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导数综合应用题


导数综合应用题
1. 设 f
/

詹振春

?x ? 是函数 f ?x ? 的导函数,

(Ⅰ)y ? f / ?x ? 的图象如图①所示, y ? f ?x ? 的图象最有可能的是………… ) 则 (

? A?

?B ?

?C ?<

br />
?D ?

(Ⅱ)将 y ? f ?x ? 和 y ? f ( )

/

?x? 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是
?C ? ?D ?

? A?

?B ?

2.求经过原点且与曲线 y ?

x?9 相切的直线方程. x?5

3.设 f ?x ? ? ax3 ? cx ? d ?a ? 0? 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时取得极值 2 . (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极大值; (Ⅱ)证明:对任意 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,不等式 | f ?x ? |? 4 恒成立. 4.设 f ?x ? ?
1 ? ln ?x ? 1? x

? x ? 0? .

(Ⅰ)判断 f ? x ? 在 ?0,??? 上的单调性; (Ⅱ)求对任意的正实数 x 恒有 f ?x ? ?
k 的正整数 k 的最大值. x ?1

5.已知 f ?x ? ? x 3 ? px 2 ? qx 的图象与 x 轴切于点 ?x0 ,0? 为 ? 4 ,求 p 、 q 的值.

?x0 ? 0?, f ?x ? 的极小值 且

6.设曲线 y ? e ? x ?x ? 0? 在点 M ?t , e ?t ?处的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的图形的面积 为 S ?t ? . (Ⅰ) 求切线 l 的方程; (Ⅱ)求 S ?t ? 的最大值.

7.已知函数 f ? x ?在其定义域 R 上可导,P 是曲线 y ? f ?x ? 上与原点 O 距离最近的 点. (Ⅰ) 记 P?a, f ?a ?? ,求证: a ? f ?a ? ? f ' ?a ? ? 0 ; (Ⅱ) 若曲线 y ? f ?x ? 不过原点 O ,求证: OP 与曲线 y ? f ?x ? 上过点 P 的切线 互相垂直. 8. 设 点 An ?x n ,0? , 点 Pn ?1 ?x n ?1 ,2 n ? 在 抛 物 线 C n : y ? x 2 ? a n x ? bn 上 , 其 中
an ? ?2 ? 4n ? 1 2 n?1

.而 x n 则由以下方法得到:x1 ? 1 ,点 An 到 Pn?1 的距离是 An 到

C n 上点的最短距离 (n ? N * ) .

(Ⅰ) 求 x 2 及 C1 的方程; 9.已知 f ?x ? ? x 3 ? x 2 ,数列 ?x n ?

(Ⅱ) 证明

?x n ?是等差数列.

?xn

? 0 ? 的首项 x1 ? 1 ,以后各项按如下方式确

定: 曲线 y ? f ?x ? 在点 ?x n ?1 , f ?x n ?1 ?? 处的切线与经过 ?0,0 ? 和 ( x n , f ?x n ?) 两点的直线 平行(如图).求证:
?1? (Ⅰ) x ? xn ? 3xn?1 ? 2 xn?1 ; (Ⅱ) ? ? ?2?
2 n

n ?1

?1? ? xn ? ? ? ?2?
2

n?2

.

x3 2 10.设 f ?x ? ? ,对任意实数 t ,记 g t ?x ? ? t 3 x ? t . 3 3

(Ⅰ)求函数 y ? f ?x ? ? g 8 ?x ? 的单调区间; ①

(Ⅱ)求证:

xn?1 x n

当 x ? 0 时, f ?x ? ? g t ?x ? 对任意正实数 t 成立;

② 有且只有一个正实数 x 0 ,使得 g 8 ?x0 ? ? g t ?x0 ? 对任意正实数 t 成立. 11.已知函数 f ?x ? ? ln ?1 ? x ? ? x , g ?x ? ? x ln x , ?x ? ?1? ; 0 ? a ? b .
?a?b? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值; (Ⅱ)证明 0 ? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? ? ?b ? a ? ln 2 ? 2 ?

