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100测评网高二数学练习卷平面与空间直线练习题


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高二数学同步检测一
平面与空间直线 说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ 卷可在各题后直接作答. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 10 小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项) 1.列命

题是真命题的是( ) A.空间不同三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 答案:D 解析:根据公理 3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同一直线上的三 点,才能确定一个平面,所以 A 错.

如图(1),a,b,c 三条直线两两相交,但 a,b,c 不共面,所以 B 错误. 如图(2),显然四边形 ABCD 不能确定一个平面. 2.已知 AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR 等于( ) A.30° B.30°或 150° C.150° D.以上结论都不对 答案:B 解析:由等角定理可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补,即∠PQR=30°或 150°. 3.如右图,α ∩β =l,A∈β ,B∈β ,AB∩l=D,C∈α ,则平面 ABC 和平面α 的交线是(

)

A.直线 AC C.直线 AB 答案:D

B. 直线 BC D.直线 CD

解析: CD 为平面 ABC 与平面α 的交线.故选 D. 4.如图,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 线的图是( )

答案:C 解析:A,B 中的 PQ 与 RS 相互平行;D 中的 PQ 与 RS 相交;由两条直线异面的判定定理可知 C 中的 PQ 与 RS 异面. 5.对“a,b 是异面直线”的叙述,正确的是( ) ①a∩b= ? 且 a 不平行于 b ②a ? 平面α ,b ? 平面β 且α ∩β = ? ③a ? 平面α ,b ? 平面 α ④不存在平面α ,使 a ? 平面α 且 b ? 平面α 成立 A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 答案:C 解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知,结论④正确.空间不相 交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论①,既然两直线不平行,则必然异面.分别在两个 平面内的两条直线可能平行,故②不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还 可能平行或相交,故③不正确.综上所述,只有①④正确. 6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A、B、C 是展开图上的三点,则在正方 体盒子中,∠ABC 的值为?( )

A.180° B.90° C.60° D.45° 答案:C 解析:把平面图形还原为立体图形,找准 A、B、C 三点相对位置,可知∠ABC 在等边△ABC 内.

7.在空间四边形 ABCD 中,M,N 分别是 AB,CD 的中点,设 BC+AD=2a,则 MN 与 a 的大小关系 是( ) A.MN>a B.MN=a C.MN<a D. 不能确定

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 答案:C 解析:如图,取 AC 中点 P,则 MP

1 1 BC,NP AD,且 MP+NP= (BC+AD)=a>MN,故 C 正确. 2 2

8.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( )

A.

10 5

B.

15 5

C.

4 5

D.

2 3

答案:B 解析一:如图(1),取面 CC1D1D 的中心为 H,连结 FH、D1H.易知 OE∥FH,所以∠D1FH 为所 求异面直线所成的角.在△FHD1 中,

FD1=

5 3 2 15 ,FH= ,D1H= 由余弦定理,得∠D1FH 的余弦值为 . 2 2 2 5

解析二:如图(2),取 BC 中点为 G.连结 GC1、FD1,则 GC1∥FD1.再取 GC 中点为 H,连结 HE、 OH,则∠OEH 为异面直线所成的角.

在△OEH 中,OE=

3 5 5 ,HE= ,OH= . 2 4 4 15 . 5

由余弦定理,可得 cos∠OEH=

9.空间有四点 A,B,C,D,每两点的连线长都是 2,动点 P 在线段 AB 上,动点 Q 在线段 CD 上,则 P,Q 两点之间的最小距离为( ) A.1 B.

3 2

C. 2

D. 3

答案:C 解析:PQ 的最小值应是 AB,CD 的公垂线段长.易知 P,Q 分别是 AB,CD 中点时,PQ⊥AB,PQ⊥

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. CD.在 Rt△BQP 中, ∵BQ= 3 ,BP=1,∴PQ= 3 ? 1 = 2 .

10.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中: ①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是( )

A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 答案:C 解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道 BM 与 ED 异面,CN 与 BE 平行,故① ②不正确.

