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湖北省 黄冈中学 襄阳四中 黄石二中 襄阳五中等八校2013届第一次联考理数

时间:2013-01-22


湖北省 鄂南高中 荆州中学 华师一附中 孝 感高中 黄冈中学 襄阳四中 黄石二中 襄 阳五中八校

2013 届高三第一次联考
数学试题(理)
考试时间:2012 年 12 月 21 日下午 15:00——17:00 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一个符合一目要求的. 1.集合 A= x y ? - x 2 ?10x ?16 ,集合 B= ?y y ? log 2 x, x ? A?,则 A ? CR B ? ( B. ?1,? C. ?3, 2 8? 2.若命题 p: ?x0 ? ?- 3,3?, x ? 2 x0 ? 1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是(
2 A ?x0 ? ?- 3,3?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 2 0 2 C. ?x0 ? ?- ?,-3? ? ?3,?? ?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

?

?

)

A. ?2, 3?

D. ?3, 8?


2 B ?x0 ? ?- ?,-3? ? ?3,?? ?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 2 D. ?x0 ? ?- 3,3?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

3.某实心机器零件的三视图如图所示,该机器零件的体积为( A. 36? 2? B. 36? 4? C. 36? 8? 4.等比数列



D. 36? 10?


?an ?各项为正, a3 , a5 ,-a4 成等差数列. S n 为 ?an ?的前 n 项和,则 S 6 =(
S3

A.2

B.

7 8

C.

9 8

D.

5 4

5.如图 MN 是半圆 O 的直径,MN=2,等边三角形 OAB 的顶点 A、B 在半圆弧上,且 AB//MN,点 P 半圆 弧上的动点,则 PA? PB 的取值范围是( )

?3 3 ? A. ? , ? 3 ? ?2 2 ?
6.若双曲线 x ?
2

3? ?3 B. ? - 3, ? 2? ?2

3 ?3 ? C. ? - 3, ? 3 ? 2 ?2 ?

?3 - 3 3 ? ,? D. ? 2 2? ?


y2 ? ?? ? 1 的一条渐近线的倾斜角 ? ? ? 0, ? ,则 m 的取值范围是( 2 m ? 3?

A. ?- 3,0?

B. - 3 ,0

?

?
C.

C. ?0,3?


( D. -

3 ,0) 3

7.在 ?ABC中, sin( A ? B) ? sinC

A.

? 3

B.

? 6

3 ? , BC ? 3 AC, 则 ?B ? ( 2

?

6



?

3

D.

? 2

1

8.已知 a, b, c ? R ,则 2a ? 3b ? 6c ? 1 是 a ? b ? c ?
2 2 2

?-1,1?的(



A.充分不必要条件 C.充分必要条件
9.若实数 x, y 满足: ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? 2y ? x ? 0
2 ?y ? 5 ? x

,则 x ? 2 y 的最大值是(



B. 2 5 C.5 D5 5 x ? 3 ( x ? 0) 2 10.已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g( x) ? f ( x) ? f ( x) ? t (t ? R) .关于 g (x) 的零 ?log3 (- x) ( x ? 0)
点,下列判断不正确的是( ... )

A.3

1 1 A.若 t ? , g ( x) 有一个零点 B.若 - 2 ? t ? , g ( x) 有两个零点 4 4 t ? -2, g ( x) 有三个零点 t ? -2, g ( x) 有四个零点 C.若 D.若 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必做题(11-14 题) 11.已知复数 z ? (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i ), i 为虚数单位,则 z 的共轭复数是 . 1 1 12.函数 f ( x) ? x ln x , a ? f (2), b ? f ( ), c ? f ( ) ,则 a, b, c 从小到大的排列是 3 4 13.阅读如图所示程序框图,运行相应程序,输出结果 n = .
14.如图把函数

.

x3 x3 x5 x3 x5 x7 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? x ? , f 3 ( x) ? x ? ? , f 4 ( x) ? x ? ? ? , 6 6 120 6 120 5040 x3 x5 x7 x9 f 5 ( x) ? x ? ? ? ? ,依次称为 f ( x) ? sin x 在 ?0,? ? 上的第 1 项、2 项、3 6 120 5040 362880 项、4 项、5 项多项式逼近函数.以此类推,请将 f ( x) ? sin x 的 n 项多项式逼近函数 f n (x) 在横线
上补充完整:

f n ( x) ? ?
k ?1

2 n ?1

(

) (n, k ? N ?) .

(二)选做题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作 答结果计分)
15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图过点 A 作圆 O 的一条切线 AB ,切点为 B , OA交圆 O 于点 C . 若 OC ? CA , BC ? 1 ,则 AB ? . 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 曲线 C 的极坐标方程为: ? ? cos ? ? sin ? ,化成普通方程为 三、解答题:本大题共 .

