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CAP微积分(上)练习题题目

时间:2017-10-28


CAP 微积分(上)练习题

(全卷共 15 题,共 100 分,考试时间 120 分钟)
一、选择题:1~6 小题,每小题 4 分,共 24 分.下列每题给出的四个选项 中,只有一个选项是符合题目要求的.
x ? 1) (1)已知函数 f ( x) = (e ?x1)sin( ,则 f ( x) 的可去间断点是 ( x ? 1) (A)

x = 0 和 x = 1 均是 f ( x) 的可去间断点. (B) x = 0 和 x = 1 均是 f ( x) 的跳跃间断点. (C) x = 0 和 x = 1 分别是 f ( x) 的可去间断点和跳跃间断点. (D) x = 0 和 x = 1 分别是 f ( x) 的跳跃间断点和可去间断点. f ( ? x) (2)设函数 f ( x) 在 x = 0 处可导,且 lim f (2 x) ? = 1 ,则 f ′(0) = x (A)1 . (B) 3 . 1 (C) 1 . ( D) . 2 3
x2
x→0

(3)设函数

(A) 0 . (C) 2 .

? ln x , x > 0, x ≠ 1, ? f ( x) = ? x 2 ? 1 ? x =1 ? a,

在 x = 1 处连续,则 a = (B)1 . (D) 1 . 2

y y=f '(x)

(4)右图是可导函数 f ( x) 的导函数 y = f ′( x) 的图象, 从图上可以看出,函数 f ( x) 的极值点与拐点的个数依次 为 (A) 3 , 3 . (B) 3 , 4 . (C) 4 , 3 . (D) 4 , 4 . (5)曲线 y =
3 4

O

x

x2 + 8

2x + 1

在 x = 0 对应的点处的切线方程是
x (B) y = x + 4 . (D) y = 2 + x .

x (A) y = 2 ? 4 . (C) y = 2 ? x .

(6)设函数 f ( x) 满足 f ′′( x) < 0 ,且 f (0) = f ′(0) = 1 ,则 (A) f (2) = 3 . (B) f (2) > 3 . (C) f (2) < 3 . (D) f (2) 与 3 的大小关系无法确定.
二、填空题:7~10 小题,每小题 4 分,共 16 分.
+1? ( 7 ) lim ??? n ? n ?1?
n →∞
2n

=


2
2

( 8 )微分方程 y′ = y sec x 满足条件 y(0) = 1 的解是 y = ( 9 )函数 y = x 1 + x 在 x = 0 , dx = 2 时的微分值 dy = (10)设 f ( x) = x + x + o( x ) ( x → 0) ,则 f ′′(0) =
2 2

. . .

三、解答题:11~15 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

(11) (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) =
1 + sin x + sin 2 x ? (a + b sin x) x2

算步骤.

,且 x = 0 是 f ( x) 的可去间断点,求 a, b

的值. (12) (本题满分 12 分) 设函数 y = y( x) 由方程 1 y + xy + x y = 9 确定,求 y ′(0) 和 y ′′(0) 的值. 3 (13) (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = (1 +x x) ,求函数 f ( x) 的: (I)单调递减区间及极值; (II)下凸区间及拐点; (III)图象的渐近线.
3 2 2

3

2

2/3

(14) (本题满分 12 分) 当 x ∈ (0, π ) 时,证明 3x < tan x + 2sin x . 2 (15) (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) 在 (?∞, +∞) 上可导.证明: (I)若 f ′( x) ≤ ?1 ,则 lim f ( x) = ?∞ ;
x →+∞

(II)若 f ′( x) ≤1 ,则存在 ξ ∈ (?∞, +∞) ,使得 f (ξ ) = 2ξ .

3/3