导数综合应用题解答
1.设 f
/

?x ? 是函数 f ?x ? 的导函数,

(Ⅰ)y ? f / ?x ? 的图象如图①所示, y ? f ?x ? 的图象最有可能的是……… C ) 则 (

? A?

?B ?

?C ?

?D ?

(Ⅱ)将 y ? f ?x ? 和 y ? f

/

?x? 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是
?C ? ?D ?

…………………………………………………………………………… D ) (

? A?

?B ?

x?9 相切的直线方程. x?5 4 4 解:此曲线即 y ? 1 ? ,∴ y / ? ? . x?5 x?5

2. 求经过原点且与曲线 y ?

? ? ? y 0 ? k x0 x ?9 ? 设所求方程为 y ? kx ,切点为 ? x0 , y 0 ? ,则 ? y 0 ? 0 x0 ? 5 ? 4 ? k?? ? ? x 0 ? 5 ?2 ?



由此可得 k ? ?

1 1 或 k ? ?1. ∴ y ? ? x 或 y ? ?x 为所求. 25 25

3.设 f ?x ? ? ax3 ? cx ? d ?a ? 0? 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时取得极值 2.

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极大值; (Ⅱ)证明:对任意 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,不等式 | f ?x ? |? 4 恒成立. (Ⅰ) ∵ f ? x ? 是 R 上的奇函数, d ? 0 ,f ?x ? ? ax3 ? cx ,f 解: ∴
/

?x ? ? 3ax 2 ? c .

? f / ?1? ? 0 ? 3a ? c ? 0, ∵ f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值 ? 2 ,∴ ? 即? ?a ? c ? ?2, ? f ?1? ? ?2

? a ? 1, ∴ ? ?c ? ?3.

1? ?? 0, ?x ? ?1或x〉 ? ∴ f ?x ? ? x ? 3x , f ? x ? ? 3 k ? 1 ? ? 0, ? x ? ?1? , ? ? 0, ??〈x〈1? 1 ?
3
/

?

2

?



f ? x ? 在 ?? ?, 1? 、 ?1, ?? 上分别递增,在 ?? 1, 递减,极大值为 ? ? 1?

f ?? 1? ? 2 .

(Ⅱ)据 (Ⅰ) f ? x ? 在 ?? 1, 递减, f ?? 1? ? 2 , f ?1? ? ?2 , , 1? ∴当 x ? ?? 1,1? 时, ? 2 ? f ?x ? ? 2 即 | f ?x ? |? 2 , ∴当 x1 , x2 ? ?? 1,1? 时恒有 | f ?x1 ? ? f ?x2 ? |?| f ?x1 ? | ? | f ?x2 ? |? 2 ? 2 ? 4 ∴ | f ?x1 ? ? f ?x2 ? |? 4 恒成立. 4.设 f ?x ? ?
1 ? ln ?x ? 1? x

? x ? 0? .

(Ⅰ)判断 f ? x ? 在 ?0,??? 上的单调性; (Ⅱ)求对任意的正实数 x 恒有 f ?x ? ?
k 的正整数 k 的最大值. x ?1

x ? ?1 ? ln ?x ? 1?? 1 ? ?x ? 1? ln ?x ? 1? / x ?1 解: (Ⅰ) f ?x ? ? , ?? 2 x x 2 ?x ? 1?

∵ x ? 0 ,∴ f / ?x ? ? 0 , ∴ f ? x ? 在 ?0,??? 递减; (Ⅱ)设当 x ? 0 时恒有 f ?x ? ?
k k ,则 f ?1? ? x ?1 2

∴ k ? 2 f ?1? ? 2?1 ? ln 2? ? 2 ? ln 4 ∵ 1 ? ln e ? ln 4 ? ln e 2 ? 2 ,∴ 1 ? ln 4 ? 2 ;又 k ? N * ,∴ k ? 3 .

