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5高中新课程数学(苏教)二轮精选 专项突破《必考问题5 解三角形》热点考题 Word版含答案


必考问题 5

解三角形

【真题体验】 1.(2012· 南京、盐城模拟)在△ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则 cos C=________. 解析 因为 sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,由正弦定理可得 a∶b∶c=2∶3∶4,不妨设 a=2k,b= a2+b2-c2 4k2+9k2-1

6k2 1 3k,c=4k(k>0),则由余弦定理可得 cos C= = =- . 2ab 4 2×2k×3k 1 答案 - 4 b a tan C 2.(2010· 江苏,13)在锐角三角形 ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, + =6cos C,则 a b tan A + tan C =________. tan B 解析 a2+b2-c2 2 2 2 2 3c2 b a + =6cos C?6abcos C=a2+b2,6ab· =a +b ,a +b = . a b 2ab 2

tan C tan C sin C cos Bsin A+sin Bcos A sin C sin?A+B? 1 sin2C + = · = · = · 由正弦定理得:上式= tan A tan B cos C sin Asin B cos C sin Asin B cos C sin Asin B 1 c2 · =4. cos C ab 答案 4 π 3.(2011· 江苏,15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a,b,c.(1)若 sin?A+6?=2cos A,求 A ? ? 的值; 1 (2)若 cos A= ,b=3c,求 sin C 的值. 3 π 解 (1)∵sin?A+6?=2cos A,∴sin A= 3cos A, ? ? ∴cos A= 3,又 A∈(0,π) π ∴A= . 3 1 (2)∵cos A= ,b=3c,∴a2=b2+c2-2bccos A=8c2, 3 a=2 2c. 2 2c c 2 2 由正弦定理得: = ,而 sin A= 1-cos2A= , sin A sin C 3 1 ∴sin C= .(也可以先推出直角三角形) 3

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【高考定位】
高考对本内容的考查主要有: 正弦定理、余弦定理及其应用,要求是 B 级,能够应用定理实现三角形中边和角的转化,以及应用 定理解决实际问题. 试题类型可能是填空题,同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查,构成中档题.

【应对策略】
解三角形是三角函数作为工具的重要体现,在历年的高考试题中占有重要地位,尤其是与三角函数 的综合更加是考查重点,题型可能是填空题,也可能是解答题.需要熟练掌握三角形中的基本定理及其 变形,以及正、余弦定理与三角函数的结合问题.

必备知识
1.正弦定理及其变形 a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2.余弦定理及其推论 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab 3.面积公式 1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. 2 2 2 4.三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理:A+B+C=π. (2)A>B>C?a>b>c?>sin A>sin B>sin C. (3)a=bcos C+ccos B.

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必备方法
1.三角形中的三角函数是三角函数图象和性质的一个重要方面的应用,解决的关键是要善于应用诱 导公式、同角三角函数的基本关系等三角函数基础知识对三角函数解析式进行化简、变形,同时要注意 有关角的范围限制. 2.正弦定理的应用:(1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角; (2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角. 3.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

命题 角度一 正、余弦定理与三角函数的结合问题

[命题要点] 正、余弦定理与三角函数结合命题是高考的一个方面,往往以三角函数为载体考查解三 角形知识. 【例 1】? (2012· 天一、淮阴、海门中学联考)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期; (2)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 c= 3,f(C)=0,若 sin B=2sin A,求 a,b 的值. [审题视点] (1)将原函数解析式通过恒等变换化简成 y=Asin(ωx+φ)形解决; (2)通过正、余弦定理的结合解题. 解 (1)f(x)= 1+cos 2x 1 π 3 sin 2x- - =sin?2x-6?-1, ? ? 2 2 2 3 1 sin 2x-cos2x- ,x∈R. 2 2

2π 则 f(x)的最小值是-2,最小正周期是 T= =π. 2 π π (2)f(C)=sin?2C-6?-1=0,则 sin?2C-6?=1, ? ? ? ? π π 11π ∵0<C<π,∴- <2C- < , 6 6 6 π π π ∴2C- = ,∴C= ,sin B=2sin A, 6 2 3 a 1 由正弦定理,得 = ,① b 2 π 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos ,即 a2+b2-ab=3,② 3 由①②解得 a=1,b=2.