因为 BE∥CN,所以 CN 与 BM 所成的角是∠EBM=60°,延长 CD 至 D′,使 DD′=DC, 则 D′N∥DM,∠BND′就是 DM 与 BN 所成的角.设正方体的棱长为 1, 因为 BN= 3 a,ND′= 2 a,BD′= 5 a,所以 BN2+D′N2=D′B2,即 BN⊥ND′,BN⊥DM. 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,答案需填在题中横线上) 11.以下四个命题: ① A∈ l,A∈ α,B∈ l,B∈ α ? l ? α; ② A∈ α,A∈ β,B∈ α,B∈ β ? α∩β=AB; ③ l ? α,A∈ l ? A ? a; ④ A,B,C∈ α,A,B,C∈ β,且 A,B,C 不共线 ? α 与 β 重合. 其中推理正确的序号是__________. 答案:① ② ④

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 解析:由公理 1 知① 正确;由公理 2 知② 正确;由公理 3 知④ 正确;而③ 中直线 l 可能与平面 α 相 交于 A.故③ 不正确. 12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有____________个. 答案:6

解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面 PAB, 平面 PAC,平面 PAD,平面 PBC,平面 PCD,平面 PBD,共 6 个. 13.(2006 全国重点中学一模,11)给出三个命题: ① 若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行; ② 若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行; ③ 若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行. 其中不正确的序号是__________. 答案:① ②

解析:在如图所示的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1D1⊥ D1D,C1D1⊥ D1D, 即 A1D1 与 D1D,C1D1 与 D1D 所成的角都是 90° ,但 A1D1 与 C1D1 不平行,可知① ② 不正确,由公 理 4 可知③ 正确. 14.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,如果 E、F 分别为 AB、CC1 的中点,那么异面直线 A1C 与 EF 所成的角等于_______________. 答案:arccos

2 3
1 AA1, 2

解析:延长 AA1 到 P,使 A1P=

连结 PF,则 PF∥ A1C,设 A1A=a.

3 2 1 2 10 2 a) +( a) = a , 2 2 4 1 1 6 EF2=( a)2+a2+( a)2= a2,PF2=A1C2=3a2. 2 2 4
则 PE2=(

6 10 3a 2 ? a 2 ? a 2 2 4 4 ∴ cos∠ PEF= . ? 3 6 2 ? 3a ? a 2

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∴ 直线 A1C 与 EF 所成的角等于 arccos

2 . 3

三、解答题(本大题共 5 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 、 F 分别是 D1C1 、 B1C1 的中点, AC∩BD=P , A1C1∩EF=Q,求证: (1)D、B、F、E 四点共面; (2)若直线 A1C 交平面 DBFE 于点 R,则 P、Q、R 三点共线. (1)证法一:∵ EF 是△ D1B1C1 的中位线, ∴ EF∥ B1D1.

在正方体 AC1 中,B1D1∥ BD, ∴ EF∥ BD. 由公理 3 知 EF、BD 确定一个平面, 即 D、B、F、E 四点共面. 证法二:延长 BF,CC1 交于点 G,延长 DE,CC1 交于点 G′.

G 与 G′重合 DE,BF 是相交直线 ? D,B,F,E 四点共面. (2)证明:正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,设 A1ACC1 确定的平面为α ,设平面 DBFE 为β , ∵

Q ? EF ? Q ? ?

? ? ? Q 为α 、β 的公共点. 又Q ? A1C1 ? Q ? ? ?

同理,P 亦为α 、β 的公共点,

? R ? A1C ? R ? ? ? ? 又R ? ? ? ? R∈PQ,即 P、Q、R 三点共线. ∴ 由公理2可知 ? ?
点评:证明多点共线,可先由两点确定一直线,证其余点在直线上.要证点在一条直线上,只 需证明这点是两平面的公共点,而直线是两个平面的交线,这是证点在直线上的常用方法. 16.如图, E、 F、 G、 H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的点, 且有 AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶ FB=CG∶GD=n.

