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安阳市第二中学 郭丽娜


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2012年安阳市中学数学小论文评选封面
学生姓名 指导教师 张静 郭丽娜 学校、年级 工作单位 安阳市第二中学高一年级 安阳市第二中学

征文题目

分段函数的学习心得

摘要: 分段函数作为一类特殊的函数,有着广泛的应用,已越来越作为高 考的重点和热点出现. 本文是学生根据自己

的理解对分段函数的概念和主 要题型写的一些心得体会.

论 文 内 容 摘 要

市 教 研 室 意 见

盖 章 年 月 日

论文编号(评审时填写)

分段函数的学习心得
分段函数作为一类特殊的函数,有着广泛的应用,已越来越作为高考的重点和 热点出现. 在学习过程中对分段函数的概念和主要题型根据自己的理解写了一些 心得体会. 一. 分段函数的概念

有些函数, 在它的定义域中 , 对于自变量的不同取值范围 ,对应法则有不同的 表示,这样的函数通常称为分段函数. 分段函数是一个函数,一个对应法则,而不是几个函数,几个对应法则.它的定 义域是各段自变量集合的并集,值域是各段函数值集合的并集. 二. 分段函数的主要题型 1.作分段函数的图象 例 1 已知函数

? 2, x ? ?0,5?, ? y ? ? 3, x ? ?5,10?, 画出这个函数的图象. ?4, x ? ?10,15?. ?
注:分段函数的定义域有几段,其图象就由几条曲线组成.作图时要注意每段 的自变量的取值范围 ,特别是不连续的函数的图象每段端点的虚实 .( 本例函数图 象参考人教版必修 1 课本第 21 页例 6) 2.求分段函数的函数值 例 2 已知函数

? x ?2 , x ? 0, ? f ? x ? ? ? 3 ,0 ? x ? 1, ?log x, x ? 1. ? 1 ? 3

求 f ? f ? f ?a???(a ? 0)的值.

解: 求此函数的关键是由内到外逐一求值.

由a ? 0, 得f ?a ? ? 2 a , 又0 ? 2 a ? 1,.? f ? f ?a ?? ? f 2 a ? 3 , 又 3 ? 1,? f

? 3 ? ? log

? ?

1 3

1 1 3 ? ? .所以f ? f ? f ?a ??? ? ? . 2 2

3.求分段函数的解析式 例 3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2) 5 公里以上, 每增加 5 公里, 票价增加 1 元 (不足 5 公里的按 5 公里计算) . 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解 析式. 解 : 设 票 价 为 y 元 , 里程 为 x 公 里 , 由 题 意可知 , 自 变 量 x 的 取 值 范围 是

?0,20? .
由“招手即停”公共汽车票价的制定规则,可得到以下函数解析式:

?2, 0 ? x ? 5, ?3, 5 ? x ? 10, ? y?? ?4, 10 ? x ? 15, ? ?5, 15 ? x ? 20.
注:求分段函数的解析式,只要把函数自变量不同的每一段的解析式分别求出 来,结果写成分段函数的形式即可. 4.求分段函数的值域 例4 已知函数

? x 2 ? 1, x ? 0, f ?x ? ? ? 求这个函数的值域. 2 ? ? x , x ? 0.
2 解: 当x ? 0时, x ? 1 ? 1;

当x ? 0时,? x 2 ? 0.

所以,函数 f ?x ? 的值域是 ?? ?,0? ? ?1,???. 注:求分段函数的值域,只要分别求出各段函数的值域,再取其并集即可. 5.判定分段函数的奇偶性 例5 已知函数

? x 2 ( x ? 1), x ? 0, f ?x ? ? ? 2 ?? x ( x ? 1), x ? 0.

判断它的奇偶性.

解:当x ? 0时,? x ? 0, f ?? x ? ? ??? x ? ?? x ? 1? ? x 2 ( x ? 1) ? f ( x);
2

当x ? 0时, f (?0) ? f (0) ? 0; 当x ? 0时,? x ? 0, f (? x) ? (? x) 2 (? x ? 1) ? ? x 2 ( x ? 1) ? f ( x).
对任意 x ? R都有f (? x) ? f ( x), 所以函数 f ( x) 为偶函数. 注: 判定分段函数的奇偶性,必须对 x 的值分类,通过比较

f ( x)与f (? x)的关系,得出 f ( x) 是否是奇函数或偶函数的结论.
6.判断分段函数的单调性

? x 2 ? 1, x ? 0, ? ? f x ? 例 6 已知函数 判断它的单调性. ? 2 ? ? x , x ? 0.
解: 由于 x ? R, 所以必须分三种情况:

(1)当x1 ? x2 ? 0时,
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? 1 ? ( x2 ? 1) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0

(2)当x2 ? x1 ? 0时,
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x12 ? (? x2 ) ? ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? 0

(3)当x1 ? 0 ? x2时,
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? 1 ? (? x2 ) ? x12 ? x2 ?1 ? 0

综上所述,当 x ? R 且 x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 为增函数. 注:分段函数的单调性的讨论必须对变量的取值范围分类讨论. 7.解分段函数的不等式
?x ? ?2 1? 1, x ? 0, 若f ( x0 ) ? 1, 则x0的取值范围是_____. 例 7 设函数f ( x) ? ? 2 ? ? x , x ? 0.

解:当x0 ? 0时,2 ? x0 ? 1 ? 1, 解得x0 ? ?1; 当x0 ? 0时, x ? 1, 解得x0 ? 1.所以x0的取值范围是(- ?, -1 ) ? ( 1, ? ?) .
1 2 0

注 : 解分段函数的不等式只要分别求出各段上的不等式的解集 ,再求其并集 即可.

教师点评: 分段函数作为一类特殊的函数,在高中数学中起着举重若轻的作用。在生活 中,有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税 额等。分段函数既然作为一类特殊的函数,那么它本身应具有作为一个函数应有 的图象与性质。 在本文中,作者对分段函数的概念和主要题型作了详细的总结,这些都是学 生平时学习的点点滴滴,这些心得体会可以帮助学生解决一些常见的分段函数的 问题,而且从文中可看出作者已对此部分内容学习很用心,有自己的体会和见解。 还可以看出作者对分段函数的概念理解比较透彻,对其图象与性质以及涉及的题 型掌握比较全面。能根据自己平时所学对分段函数有如此体会,实属不易。已养 成勤于思考,善于思考的良好学习习惯。