6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.
17.(本小题满分

12 分)

2

函数 f ( x) ? A sin( wx ? ? ) ? 1 (A ? 0,w ? 0, 中心之间的距离为

? ?

?
2

) 的最大值为 2,其图像相邻两个对称

? ? 1 ,且经过点 ( , ). 2 12 12

(1)求函数 f (x ) 的单调递增区间; (2)若

f (? ) ?

7 ? ? ?? ? ? ,且 ? ? ?12 , ? ,求 f ( 2 ? 6 ) 的值. 4? 5 ?

18.(本小题满分

12 分)

已知数列 {an} 满足: a1 (1)证明数列 {

- 2an ? 3 2 . a (n ? N ?) ? - , n ?1 ? 3an ? 4 3

1 } 是等差数列,并求 ?an ?的通项公式; an ? 1
第一次八校联考数学(理)试题 第 3 页 (共 5 页)

3n (2)数列 {bn } 满足: bn ? ,求 (n ? N ?) {bn }的前 n 项和 S n . an ? 1
19.(本小题满分

12 分) 0 0 如图 I,平面四边形 ABCD中, ?A ? 60 ,?ABC ? 150 ,AB ? AD ? 2 BC ? 4, 把 ?ABD 沿直线 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 BCD,连接 AC 得到如图 II 所示四面 体 A ? BCD.设点 O, E , F 分别是 BD, AB, AC 的中点.连接 CE , BF 交于点 G ,连接 OG . (1)证明: OG ? AC ; (2)求二面角 B ? AD? C 的大小.

20.(本小题满分 12 分) 在淘宝网上,某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销 售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克, 1 ? x ? 5 )满足:当 1 ? x ? 3 时,

y ? a( x ? 3)2 ?

b , a, b为常数) ;当 3 ? x ? 5 时, y ? -70 x ? 490 .已知当销售价格为 2 ( x ?1

元/千克时,每日可售出该特产 700 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出 150 千克. (1)求 a, b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特产所获利润 f (x) 最大( x 精确但 0.01 元/千克).

3

21.(本小题满分

13 分) 2 如图所示, 过点 M (m,1) 作直线 AB 交抛物线 x ? y 于 A, B 两点, AM ? MB ,过 M 作 x 且

轴的垂线交抛物线于点 C .连接 AC , BC , 记三角形 ABC的面积为 S ? ,记直线 AB 与抛物线所围成 的阴影区域的面积为 S弓 . (1)求 m 的取值范围; (2)当 S ? 最大时,求 m 的值; (3)是否存在常数 ? ,使得 若不存在,请说明理由.
第一次八校联考数学(理)试题 第 4 页 (共 5 页)

S? 若存在,求出 ? 的值; ??? S弓

22.(本小题满分

14 分) t 已知函数 f ( x) ? (1 ? x) ?1 的定义域为 ?- 1,?? ? ,其中实数 t 满足 t ? 0且t ? 1.直线 l : y ? g (x) 是 f (x) 的图像在 x ? 0 处的切线. (1)求 l 的方程: y ? g (x ) ; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,试确定 t 的取值范围;
(3)若 a1 , a2 ? ?0,1?,求证: a1 1
a a a ? a2 2 ? a1a2 ? a21 . ( ? 注:当 ? 为实数时,有求导公式 x?)? ?x? ?1 .

湖北省八校 2013 届高三第一次联考数学(理科)参考答案
一 选择题: 1.D 2.A 二 填空题

3.A

4.C

5.B

6.A 7.B

8. A

9.C

10.D

1 2 ? ? i 5 5 12. b ? c? a
11. 13. 3

k? x k (k ? 1)? x k (i k ?1 ? (?i ) k ?1 ) x k ) , ) 14. sin( [供参考: cos( (i 为虚数单位)] 2 k! 2 k! 2 k! 15. 3 2 2 16. x ? x ? y ? y ? 0

4

三 解答题: 17. 解:(1)由已知: A ? 3, ? ? 2, ?

, f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ?1 ……….3’ 3 3 ? ? ? 5 ? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 得 k? ? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 2 3 2 12 12 5 ? 所以 f ( x ) 单调递增区间是 [k? ? ……….6’ ? , k? ? ](k ? Z ) ; 12 12 7 ? 4 (2)由 f (? ) ? ,得 sin(2? ? ) ? , 5 3 5 ? ? ? 3 ? ? ? [ , ] 所以 cos(2? ? ) ? ? 12 4 3 5

?

?

?

1 ? cos(2? ? ) ? ? 2? ? 3 ?1 f ( ? ) ? 3sin(? ? ) ? 1 ? 3cos(? ? ) ? 1 = 3 2 6 3 6 2 3 5 = ………12’ ?1 . 5
18. 解: (1)因为

?