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对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一,而正弦定理、余弦定理 在实施边和角相互转化时有重要作用,如果边是一次式,一般用正弦定理转化,如果边是二次式,一般 用余弦定理. a-c 【突破训练 1】 (2012· 苏州调研)在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = b-c sin B . sin A+sin C (1)求 A; (2)若 f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A),求 f(x)的单调递增区间. a-c a-c sin B b 解 (1)由 = ,得 = . b-c sin A+sin C b-c a+c ∴a2=b2+c2-bc. 1 π 由余弦定理,得 cos A= .∵0<A<π,∴A= . 2 3 2π 2π 1+cos?2x+ 3 ? 1-cos?2x- 3 ? ? ? ? ? π? π? (2)f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)=cos2?x+3?-sin2?x-3?= - ? ? 2 2 1 =- cos 2x. 2 π 令 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),得 kπ≤x≤kπ+ (k∈Z), 2 π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ,kπ+ ](k∈Z). 2

命题角度二

正、余弦定理与三角形面积的结合问题

[命题要点] ①根据条件求面积大小、最值或范围;②已知三角形面积,求其它元素. 【例 2】? (2012· 南通调研)在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,bcos B 是 acos C,ccos A 的等差中项. (1)求 B 的大小; (2)若 a+c= 10,b=2,求△ABC 的面积.

[审题视点] 由已知条件结合三角恒等变换,正、余弦定理及三角形的面积公式解决.
解 (1)由题意,得 acos C+ccos A=2bcos B. 由正弦定理,得 sin Acos C+cos Asin C=2sin Bcos B,即 sin(A+C)=2sin Bcos B. ∵A+C=π-B,0<B<π,∴sin(A+C)=sin B≠0. 1 π ∴cos B= ,∴B= . 2 3 a2+c2-b2 1 π (2)由 B= ,得 cos B= = , 3 2ac 2

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?a+c?2-2ac-b2 1 即 = ,∴ac=2. 2ac 2 1 3 ∴S△ABC= acsin B= . 2 2

三角形中的面积公式一般与正弦定理、余弦定理的应用有密切关系,而在解决问题 时又要充分应用三角恒等变换公式.三角恒等变换公式是解决三角函数类问题、三角形问题的工具,在 复习时要注意这个特点. 【突破训练 2】 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,已知 2sin A= 3cos A. (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)∵ 2sin A= 3cos A,∴2sin2A=3cos A, 即 2cos2A+3cos A-2=0, 1 解得 cos A= 或-2(舍去), 2 π 又 0<A<π,∴A= . 3 由余弦定理,知 b2+c2-a2=2bccos A. 又 a2-c2=b2-mbc, m 可得 cos A= ,∴m=1. 2 π (2)由余弦定理及 a= 3,A= , 3 可得 3=b2+c2-bc, 再由基本不等式 b2+c2≥2bc,∴bc≤3, 1 1 π 3 3 3 ∴S△ABC= bcsin A= bcsin = bc≤ , 2 2 3 4 4 3 3 故△ABC 面积的最大值为 . 4

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命题角度三 解三角形在实际问题中的应用
[命题要点] ①应用正弦定理、余弦定理求距离或航行方向;②与三角函数综合考查,求解最值等实 际问题. 【例 3】? (2012· 南师附中模拟)如图,现有一个以∠AOB 为圆心角,湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖 面 AOB.现欲在弧 AB 上取不同于 A、B 的点 C,用渔网沿着弧 AC(弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上),半径 OC 和线段 CD(其中 CD∥OA),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若 OA π =1 km,∠AOB= ,∠AOC=θ. 3 (1)用 θ 表示 CD 的长度; (2)求所需渔网长度(即图中弧 AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

[审题视点] (1)在△OCD 中利用正弦定理解三角形求得 CD;
(2)建立函数 f(θ)的关系式,求导解得. π 解 (1)由 CD∥OA,∠AOB= ,∠AOC=θ,得∠OCD=θ, 3 2π π ∠ODC= ,∠COD= -θ.在△OCD 中,由正弦定理, 3 3 得 CD= π π 2 sin?3-θ?,θ∈?0,3?; ? ? ? ? 3

(2)设渔网的长度为 f(θ).由(1)可知, f(θ)=θ+1+ π 2 sin?3-θ?. ? ? 3 π 2 cos?3-θ?, ? 3 ?

所以 f′(θ)=1-

π π π 因为 θ∈?0,3?,所以 -θ∈?0,3?, ? ? ? ? 3 π 3 令 f′(θ)=0,得 cos?3-θ?= , ? ? 2 π π π 所以 -θ= ,所以 θ= . 3 6 6

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当 θ 变化时,f′(θ),f(θ)的变化状态如下表: θ f′(θ) f(θ) ?

