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1-2 函数及其表示(习题课)


高考调研

新课标A版 ·数学 ·必修1

第一章

集合与函数概念

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第一章

集合与函数概念

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1.2 函数及其表示

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集合与函数概念

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1. 2

函数及其表示(习题课)

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第一章

集合与函数概念

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课 时 学 案

课 时 作 业

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课 时 学 案

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1.2

习题课

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题型一

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含参数的函数的定义域的求法

例1 已知-b<a<0,且函数f(x)的定义域是[a,b],则函数 F(x)=f(x)+f(-x)的定义域是( A.[a,b] C.[-b,b] )

B.[-b,-a] D.[a,-a]

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1.2

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【解析】

? ?a≤x≤b, ∵? ? ?a≤-x≤b,

? ?a≤x≤b, ∴? ? ?-b≤x≤-a.

又∵-b<a<0,∴a≤x≤-a,∴选D.

【答案】 D

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1.2

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题型二 已知原函数的定义域,求复合函数的定义域
例2 义域. 【思路点拨】 函数f(x)的定义域为[a,b]指a≤x≤b,即在 已知函数f(x)的定义域为[-1,3],求函数f(2x-1)的定

同一对应法则f的作用下,接受法则的对象无论是什么代数式 时,必受a≤x≤b制约.

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【解析】

因为函数f(x)的定义域为[-1,3],所以对于函数

f(2x-1),有-1≤2x-1≤3,解得0≤x≤2. 故函数f(2x-1)的定义域是[0,2].

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1.2

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探究1

(1)此题比较抽象,理解关键在于:由于函数的定义

域是自变量的范围,而f(x)的自变量是x,对于函数f[g(x)]而言, 自变量也是x,但同时有f(x)中的“x”的范围与f[g(x)]中的“g(x)”的 范围是相同的. (2)法则“f”相当于一间屋子,任何“人”住进来,空间都不 变! (3)已知f(x)定义域为[a,b],求f[g(x)]定义域. 只需解不等式a≤g(x)≤b,即得f[g(x)]的定义域.
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1.2

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思考题1 ________.

已知f(x)的定义域为[0,2],f(x2)的定义域为

【答案】 [- 2, 2]

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题型三

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已知复合函数的定义域,求原函数的定义域

例3 已知函数f(x+3)的定义域为[-1,3],求函数f(x)的定义 域. 【思路点拨】 由于函数f(x+3)的定义域[-1,3],所以- 1≤x≤3,得到2≤x+3≤6,故可以得到函数f(x)的定义域.

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【解析】

因为函数f(x+3)的定义域为[-1,3],

所以由-1≤x≤3,得到2≤x+3≤6. 所以函数f(x)的定义域是[2,6].

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探究2 已知f[g(x)]定义域为[a,b],求f(x)定义域只需根据 a≤x≤b,求出g(x)的范围即得f(x)的定义域. 思考题2 (1)(2013· 大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(- 1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( A.(-1,1) C.(-1,0) 1 B.(-1,-2) 1 D.(2,1) )

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1.2

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【解析】

1 由-1<2x+1<0,解得-1<x<- .故函数f(2x+1) 2

1 的定义域为(-1,-2).
【答案】 B

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(2)已知f(x )的定义域为 ________.
【答案】 [0,4]

2

? 1 ? ?- ,2? ? 2 ?

,则y=f(x)的定义域为

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(3)已知函数f(x+2)的定义域为[1,3],求函数f(1-x)的定义 域.
【解析】 ∵f(x+2)的定义域为[1,3], ∴3≤x+2≤5,∴f(x)的定义域为[3,5]. 要使f(1-x)有意义则,3≤1-x≤5,∴-4≤x≤-2. ∴f(1-x)的定义域为{x|-4≤x≤-2}.

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1.2

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题型四

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图像法求函数的值域

例4

作出下列函数的图像并写出它们的值域.

(1)y=|x-1|+|x+1|; (2)y=x,x∈Z且|x|≤2; (3)y=|x2-2x|; (4)y=2x2-4x-3(0≤x<3).

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1.2

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【解析】

(1)y=|x-1|+|x+1|

?-2x ?x≤-1?, ? =?2 ?-1<x≤1?, ?2x ?x>1?. ?

图像下左图.

由图像可得值域为[2,+∞). (2)显然x=-2,-1,0,1,2相应地有y=-2,-1,0,1,2.函数的 图像是由五个点构成的,见下右图. 值域为:{-2,-1,0,1,2}.

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1.2

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1.2

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2 ? x -2x ?x≤0或x≥2?, ? 2 (3)y=|x -2x|=? 2 ? ?-?x -2x? ?0<x<2?.

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图像如下左图,值域为[0,+∞). (4)y=2(x2-2x+1)-5=2(x-1)2-5, 图像见下右图.y∈[-5,3).

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1.2

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题型五 抽象函数的求值

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例5

设函数y=f(x),x∈R,f(x)≠0,对任意的实数x,y均

有f(x+y)=f(x)· f(y)成立. (1)求f(0); 1 (2)求证:f(-1)= ; f?1? (3)求证:f(x)>0对任意x都成立.

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1.2

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【解析】 =1.

(1)令x=y=0,得f(0)=f2(0),∵f(x)≠0,∴f(0)

1 (2)令x=1,y=-1,得f(-1)= . f?1? x x 2 x (3)f(x)=f(2+2)=f (2)>0.

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1.2

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探究3

此类抽象函数的求值问题往往采取赋值法.

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题型六
例6

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函数图像的应用

向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水 )

深h的函数关系的图像如图所示,那么水瓶形状是(

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第一章

1.2

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【解析】

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方法1:根据题意,V=f(h)的图像是一段曲线,

V随h的增加而增加,而且开始阶段V的增加较快,以后渐渐变 慢,故水瓶的形状必是下口大上口小,于是答案选B. 方法2:设注水量V与水深h的关系为V=f(h),则由图可知, f
?H? ? ? ?2?

1 > 2 f(H),即当用水达到一半时,水上升的高度还未达到一

半,也就是开始阶段用水较多,从而有水瓶的形状为下口大上 口小,答案选B.
【答案】
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B
第一章 1.2 习题课

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例7

当m为怎样的实数时,方程x2-4|x|+5=m有四个互不

相等的实数根?

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习题课

高考调研
【解析】 先作出y=x2-4|x|+5的图像.

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2 ? ?x -4x+5,x≥0, y=? 2 ? ?x +4x+5,x<0.

如下图所示,从图上可以直接看出,

当1<m<5时,方程有四个互不相等的实根.
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1.2

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探究4

函数图像直观,能够帮助我们正确理解概念和有关

性质,数形结合是研究数学的一个重要手段,是解题的一个有 效途径,用数形结合解题比较直观,便于发现问题,启发思 考,有助于培养综合运用数学知识来解决问题的能力.

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1.2

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课时作业(十一)

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第一章

1.2

习题课


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