取值; 若 a ? ?2 ,则 b ? ?2, 1 符合要求,此时实数对( a,b )有2种不同取值; 若 a ? ?1 ,则 b ? ?1,
1 符合要求,此时实数对( a,b )有2种不同取值; 若 a ? 1 ,则 b ? ?1,

? 1,, 1 2 符合要求,此时实数对( a,b )有4种不同取值. 若 a ? 2 ,则 b ? ?2,
∴满足条件的实数对 ? a,b ? 共有12种不同取值. ∴ P ? B? ?

12 3 ? . 16 4 3 . 4

故直线 y ? ax ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有公共点的概率为

18. (本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等知识,考查数形结合的数学 思想方法,以及空间想象能力、运算求解能力) (1)证法1:如图,连结 D1C , ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是长方体, ∴A 1D 1 ∴A 1B ∴A 1B

BC 且 A1D1 ? BC . D1C .
平面 CDD1C1 .

∴四边形 A 1BCD 1 是平行四边形. ∵ A1B ? 平面 CDD1C1 , D1C ? 平面 CDD1C1 ,

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证法2:∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是长方体, ∴平面 A 1 AB ∴A 1B 平面 CDD1C1 . ∵ A1B ? 平面 A 1 AB , A 1 B ? 平面 CDD 1C1 , 平面 CDD1C1 . (2)解:设 A 1 A ? h ,∵几何体 ABCD ? AC 1 1D 1 的体积为 ∴ VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ? 即 S ABCD ? h ? ? S ?A1B1C1 ? h ?

40 , 3

40 , 3

1 40 , 3 3 1 1 40 即 2? 2? h ? ? ? 2? 2? h ? ,解得 h ? 4 . 3 2 3 ∴A 1 A 的长为4.

(3)如图,连结 D1B ,设 D1B 的中点为 O ,连 OA ,OC1,OD, 1 ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是长方体,∴ A 1 D1 ? 平面 A 1 AB . ∵ A1B ? 平面 A 1 AB ,∴ A 1 D1 ? A 1B .

1 1 D1 B .同理 OD ? OC1 ? D1 B . 2 2 ∴ OA 1 ? OD ? OC1 ? OB . B , D 四点的球的球心为点 O . ∴经过 A 1 , C1 ,
∴ OA1 ?
2 2 2 2 2 2 ∵ D1B2 ? A 1D 1 ?A 1 A ? AB ? 2 ? 4 ? 2 ? 24 .

? DB? ∴ S球 ? 4? ? ? OB ? ? 4? ? ? 1 ? ? ? ? D1B2 ? 24? . ? 2 ? B , D 四点的球的表面积为 24? . 故经过 A 1 , C1 ,
2

2

19. (本小题主要考查椭圆、 圆的方程和圆与圆的位置关系等基础知识, 考查数形结合思想, 以及运算求解能力)

1 x2 y 2 ? 3? 解: (1)∵椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 P ? 1 , ?, 2 a b ? 2? ? a 2 ? b2 1 ? , ? ? a 2 ∴? 1 9 ? ? ? 1. ? ? a 2 4b 2 ?3a 2 ? 4b2 ? 0, 2 ? ? a ? 4, ? 即? 1 解得 ? 2 9 ? ?b ? 3. ? 2 ? 2 ? 1. ? a 4b x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 4 3
(2)∵ a ? 4 , b ? 3 ,∴ c ? a2 ? b2 ? 1.
2

2

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∴椭圆 C 的左焦点坐标为 ? ?1 , 0? . 以椭圆 C 的长轴为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2=4 ,圆心坐标是 ? 0, 0? ,半径为2. 以 PF 为直径的圆的方程为 x 2 ? ? y ?
2

? ?

5 3 ? 25 ? 3? ,圆心坐标是 ? 0, ? ,半径为 . ? ? 4 4 ? 16 ? 4?
2
2

5 ?3 ? 3 ∵两圆心之间的距离为 ? 0 ? 0 ? ? ? ? 0 ? = = 2 ? , 4 ?4 ? 4 故以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
20. (本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项求和公式等知识,考查化归 与转化、分类与整合的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) 解:设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ? a1 ? 0, q ? 0? , 若 am , am?2 , am?1 成等差数列, 则 2am?2 ? am ? am?1 . ∴ 2a1qm?1 ? a1qm?1 ? a1qm . ∵ a1 ? 0 , q ? 0 ,∴ 2q 2 ? q ? 1 ? 0 . 解得 q ? 1 或 q ? ?

1 . 2

当 q ? 1 时,∵ Sm ? ma1 , Sm?1 ? ? m ? 1? a1 , Sm?2 ? ? m ? 2? a1 , ∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? 1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 不成等差数列. 当q ? ?

1 时, Sm , Sm+ 2 , Sm+ 1 成等差数列.下面给出两种证明方法. 2

证法1:∵ ? Sm ? Sm?1 ? ? 2Sm?2 ? ? Sm ? Sm ? am?1 ? ? 2 ? Sm ? am?1 ? am?2 ?

? ?am?1 ? 2am?2
? ?am?1 ? 2am?1q
? 1? ? ?am?1 ? 2am?1 ? ? ? ? 2?
? 0,
∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 .

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∴当 q ? ?

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2

证法2:∵ 2Sm? 2

? ? 1 ?m? 2 ? 2a1 ?1 ? ? ? ? ? m? 2 ? 2? ? 4 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 1 3 ? ? ? 2? ? ? 1? 2

? ? 1 ?m ? ? ? 1 ?m?1 ? a1 ?1 ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? m m ?1 ? ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 1? ? 1? ? ? 又 Sm ? Sm?1 ? ? ? ? a1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? ? 2? ? 2? ? ? 1? 1? 2 2
m?2 m?2 m? 2 2 ? ? 1? ? 1? ? 4 ? ? 1? ? ? a1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 3 ? ? 2? ? 2? ? ? ? 3 ? ? ? 2? ? ?

∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? ?

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2

21. (本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识,考查化归与转化、分类与整合的数 学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ??? , x

a2 1 ? . x2 x ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,
∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 ,
2

∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验,当 a ? 3 时, x =1是函数 h ( x) 的极值点, ∴a ? 3. 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ??? , x

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理得, 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

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x
h? ? x ?
h ? x?

? 0,x2 ?


x2
0 极小值

? ?? ? x2,


依题意,

?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4

∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1, x2 ??1 ,e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的

x1, x2 ??1 ,e?

都有 ? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max .

1 ?0. x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数.
当 x ??1 , e? 时, g ? ? x ? ? 1 ? ∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ?? x? ? 1?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1 ,e? , a ? 0 , x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ??1 ,e? 时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1 ,e? 上是增函数. x 2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .
由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意. ②当1≤ a ≤ e 时,
2

若1≤ x ? a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a ? x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1 ,a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 ≤a≤e. 2

e ?1 , 2

③当 a ? e 且 x ??1 ,e? 时, f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

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∴函数 f ? x ? ? x ?

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x
a2

∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? e ? ? e ? e . 由e?

a2 ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e

又 a ? e ,∴ a ? e . 综上所述, a 的取值范围为 ?

? e ?1 ? , ?? ? . ? 2 ?

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