以 下 证 明 : 当 k ? 3 时 , 对 任 意 的 正 实 数 x 恒 有 f ?x ? ?
1 ? ln ?x ? 1? 3 , 就是 ? x x ?1

k ,即 x ?1

?x ? 1?ln ?x ? 1? ? 2 x ? 1 ? 0 ………………… (*)

令 ? ?x ? ? ?x ? 1? ln ?x ? 1? ? 2 x ? 1, ?x ? 0? ,则
?? 0, ?0 ? x ? e ? 1? ? ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 1? ? 0, ?x ? e ? 1? ∴ ? ? x ?在 ?0, e ? 1? 递减, ?e ? 1,??? 递增, 在 ? ? 0, ? x ? e ? 1? ?
/

? ?x ? | min ? ? ?e ? 1? ? e ln e ? 1 ? 2?e ? 1? ? 3 ? e ? 0 ,
∴ 当 x ? 0 时恒有 ? ? x ? ? 0 ,即(*)式成立. 5.已知 f ?x ? ? x 3 ? px 2 ? qx 的图象与 x 轴切于点 ?x0 ,0? 为 ? 4 ,求 p 、 q 的值. 解: f / ?x ? ? 3x 2 ? 2 px ? q ,由已知, f ?x0 ? ? 0 且 f
2 ? x 3 ? px0 ? qx0 ? 0 ∴ ? 02 ?3 x0 ? 2 px0 ? q ? 0
/

?x0 ? 0?, f ?x ? 的极小值 且

?x0 ? ? 0 ,

?x0

? 0?

? p ? ?2 x 0 ∴ ? , 2 ? q ? x0

2 ∴ f ? x ? ? x 3 ? 2 x0 x 2 ? x0 x , f

/

?x ? ? 3x 2 ? 4 x0 x ? x02 = ?3x ? x0 ??x ? x0 ?

.

∴当且仅当 x ? x0或x ?

1 ?1 ? x0 时, f / ?x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 的极小值为 f ?x0 ? 或 f ? x0 ? , 3 ?3 ?

?1 ? 而 f ?x0 ? ? 0 ? ?4 ,∴ f ? x ? 的极小值为 f ? x0 ? , ?3 ?
?x ? ?x ? 2 x 故由题意得 ? 0 ? ? 2 x0 ? 0 ? ? x0 ? 0 ? ?4 ,∴ x0 ? ?3 3 ? 3? ? 3?
2 ∴ p ? ?2 x0 ? ?6 , q ? x0 ? 9 .

3

2

6.设曲线 y ? e ? x ?x ? 0? 在点 M ?t , e ?t ?处的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的图形的面积 为 S ?t ? . (Ⅰ) 求切线 l 的方程; (Ⅱ)求 S ?t ? 的最大值.

解: (Ⅰ)记 f ?x ? ? e ? x ?x ? 0? ,则 f / ?x ? ? ?e ? x ?x ? 0? ,∴ f / ?t ? ? ?e ?t ?t ? 0? ,

∴ l : y ? e ?t ? ?e ?t ?x ? t ? 即 e ?t x ? y ? e ?t ?t ? 1? ? 0 . ?t ? 0? (Ⅱ)据(Ⅰ)的结果,直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 t ? 1, e ?t ?t ? 1? ∵

t ? 0 ,∴

S ?t ? ?

1 ?t ? 1?2 e ?t , 2

?? 0, ?0 ? t ? 1? 1 1 ?t 2 ?t 2 ? S ?t ? ? ?t ? 1?e ? ?t ? 1? e ? e 1 ? t ? ? 0, ?t ? 1? , 2 2 ? ? 0, ?t ? 1? ?
/ ?t

?

?

∴ S ?t ? 在区间 ?0,1? 递增,在区间 ?1,??? 递减, S ?t ?max ? S ?1? ?