1 an?1 ? 1
?

?

3a ? 4 1 1 ? n ? 3? ?2an ? 3 an ? 1 ? 1 an ? 1 3an ? 4

1 ?3 an ?1 ? 1 an ? 1 1 所以{ }是首项为 3,公差为 3 的等差数列。 ..............4' an ? 1 1 所以 ? 3n , an ? 1 1 所以 an ? ..................5' ?1 ; 3n 3n ? 3n ?1 n (2)由已知 bn ? ................6’ an ? 1
所以

1

Sn ? 32 ?1 ? 3 ? 2 ? ... ? 3n ? (n ?1) ? 3n?1 ? n ①
3

3Sn ? 33 ?1 ? 34 ? 2 ? ... ? 3n ?1 ? ( n ? 1) ? 3n ? 2 ? n ②
① - ②得

?2Sn ? 32 ? 3 ? ... ? 3n?1 ? 3n?2 ? n
3

32 (3n ? 1) n ? 2 ?3 ?n 3 ?1 3n ? 2 ? 9 n n ? 2 ? 3 所以 S n ? ?4 2 ?

................9’

5

?

(2n ? 1) n?2 9 3 ? . 4 4

................12’

19. 解: (以下仅提供一种解法,其它解法酌情给分) (1) 由已知, ?ABD 是等边三角形,取 OD 的中点 M ,连接 AM 、CM、FM 在三角形 ABM 中,BM=3,AB=4,B= 60 , 由余弦定理得 AM=
?

13 13

在三角形 CBM 中,BC=2,BM=3, CB ? BD ,得 CM= 所以 AM=CM, 因为 F 为 AC 中点,所以 MF ? AC 由已知,G 为三角形 ABC 的重心, 所以 BG:GF=BO:OM=2:1 所以 OG//MF, 所以 OG ? AC ; (2)? 平面 ABD ? 平面 BCD , 平面 ABD? 平面 BCD =BD

. . . . . . . . . . . . . . . . . 6'

CB ? BD ? CB ? 面 ABD ? CB ? AB ? ?ABC ? ?BCD ? AC ? CD

取 AD 中点 N,连接 CN,BN, 则 CN ? AD,BN ? AD 所以 ?BNC 是二面角 B ? AD ? C 的平面角. 在三角形 BNC 中,CB ? BN,BC=2,BN= 2 所以二面角 B ? AD ? C 的大小为 30
?

3 ,所以 ?BNC = 30 ?
. ..... ..... .... 12'

20. 解:(I)因为 x=2 时,y=700;x=3 时,y=150,所以

?b ? ? 150 解得 a ? 400, b ? 300 ?2 ?a ? b ? 700 ? 300 ? 2 (1 ? x ? 3) ?400( x ? 3) ? 每日的销售量 y ? ? ; x ?1 ??70 x ? 490(3 ? x ? 5) ?
(II)由(I)知, 当 1 ? x ? 3 时: 每日销售利润

.......4'

300 ]( x ? 1) ? 400( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 x ?1 3 2 ? 400( x ? 7x ?15x ? 9) ? 300 ( 1 ? x ? 3 ) 2 f '( x ) ? 400(3x ?14x ?15) f ( x) ? [400( x ? 3)2 ?

6

5 , 或 x ? 3 时 f '( x) ? 0 3 5 5 当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单增;当 x ? ( ,3) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单减. 3 3 5 5 32 ? x ? 是函数 f ( x) 在 (1, 3] 上的唯一极大值点, f ( ) ? 400 ? ? 300 ? 700 ; 3 3 27
当x? .........8' 当 3 ? x ? 5 时:
2 每日销售利润 f ( x) ? (?70 x ? 490)( x ? 1) = ?70( x ? 8x ? 7)

5 f ( x) 在 x ? 4 有最大值,且 f (4) ? 630 ? f ( ) . 3 5 综上,销售价格 x ? ? 1.67 元/千克时,每日利润最大. 3

.........11' ..........12'

21. 解:(1)易知直线 AB 的斜率存在,设 AB 直线方程为 y ? k ( x ? m) ? 1

? y 得, x 2 ? kx ? mk ? 1 ? 0 (*) 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) x ? x2 k 因为 M 是 AB 的中点,所以 m ? 1 ? ,即 k ? 2m 2 2 2 2 方程(*)即为: x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 (**) 2 2 由 ? ? 4m ? 8m ? 4 ? 0 得 ?1 ? m ? 1 所以 m 的取值范围是 ( ?1,1) ; ......4' 2 (2)因为 M (m,1), C(m, m ), MC ? x 轴, 2 所以|MC|= 1 ? m ,
代入抛物线方程 x
2

