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2.3.1 双曲线及其标准方程(第一课时)


资中县龙结中学数学组

(第一课时)
资中县龙结中学数学组

椭圆的定义: 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于
常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0 ).
M

F1
<

br />F2

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数的点的轨迹是什么呢?
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①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a

②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)

上面两条曲线合起来叫 做双曲线,每一条叫做双曲 线的一支.
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平面内与两个定点F1 、F2的距离的差的绝对值等于 常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点; 两焦点间的距离︱F1F2︱叫做双曲线的焦距.
M

F1

F2

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如果定义中去掉“绝对值” 三个字会有什么影响?
表示双曲线的一支 如果把定义中的“差的绝对值” 和“常数”变为下列情况,轨迹是什 么? ①2a = 2c: 两条射线
F1 F2

②2a > 2c: 不表示任何轨迹 ③2a = 0: 线段F1F2的垂直平分线
F1
F2

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1. 建系 以F1、F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点O为原点建 立直角坐标系. 如何求这优美的曲线的方程? 2.设点 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0), F2(c,0),常数为2a. 3.列式 ||MF1| - |MF2||= 2a
F1

y M

O

F2

x

即 ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a.
2 2 2 2
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4.化简

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ?2 a

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

令c2 - a2 = b2

x2 a2

? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)
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y2

焦点在x轴上
y
M

焦点在y轴上
y M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x2 a
2

-

y2 b
2

= 1(a > 0,b > 0)

y2 x2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 2 a b
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双曲线的标准方程的特点:
y
M
F1
O

M x

y
F2

F2

O

x

F1

x2
2

a b a b (1)双曲线标准方程的形式:左边是两个分式的平方差,右边是1. (2)双曲线的标准方程中三个参数a、b、c满足c2=a2+b2. (3)由双曲线的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值.
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-

y2
2

= 1(a > 0,b > 0)

y2
2

-

x2
2

= 1(a > 0,b > 0)

(4)双曲线标准方程中, x2与y2的系数哪个为正焦点就在那一个轴上.

例1

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F(5,0) 例2 已知点 F(-5,0)、 ,点P满足 PF1 ? PF2 ? 6, 1 2 求动点P的轨迹方程.

解:∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. 2 2 x y ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
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变式1 已知点 F(-5,0)、 , 点P满足|MF1| - |MF2|= 6, F(5,0) 1 2 求动点P的轨迹方程.

解:∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支(右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
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变式2 已知点 F(-5,0)、 ,点P满足||MF1| - |MF2||= 10, F(5,0) 1 2 求动点P的轨迹方程.

解:∵ F1F2 ? 10 ,

PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
∴轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

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椭 定义
y


y F2 O F1 x

双 曲 线
y x F1O F2 y F2

|MF1 |+|MF2 |= 2a(2a >|F1F2 |)||MF1 |-|MF2 ||= 2a(2a <|F1F2 |)
x

图形

F1O

F2

O

F1

x

方程

x2 y 2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)

y 2 x2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)

x2 y 2 y 2 x2 - 2 =1 - 2 =1 2 2 a b a b (a > 0,b > 0) (a > 0,b > 0)

焦点
a、 b、 c 的关系 位置

(±c,0)

(0,±c)

(±c,0)

(0,±c)

a>b>0,a2=b2+c2

a>0,b>0,c2=a2+b2

焦点随着大的跑

焦点跟着正的住
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课堂练习 课堂作业

第55页练习第3题 第61页习题2.3A组第1题 第55页《探究》 第61页习题2.3A组第5题 第62页习题2.3B组第2题

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