2 . e

7.已知函数 f ? x ?在其定义域 R 上可导,P 是曲线 y ? f ?x ? 上与原点 O 距离最近的 点. (Ⅰ) 记 P?a, f ?a ?? ,求证: a ? f ?a ? ? f ' ?a ? ? 0 ; (Ⅱ) 若曲线 y ? f ?x ? 不过原点 O ,求证: OP 与曲线 y ? f ?x ? 上过点 P 的切线 互相垂直. 证: (Ⅰ)设 M ?x, f ?x ?? 为曲线 y ? f ?x ? 上任一点,它到原点的距离为 d ,则
d 2 ? x 2 ? f 2 ?x ?

?x ? R? ,∴ ?d 2 ?/

? 2 x ? 2 f ?x ? ? f

'

/

?x ? .

由题意, d 2 在点 P?a, f ?a ?? 处取最小值 ∴ ?d 2 ? | x ?a ? 0 即
/

2a ? 2 f ?a ? ? f ' ?a ? ? 0 ,∴

a ? f ?a ? ? f / ?a ? ? 0 ;

(Ⅱ) 由条件, P?a, f ?a ?? 异于原点, OP ? ?a, f ?a ?? , m ? ?1, f / ?a ?? 是曲线
y ? f ?x ? 上过点 P?a, f ?a ?? 的切线 l 的方向向量,据Ⅰ的结果得
OP ? m ? a ? f ?a ? ? f / ?a ? ? 0 ,∴ OP ? l ,原命题得证.

8. 设 点 An ?x n ,0? , 点 Pn ?1 ?x n ?1 ,2 n ? 在 抛 物 线 C n : y ? x 2 ? a n x ? bn 上 , 其 中
an ? ?2 ? 4n ? 1 2 n?1

.而 x n 则由以下方法得到:x1 ? 1 ,点 An 到 Pn?1 的距离是 An 到

C n 上点的最短距离 (n ? N * ) .

(Ⅰ) 求 x 2 及 C1 的方程;

(Ⅱ) 证明

?x n ?是等差数列.

(Ⅰ) 解:设 P?x, y ? 是 C n 上任一点,则

| An P |?

? x ? x n ?2 ? y 2
2

?

?x ? x n ?2 ? ( x 2 ? a n x ? bn ) 2

.

令 则

g ? x ? ? ? x ? x n ? ? x 2 ? a n x ? bn ,
2

?

?

g / ?x ? ? 2?x ? xn ? ? 2 x 2 ? a n x ? bn ?2 x ? a n ?

?

?

由题意得 g / ?x n ?1 ? ? 0 即 2?xn ?1 ? xn ? ? 2 xn ?1 ? a n xn ?1 ? bn ?2 xn ?1 ? a n ? ? 0
2

?

?

又由 Pn?1 ? C n 得

2 x n ?1 ? a n x n ?1 ? bn ? 2 n

∴ ?xn?1 ? xn ? ? 2 n ?2 xn?1 ? a n ? ? 0 即 ?1 ? 2 n?1 ?xn?1 ? xn ? 2 n a n ? 0 … 【注】 (*) 据条件,x1 ? 1, a1 ? ?2 ? 4 ? 1 ? ?7 , 故由 (*) 式得 5 x2 ? 15 ? 0 , x2 ? 3 ; ∴ 又由 P2 ?x2 ,2? ? C1 得
2 x 2 ? 7 x 2 ? b1 ? 2 ,

∴ b1 ? 2 ? 32 ? 7 ? 3 ? 14 .