由方程(**)得 x1 ? x2 ? 2m, x1 x2 ? 2m ? 1
2

所以 S ? = SACM

1 1 | ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 . MC | | ? SBCM = | x1 ? x2 | . MC | = 2 2
3

1 = 4 ? 4m2 . ? m2 ) = (1 ? m 2 ) 2 ≤1 (1 2 所以当 S ? 最大时, m ? 0 ; 3 (3)常数 ? 存在且 ? ? 4 不妨设 x1 ? x2
x2 x2 x1 x1

......8'

S弓 =? [k ( x ? m) ? 1 ? x2 ]dx =? [2mx ? 1 ? 2m2 ? x2 ]dx
1 ? [mx2 ? (1 ? 2m2 ) x ? x3 ] |x12 x 3

1 3 2 ? m( x2 ? x12 ) ? (1 ? 2m2 )( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x13 ) 3

7

1 2 ? ( x2 ? x1 )[m( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2m2 ) ? ( x2 ? x2 x1 ? x12 )] 3 1 ? ( x2 ? x1 )[m( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2m2 ) ? (( x2 ? x1 )2 ? x2 x1 )] 3 2 由方程(**)得 x1 ? x2 ? 2m, x1 x2 ? 2m ? 1 ,
代入上式化简得 S弓 ?
2

3 2 4 4 ? 4m2 . (1 ? m2 ) ? (1 ? m2 ) 2 3 3
3

由(2)知 S ? = (1 ? m ) 2

S (1 ? m 2 ) 2 3 所以 ? = ? 3 S弓 4 4 (1 ? m 2 ) 2 3 3 所以常数 ? 存在且 ? ? . 4
3' 22. 解:(1)因为 (2)令 h( x) ?

3

.................1

f '( x) ? t (1? x)x?1 ,所以 f '(0) ? t ,
. . . . . . . . . . 2' . . . . . . . . . .
t

又 f (0) ? 0 , 所以 l : y ? tx ;

f ( x) ? g( x) ? (1? x) ? tx ?1 h '(x) ? t (1? x) ? t ? t[(1? x)t ?1 ?1] 当 t ? 0 时, (1 ? x)t ?1 ? 1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0
t ?1

当 x ? ( ?1, 0) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减;当 x ? (0, ??) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增. 所以,x ? 0 是 h ( x ) 的唯一极小值点, 所以 h ( x ) ? h(0) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立; . . . . 4' 当 0 ? t ? 1 时,

(1 ? x)t ?1 ? 1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0
当 x ? ( ?1, 0) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增;当 x ? (0, ??) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减. 所以, x ? 0 是 h ( x ) 的唯一极大值点,所以 h ( x ) ? h(0) ? 0 ,不满足 f ( x ) ≥ g ( x) 恒成 立;........6' 当 t ? 1 时,

(1 ? x)t ?1 ? 1 单调递增,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0 当 x ? ( ?1, 0) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减;当 x ? (0, ??) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增. 所以, x ? 0 是 h ( x ) 的唯一极小值点,所以 h ( x ) ? h(0) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立;
综上, t ? (??, 0) ? (1, ??) ; (3) 当 a1 ..............8' ............9'

? a2 ,不等式显然成立; 当 a1 ? a2 时,不妨设 a1 ? a2
令 ?( x) ? x 1
a

a1a1 ? a2 a2 > a1a2 ? a2 a1 ? a1a1 ? a1a2 ? a2 a1 ? a2 a2
下证 ? ( x) 是单调减函数:

? xa2 , x ?[a1, a2 ]

8

? '( x) ? a1 x a ?1 ? a2 x a ?1 ? a1 x a ?1 ( x a ?a ?
1 2 2 1 2

a2 ) a1
1 ?1 1 ? a1 ? a2

易知 a1 ? a2 ? (?1,0) , 1 ? a1 ? a2 ? (0,1) , 由(2)知当 t 所以 a
1 1? a1 ? a2 2

? 1 , (1? x)t ? 1? tx , x ?[a1, a2 ]
1 1? a1 ? a2

? [1 ? (a2 ? 1)]

? 1?

a2 ? 1 a1 ? ? a1 1 ? a1 ? a2 1 ? a1 ? a2

所以 a2 ? a1 所以

1? a1 ? a2

a2 ? a1a1 ? a2 ? x a1 ? a2 a1 所以 ? '( x) ? 0 , 所以 ? ( x) 在 [a1 , a2 ] 上单调递减.
所以 ?(a1 ) ? ?(a2 ) ,即 a1 1 ? a1
a a2

? a2 a1 ? a2 a2
...............14'

所以 a1 1 ? a2 2 > a1 2 ? a2 1 .
a a a a

综上, a1 1 ? a2 2 ≥ a1 2 ? a2 1 成立.
a a a a

9


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