?0,π? ? 6?


π 6 0 极大值

?π,π? ?6 3?
- ?

? π+6+2 3?. 所以 f(θ)∈?2, ? 6 ? ? ? π+6+2 3?. 故所需渔网长度的取值范围是?2, ? 6 ? ?
应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步: (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、 俯角、视角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解. (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.

【突破训练 3】 (2012· 南京模拟)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA,AD 用一根 9 米长的材料弯折而成,要求∠A 和∠C 互补,且 AB=BC, (1)设 AB=x 米,cos A=f(x),求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围. (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 解 (1)在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB· cos A. AD· 同理,在△CBD 中,BD2=CB2+CD2-2CB· cos C. CD· 因为∠A 和∠C 互补, 所以 AB2+AD2-2AB· cos A=CB2+CD2-2CB· cos C=CB2+CD2+2CB· cos A. AD· CD· CD· 即 x2+(9-x)2-2x(9-x)cos A =x2+(5-x)2+2x(5-x)cos A. 2 2 解得 cos A= ,即 f(x)= .其中 x∈(2,5). x x 1 1 (2)四边形 ABCD 的面积 S= (AB· AD+CB· CD)sin A= [x(5-x)+x(9-x)] 1-cos2A. 2 2
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=x(7-x)

2 1-? x?2= ?x2-4??7-x?2 ? ?

= ?x2-4??x2-14x+49?. 记 g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5). 由 g′(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)(2x-14) =2(x-7)(2x2-7x-4)=0, 1 解得 x=4(x=7 和 x=- 舍). 2 所以函数 g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减. 因此 g(x)的最大值为 g(4)=12×9=108.所以 S 的最大值为 108=6 3. 故所求四边形 ABCD 面积的最大值为 6 3 m2.

5.做到考虑问题要全面,审题要注重细节
一、考虑问题不全面,造成漏解
【例 1】? 在△ABC 中,若 a= 5,b= 15,A=30° ,则边 c=________. 解析 由正弦定理得 c= 5. 答案 2 5或 5 a b 3 π 2π π 2π = , 解得 sin B= , 所以 B= 或 , B= 时, 当 c=2 5; B= 时, 当 sin A sin B 2 3 3 3 3

老师叮咛:由角的正弦值求角的大小时,要注意解的个数,防止漏解,如本题由 sin B= 2 求得 B
时,很容易由于考虑问题不全面而漏解.

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二、对题中条件不能充分应用使范围扩大
c 【例 2】? 在锐角△ABC 中,若 C=2B,则 的取值范围是________. b c 2Rsin C sin2B 解析 由正弦定理得 = = =2cos B, A=π-(B+C)=π-3B, 因为△ABC 是锐角三角形, b 2Rsin B sin B π π π π π π π π 所以 0<A< 且 0<B< 且 0<C< ,即 0<π-3B< 且 0<B< 且 0<2B< ,解得 <B< ,所以 2< 2 2 2 2 2 2 6 4 c 2cos B< 3,即 的取值范围是( 2, 3). b 答案 ( 2, 3)

老师叮咛:对“锐角三角形”的概念要充分应用,必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形,
c 所以要将 A、C 是锐角的条件转移到 B 上,如果只考虑 B 是锐角,会出现下面的解法:由正弦定理得 = b π 2Rsin C sin2B = =2cos B,∵B∈?0,2?,∴2cos B∈(0,2),这样就扩大了取值范围而出错. ? ? 2Rsin B sin B
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必考问题 6 平面向量

【真题体验】 2 1.(2011· 江苏,10)已知 e1,e2 是夹角为 π 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若 a· b=0,则 3 k 的值为________.