∴ C1 : y ? x 2 ? 7 x ? 14. (Ⅱ) 【分析】由于已有 x1 ? 1, x2 ? 3 ,故欲证(Ⅱ) ,即证 x n ? 2n ? 1 证:我们证明: x n ? 2n ? 1

?n ? N ?.
*

?n ? N ?.
*

……………………………(※)

① ∵ x1 ? 1 ,∴ 当 n ? 1时(※)式成立; ② 设 x k ? 2k ? 1 ,则由(*)式及 ak ? ?2 ? 4k ?
1 2 k ?1



x k ?1

1 ? ? 2k ? 1 ? 2 k ? 2 ? 4k ? k ?1 ? x ?2 a 2 ? ?2k ? 1? 2 k ?1 ? 1 ? ? k k ?1 k ? ? ? 2(k ? 1) ? 1 , 2 ?1 2 k ?1 ? 1 2 k ?1 ? 1
k

?

?

∴当 n ? k ? 1时, (※)式也成立; 据①、②知,对任何 n ? N * (※)式都成立,∴ ?x n ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 【注】 式也可用下法得到: f ?x ? ? x 2 ? a n x ? bn , (*) 令 则抛物线 C n 过 Pn ?1 ?x n ?1 ,2 n ? 的切线 l n 的斜率为 f / ?xn ?1 ? ? 2 xn ?1 ? an ,∴ m ? ?1,2 x n ?1 ? a n ? 是 l n 的方向向量. 由于 An Pn ?1 ? ?x n ?1 ? x n ,2 n ? ,且由题意及导数的几何意义有 An Pn ?1 ? m , ∴ m ? An Pn ?1 ? 0 ,∴ ( xn ?1 ? xn ) ? 2 n ?2 xn ?1 ? a n ? ? 0 即

?1 ? 2 ?x
n ?1

n ?1

? xn ? 2 n a n ? 0 ……………………………………… (*) .

\

9.已知 f ?x ? ? x 3 ? x 2 ,数列 ?x n ?

?xn

? 0 ? 的首项 x1 ? 1 ,以后各项按如下方式确

定: 曲线 y ? f ?x ? 在点 ?x n ?1 , f ?x n ?1 ?? 处的切线与经过 ?0,0 ? 和 ( x n , f ?x n ?) 两点的直线 平行(如图).求证:
?1? 2 (Ⅰ) xn ? xn ? 3xn?1 ? 2 xn?1 ; (Ⅱ) ? ? ?2?
n ?1 n?2

?1? ? xn ? ? ? ?2?
/

.

证: (Ⅰ) f

/

?x ? ? 3x 2 ? 2 x .由题意,

f ?xn ? ? f xn

?x n?1 ? ,



3 2 xn ? xn 2 2 2 ? 3 x n ?1 ? 2 x n ?1 ,∴ xn ? xn ? 3x n ?1 ? 2 xn ?1 , n ? N * xn

?

?

xn?1

xn

(Ⅱ) 令 g ?x ? ? x 2 ? x?x ? 0? ,则 g ? x ? 在 ?0,??? 递增, 由题意, xn ? 0 ,故据⑴的结果得
2 2 xn ? xn ? 3x n ?1 ? 2 xn ?1 ? ?2 x n ?1 ? ? 2 x n ?1 即 g ?xn ? ? g ?2 xn?1 ? , xn?1

2

∴ xn ? 2 xn?1 即

x n ?1 1 ? xn 2

?n ? N ?,又
*

x1 ? 1 ,…………………①
n ?1

∴当 n ? 2 时, x n ?
?1? 由①、②得 ? ? ?2?
n ?1

x n x n ?1 x n ? 2 x ?1? ? ? ? ? ? 2 ? x1 ? ? ? x n ?1 x n ? 2 x n ?3 x1 ?2?

……………②

? x n n ? N * ………………………………………(1)

?

?

2 2 2 由 xn ? 0 ?n ? N * ?及 (Ⅰ) 的结果得 xn ? xn ? 3x n ?1 ? 2 xn ?1 ? 2?x n ?1 ? x n ?1 ? ,

2 令 y n ? x n ? x n ,则 y1 ? 2 ,且 y n ? 2 y n ?1 ? 0 即 0 ?

y n ?1 1 ? , yn 2
n ?1

∴当 n ? 2 时, y n ?

y n y n ?1 y n ? 2 y ?1? ? ? ? ? ? 2 ? y1 ? ? ? y n ?1 y n ? 2 y n ?3 y1 ?2?