(1)证明 E、F、G、H 四点共面.

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. (2)m、n 满足什么条件时,EFGH 是平行四边形? (3)在(2)的条件下,若 AC⊥BD,试证明 EG=FH. (1)证明: ∵AE∶EB=AH∶HD,∴EH∥BD. ∵CF∶FB=CG∶GD, ∴FG∥BD.∴EH∥FG.∴E、F、G、H 四点共面. (2)解:当且仅当 EH FG 时,四边形 EFGH 为平行四边形.

EH AE m m ? ? ,∴EH= BD. BD AE ? EB m ? 1 m ?1 n 同理,FG= BD.由 EH=FG 得 m=n. n ?1
∵ 故当 m=n 时,四边形 EFGH 为平行四边形. (3)证明:当 m=n 时,AE∶EB=CF∶FB,∴EF∥AC. 又∵AC⊥BD,∴∠FEH 是 AC 与 BD 所成的角.∴∠FEH=90°. 从而 EFGH 为矩形,∴EG=FH. 点评:空间四边形是立体几何的一个基本图形,它各边中点的连线构成平行四边形;当两对 角线相等时该平行四边形为菱形;当两对角线互相垂直时,该平行四边形为矩形;当两对角 线相等且互相垂直时,该平行四边形为正方形. 17.如图,a,b,c 为不共面的三条直线,且相交于一点 O,点 M,N,P 分别在直线 a,b,c 上,点 Q 是 b 上异于 N 的点,判断 MN 与 PQ 的位置关系,并予以证明.

证法一:(反证法) 假设 MN 与 PQ 共面于β ,则点 M,N,P,Q∈β .

又点N , Q ? b ? b ? ? ?? O ? ? ? ? ??c? ? P ? ? O ?b ? ?
同理,a ? β . ∴a,b,c 共面,与已知 a,b,c 不共面矛盾.故 MN 与 PQ 为异面直线.

a ?b ? 0 ? ? 点M , N , Q共面于MON ? 证法二 : M ? ? ? ? ? 又Q ? b且异于N ? ? ? N,Q ? b ?
点 Q ? MN,

OP ? 平面MON ? ? ? 点 P ? 平面 MON. P?c ?
故平面 MON 内一点 Q 与平面外一点 P 的连线 PQ 与平面内不过 Q 点的直线 MN 是异面直 线. 18.如图所示,今有一正方体木料 ABCD—A1B1C1D1,其中 M,N 分别是 AB,CB 的中点,要过

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. D1,M,N 三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?

解:作法如下: (1)连结 MN 并延长交 DC 的延长线于 F,连结 D1F 交 CC1 于 Q,连结 QN; (2)延长 NM 交 DA 的延长线于 E,连结 D1E 交 A1A 于 P,连结 MP; (3)依次在正方体各个面上画线 D1P,PM,MN,NQ,QD1,即为木工师傅所要画的线.

19. 如 图 ,AB,CD 是 两 条 异 面 直 线 ,AB=CD=3a,E,F 分 别 是 线 段 AD,BC 上 的 点 , 且 ED=2AE,FC=2BF,EF= 7 a,G∈BD,EG∥AB. (1)求 AB 与 CD 所成的角; (2)求△EFG 的面积.

解:(1)∵ED=2AE,EG∥AB,∴DG=2BG. ∵FC=2BF,∴FG∥DC. ∴∠EGF 即为 AB 与 CD 所成的角或其补角. ∵AB=CD=3a,EG=2a,GF=a,又 EF= 7 a,

∴cos∠EGF=

EG 2 ? GF 2 ? EF 2 4a 2 ? a 2 ? 7a 2 1 ? ?? . 2 EG ? GF 2 ? 2a ? a 2

∴∠EGF=120°.∴AB 与 CD 所成的角为 60°. (2)S△EFG= =

1 EG·GF·sin120° 2

1 ×2a×a×sin120° 2

=

3 2 a. 2

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