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江苏省扬州中学2012-2013学年高一12月月考 数学 Word版含答案


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江苏省扬州中学 2012—2013 学年第一学期月考试卷 高一数学
(本卷考试时间 120 分钟,满分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 A ? ?? 1,2,3?, f : x ? 2 x ? 1 是集合 A 到集合 B

的映射,则集合 B ? 2012 年 12 月 15 日

2. f ( x) ? cos( x ? ?

?
6

) 最小正周期为

? ,其中 ? ? 0 ,则 ? ? 5

3.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 ( x ? R )是偶函数,则实数 a =
2

4.已知集合 A ? ?1,4? , B ? ?? ?, a ? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是



5.函数 f ( x) ? 2 sin( ?

x 3

?
6

) 的一个对称中心是

6.若 a ? 50.3 , b ? 0.35 , c ? log 5 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是

7.已知角 ? 的终边经过点 P(?x,?6) ,且 cos? ? ?

1 1 5 ,则 ? ? 13 sin ? tan?

8.函数 y ? 16 ? 4 的值域是
x

9.已知函数 f (x) 满足:当 x ? 4, f ( x) ? ( ) ,当 x ? 4, f ( x) ? f ( x ? 1) ,则
x

1 2

f (2 ? log 2 3) =

10.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 最小值是 .

?
3

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合,则 ? 的 3

11.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是

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12.已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间 ?0,??? 上是单调递增,若

f (lg 2 ? lg 50 ? (lg 5)2 ) ? f (lg x ? 2) ? 0 ,则 x 的取值范围为



13.下列命题:①终边在 y 轴上的角的集合是 {? | ? ?

k? , k ? Z } ;②在同一坐标系中,函 2

数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点;③把函数 y ? 3 sin(2 x ? 移

?

? ? 个单位长度得到 y=3sin2x 的图象; ④函数 y ? sin(x ? ) 在 [0, ? ] 上是减函数其中真命题 2 6

3

) 的图象向右平

的序号是 14.设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 ?? a ? 1? x ? 1? ? ?

? x ? ax ?1? ? 0 ,则 a ? _________.
2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知 ? 是第三象限角,且

f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? 1 sin(?? ? ? ) tan(?? ? ? )

3? ) 2

⑴ 化简 f (? ) ; ⑵ 若 cos(? ?

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5

x 16.(本题满分 14 分) 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? ? x 3 ? ? ,
2

?

?

? ?

1? 3?

(1)求 A ? B ; (2)求 (C R A) ? B

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π 17.(本题满分 15 分)下图是正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? ? ? ) 的图象. 0 2 (1)确定它的解析式; (2)写出它的对称轴方程.

18.(本题满分 15 分)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 20 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. y(千米)

O

(第 18 题)

x(千米)

19.(本题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? cos x ? a sin x ?
2

(1)当 0 ≤ x ≤

? 时,用 a 表示 f (x) 的最大值 M (a) ; 2

a 1 ? . 4 2

(2)当 M (a) ? 2 时,求 a 的值,并对此 a 值求 f (x) 的最小值; (3)问 a 取何值时,方程 f (x) = (1 ? a)sin x 在 ?0,2? ? 上有两解?

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20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? , f ?x 若

x ??

, 则称 x 为 f ? x ? 的“不动点”; f f x 若 ?

?

? ?? x

, 则称 x 为 f ? x ?

的“稳定点”。记集合 A ? x f ? x ? ? x? , B ? x f

?

? ? f ? x ? ? ? x?

(1)已知 A ? ? ,若 f ? x ? 是在 R 上单调递增函数,是否有 A ? B ?若是,请证明。 (2)记 M 表示集合 M 中元素的个数,问:

? i ? 若函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,若 A ? 0 ,则 B ? ii ? 若 B

是否等于 0?若是,请证明,

? 1 ,试问: A 是否一定等于 1?若是,请证明

命题、校对、审核:张茹、王朝和

………内……………不……………要……………答……………题………………

高一数学答题纸
一、 填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 ) 1._____________ 5._____________ 9._____________ 2.____________ 6.____________ 10.___________ 3.____________ 7.____________ 11.___________ 4.____________ 8.____________ 12.___________

13.____________ 14.___________ 二、 解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15.

姓名_____________

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16.

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17.

18.

【19、20 答案写在反面】 高一数学月考参考答案 1. ?? 3,3,5? 2.10 3.0 4. a ? 4 5. ( ?

?
2

,0) (答案不唯一)

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6. c ? b ? a 11. (3,??)