?1? ?2 ? ? ? ?2?

n?2



?1? 2 即 xn ? xn ? ? ? ?2?

n?2

?1? 2 .又 x n ? xn ? xn ,∴ x n ? ? ? ?2? ?1? ? xn ? ? ? ?2?
n?2

n?2

?n ? N ?…(2)
*

?1? 由(1)(2)得 ? ? 、 ?2?

n ?1

?n ? N ?.
*

x3 2 10.设 f ?x ? ? ,对任意实数 t ,记 g t ?x ? ? t 3 x ? t . 3 3

2

(Ⅰ)求函数 y ? f ?x ? ? g 8 ?x ? 的单调区间; (Ⅱ) 求证: ① 当 x ? 0 时, f ?x ? ? g t ?x ? 对任意正实数 t 成立;

② 有且只有一个正实数 x 0 ,使得 g 8 ?x0 ? ? g t ?x0 ? 对任意正实数 t 成立.
?? 0, ?x ? ?2或x ? 2 ? x3 16 ? / 2 ? 0, ? x ? ?2 ? ? 4 x ? , ∴ y ? x ? 4? (Ⅰ) 解; y ? f ?x ? ? g 8 ?x ? ? 3 3 ? ? 0, ?? 2 ? x ? 2 ? ?

∴ 此函数的递增区间是 ?? ?,?2? 、 ?2,??? ,递减区间是 ?? 2,2? . (Ⅱ)证: ① 令 ht ?x ? ? f ?x ? ? g t ?x ? ?
x3 2 ?t3x? t 3 3
2

?x ? 0? ,其中 t 为正参数.则

1 ? ? ? ?? 0, ? 0 ? x ? t 3 ? ? ? ? ? ? 2 1 1 ? 1 ? ?? ?? ? ? ht/ ? x ? ? x 2 ? t 3 ? ? x ? t 3 ?? x ? t 3 ?? ? 0, ? x ? t 3 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? 1 ? ? ? ? ? 0, ? x ? t 3 ? ? ? ? ? ? ?

? 1? t 2 ∴ ht ? x ? 的最小值是 ht ? t 3 ? ? ? t ? t ? 0 ? ? 3 3 ? ?

∴ 当 x ? 0 时, ht ?x ? ? 0 即 f ?x ? ? g t ?x ? 对任意正实数 t 成立;
3 x0 8 ② 观察得; f ?2? ? g 8 ?2? ? , f ?x0 ? ? g x3 ?x0 ? ? . 0 3 3

又由①得 对任何 t ? 0 ,恒有 g 8 ?2? ? g t ?2? ,

∴存在 x0 ? 2 ,使对任何 t ? 0 ,恒有 g 8 ?x0 ? ? g t ?2? ; 另一方面,由①知:当 x ? 0 时 f ?x ? ? g 8 ?x ? 仅在 x ? 2 处取最小值 0 , ∴ 当 x0 ? 0, x0 ? 2 时, f ?x0 ? ? g 8 ?x0 ? 即, g x 3 ? x0 ? ? g 8 ? x 0 ?
0

∴当 x0 ? 0, x0 ? 2 时,不满足 g 8 ?x0 ? ? g t ?x0 ? 对任意正实数 t 成立. 故原命题成立. 11.已知函数 f ?x ? ? ln ?1 ? x ? ? x , g ?x ? ? x ln x , ?x ? ?1? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值;
?a?b? (Ⅱ)设 0 ? a ? b ,证明 0 ? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? ? ?b ? a ? ln 2 . ? 2 ?

(Ⅰ) 解: f / ?x ? ?