7. ?

2 3

8. [0,4) 13.③

9.

1 24
14.

10.

3 2

12. (0,10)

3 2

15. 解:(1)f( ? )=

sin ? cos(?? ) tan(?? ? ? 1 tan(? ? ? )

?
2

)

[? sin(? ? ? )]
) 2 ] ? cos(? ? ) 2 ? cos ? sin(? ?

?

sin ? cos ? tan(? ?
=

?

sin ? cos ? [

?

1 sin ? tan ?

) 2 =

= ? sin ?

? cos ? =-cos ? sin ?

(2) ∵cos( ? ?

3? 1 )=-sin ? = , 2 5 1 ∴sin ? =- , 5
2 6 2 6 ,∴f( ? )=-cos ? = 5 5

∵ ? 是第三象限角, ∴cos ? =- 1 ? sin 2 ? =-

16. 解: (1) A ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? ? x | ?4 ? x ? 2?

?

?

1? ? B ? ? x 3x ? ? ? ? x | x ? ?1? 3? ?
(2) (C R A) ? B ? (??,?4) ? [?1,??)

? A ? B ? ? x | ?1 ? x ? 2? ? ? ?1, 2?

? π ? 2π ? ? 17. 解: (1)由已知条件可知: A ? 3 , T ? 2 ? ? ? ? ? ? ? π . ?10 ? 5 ? ?

2π ? 2 ,∴ y ? 3sin(2x ? ? ) . T π π ?π ? 把点 ? ,? 代入上式 2 ? ? ? ? kπ , ? ? kπ ? . 0 10 ? 10 3 ? ∴? ?
4 ? ? ∴ 所求解析式为 y ? 3sin ? 2 x ? π ? ; 5 ? ? 4 π kπ 3π (2)由 y ? sin x 的对称轴方程可知 2 x ? π ? kπ ? , 解得 x ? ? ,k ? Z . 5 2 2 20 18.

又∵ 0 ? ? ?

π 4π ,∴ 令 k ? 1 ,得 ? ? . 2 5

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19. (1)

? a 1 a?0 ?? 4 ? 2 ? 2 a 1 ? a M (a) ? ? ? ? 0?a?2 ? 4 4 2 1 ? 3 a?2 ? 4a? 2 ?

(0 ? a ? 2)

(?)

(2) 将 M (a) ? 2 代入( ? )式, 得 a ? ?6 或 a ? 当 a ? ?6 时, f ( x) ? ?(sin x ? 3) ? 11
2

10 . 3

? f ( x)?m i n? ?5 ;

10 5 2 22 时, f ( x) ? ?(sin x ? ) ? 3 3 9 (3) ?6 ? a ? 2 , a ? 3 .
当a ? 20.(1)证明:先证 任取 x0 ? A ,则 f ( x0 ) ? x0

? f ( x)?min

1 ?? . 3

f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ? x0
再证 任取 y 0 ? B

? x0 ? B

?A? B

f ( f ( y 0 )) ? y 0

若 f ( y 0 ) ? y 0 ,不妨设 f ( y 0 ) ? y 0 由单调递增可知: f ( f ( y 0 )) ? f ( y 0 ) ? y 0 与 同理 f ( y 0 ) ? y 0 也矛盾,所以 f ( y 0 ) ? y 0

f ( f ( y0 )) ? y0 矛盾

?B ? A 综上: A ? B
(2)①若 a ? 0 由于 f ( x) ? x 无实根 则对任意实数 x, f ( x) ? x 故 f ( x) ? x 无实根

从而 f ( f ( x)) ? f ( x) ? x 同理若 a ? 0

对任意实数 x, f ( x) ? x ,从而 f ( f ( x)) ? f ( x) ? x

故 f ( x) ? x 也无实根

? B |? 0 |
②不妨设 x 0 是 B 中唯一元素 则 令 f ( x0 ) ? t

f ( f ( x0 )) ? x0 f ( f (t )) ? f ( x0 )
而 f ( x0 ) ? t

f (t ) ? x0

那么

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f ( f (t )) ? t

说明 t 也是 f ( f ( x)) 的不动点 故 x0 ? t 即 f (t ) ? t

由于 f ( f ( x)) 只有唯一的不动点

这说明 t 也是 f (x) 的不动点,从而存在性得证 以下证明唯一性:若 f (x) 还有另外一个不动点 m,即 f (m) ? m 则 f ( f (m)) ? f (m) ? m 与题设矛盾。 这说明

m?t

f ( f ( x)) 还有另外一个稳定点 m

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