1 x ,∴ 当 ? 1 ? x ? 0 时, f / ?x ? ? 0 ; ?1 ? ? 1? x 1? x

当 x ? 0 时, f / ?x ? ? 0 ;当 x ? 0 时, f / ?x ? ? 0 . ? ∴ f ? x ? 在 ?? 1,0? 递增,在 ?0,??? 递减,在 x ? 0 处取最大值 f ?0? ? 0 . (Ⅱ)证法一.
a abb ?a?b? ?a?b? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? a ln a ? b ln b ? ?a ? b ? ln ? ? ln ? ? a ?b ? 2 ? ? 2 ? ?a?b? ? ? ? 2 ?
2a 2b ? 2a ? ? 2b ? ? b?a? ? a?b? ? ln ? ? b ln ? ?a ln ?1 ? ? ? ? ? a ln ? ? b ln ?1 ? ?, a?b a?b 2a ? 2b ? ?a?b? ?a?b? ? ?
a b

由(Ⅰ)的结论知,当 x ? ?1 且 x ? 0 时, ln ?1 ? x ? ? x ? 0 即 ln ?1 ? x ? ? x 又由 0 ? a ? b 得 ? 1 ?
a ?b b?a , ?0? 2b 2a

? b?a? b?a ? a ?b? a ?b ∴ ln ?1 ? , ln ?1 ? ?? ?? 2a ? 2a 2b ? 2b ? ?

( a ? 0, b ? 0 )

? b?a? a ?b ? a ?b? b?a ∴ ? a ln ?1 ? , ? b ln ?1 ? , ?? ?? 2a ? 2 2b ? 2 ? ?

? b?a? ? a?b? ∴ ? a ln ?1 ? ? ? b ln ?1 ? ??0 即 2a ? 2b ? ? ?

?a?b? 0 ? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? ……① ? 2 ?

由0 ? a ? b得 0 ?
a ln

2a a?b 2b ,b ? a ? 0 ,0 ? ? ? 2 , a ? 0 , b ? 0 ,故 a?b 2b a?b

2a 2b 2b ?a?b? ? 2b ? ? b ln ? a ln ? ? ?b ? a ? ln 2. …② ? ? b ln ? ? ? ?b ? a ? ln a?b a?b a?b ? 2b ? ?a?b? ?a?b? 0 ? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? ? ?b ? a ? ln 2 . ? 2 ?

据①、②得

证法二.∵ g ?x ? ? x ln x ,∴ g / ?x ? ? ln x ? 1 .
?a? x? 设 F ?x ? ? g ?a ? ? g ?x ? ? 2 g ? ? ,则 ? 2 ?
? ? a ? x ?? 1? a? x ? a?x F ? x ? ? g ?x ? ? ?2 g ? ? 1? ? ln x ? ln ?? ? ?ln x ? 1? ? 2 ? ? ln 2? 2 2 ? ? ? 2 ??
/ / /

? ? 0, ? x ? a ? 2x ? ? ln ? ? 0, ? x ? a ? a?x? ?? 0?0 ? x ? a ?

∴ 在 ?0, a ? 递减,在 ?a,??? 递增, F ?x ? | min ? F ?a ? ? 0 .
?a?b? 而 a ? b ,∴ F ?a ? ? F ?b ? ,∴ 0 ? F ?b ? 即 0 ? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? …① ? 2 ?

设 G?x ? ? F ?x ? ? ?x ? a ?ln 2 ,则 ∵ a ? 0 ,∴ 当 x ? 0 时

G / ? x ? ? ln

2x ? ln 2 ? ln x ? ln ?a ? x ? a?x

G / ?x ? ? 0 ,∴ G ? x ? 在 ?0,??? 递减.

而 G?a ? ? F ?a ? ? 0 , 0 ? a ? b ,∴ G?b? ? G?a ? ? 0 ∴
F ?b? ? ?b ? a ? ln 2 ? 0



?a?b? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? ? ?b ? a ? ln 2 …………② ? 2 ?

据①、②得

?a?b? 0 ? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? ? ?b ? a ? ln 2 . ? 2 ?


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导数及其应用高考题精选(含答案)

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