2 解析 因为 e1,e2 是夹角为 π 的两个单位向量,所以 3 2π 1 e1·2=|e1||e2|cos〈e1,e2〉=cos =- ,又 a· e b=0,所以(e1-2e2)· 1+e2)=0, (ke 3 2 1 1 5 即 k- -2+(-2k)?-2?=0,解得 k= . ? ? 2 4 答案 5 4

2.(2012· 江苏,9)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, → → → → 若AB· = 2,则AE· 的值是________. AF BF 解析 以顶点 A 为坐标原点, AB、 所在直线分别为 x, 轴建立平面直角坐标系, A(0,0), 2, AD y 则 B( → → → → 0),E( 2,1),设 F(x,2),所以AB· =( 2,0)· AF (x,2)= 2x= 2?x=1,即 F(1,2),所以AE· =( 2,1)· BF (1 - 2,2)= 2(1- 2)+2= 2. 答案 2

3.(2010· 江苏,15)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值. OC

→ → → → → → 解 (1)法一 由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2.故所求的两条对角线的长分别为 4 2,2 10. 法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则 E 为 B,C 的中点,E(0,1), 又 E(0,1)为 A,D 的中点,所以 D(1,4).
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故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2,AD=2 10; → → → (2)由题设知:OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)· =0,得:(3+2t,5+t)· OC (-2,-1)=0, → → 11 AB· OC 11 → → → → 从而 5t=-11,所以 t=- .或者:AB· =tOC2,AB=(3,5),t= OC =- . 5 5 →2 |OC|

【高考定位】 高考对本内容的考查主要有: 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级,只有平面向量的应用为 A 级要 求,平面向量的数量积为 C 级要求,应特别重视. 试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与三角函数综合考查,构成中档题. 【应对策略】 平面向量具有几何与代数形式的“双重性”,是中学数学知识网络的重要交汇点,它与三角 函数、解析几何、平面几何都可以整合在一起.这其中又以向量与三角函数的综合问题为高 考中最常见,是当前的一个热点,但通常难度不大,一般就是以向量的坐标形式给出与三角 函数有关的条件,并结合简单的向量运算,而考查的主体部分则常是三角函数的恒等变换, 以及解三角形等知识点.在复习中,我们应加强这种类型试题的训练,争取此类问题拿满

分.

必备知识
1.向量的概念
(1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0. a (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为± . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做 b 在向量 a 方向上的投影.

2.向量的运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础,应熟练掌握其运算规律. (2)平面向量的数量积的结果是实数,而不是向量.要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差 异,平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a· 的运算结果不仅与 a,b 的长度有关,而且也与 a,b b 的夹角有关,即 a· b=|a||b|· cos〈a,b〉 .

3.两非零向量平行、垂直的充要条件
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若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0; a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.

必备方法
1.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线 → → 性表示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易使用错误,向量MN=ON → -OM(其中 O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量. 2.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条 对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直, 反之也成立. 3.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能 是 0 或 π 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不 能反向共线.

命题角度一

平面向量的线性运算

[命题要点] ①用已知向量表示其它向量;②向量的加法、减法、数乘运算. → → 【例 1】? (2012· 大纲全国改编)△ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB=a,CA=b,a· b=0,|a|=1,|b| → =2,则AD=________. [审题视点] 由 a· b=0,可得∠ACB=90° ,再利用直角三角形中的有关性质建立关系式求解.

解析 如图,∵a· b=0,∴a⊥b, ∴∠ACB=90° , ∴AB= AC2+BC2= 5. 又 CD⊥AB,∴AC2=AD· AB, 4 5 ∴AD= . 5 4 4 → 4→ 4 ∴AD= AB= (a-b)= a- b. 5 5 5 5 答案 4 4 a- b 5 5
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在进行向量线性运算时要尽可能地挖掘题中的条件,利用相关图形的性质解题,把未 知量转化成与已知量有直接关系的向量来求解. → 【突破训练 1】 (2012· 扬州质量检测)已知 G1,G2 分别为△A1B1C1 与△A2B2C2 的重心,且A1A2=e1, → → → B1B2=e2,C1C2=e3,则G1G2=________.(用 e1,e2,e3 表示) 解析 根据向量的线性运算求解. → → → → 由A1A2=A1G1+G1G2+G2A2=e1,① → → → → B1B2=B1G1+G1G2+G2B2=e2,② → → → → C1C2=C1G1+G1G2+G2C2=e3,③ → → → → → → 且 G1,G2 分别为△A1B1C1 与△A2B2C2 的重心,所以A1G1+B1G1+C1G1=0,G2A2+G2B2+G2C2=0, 1 → 将①②③相加得G1G2= (e1+e2+e3). 3 答案 1 (e +e +e ) 3 1 2 3

命题角度二

向量共线定理的应用

[命题要点] ①应用向量共线定理求字母的取值;②向量共线定理与其他知识的综合应用.
→ → → 【例 2】 (2012· ? 南通调研)在△ABC 中, b, 分别是角 A, C 所对的边, 3aBC+4bCA+5cAB a, c B, 且 =0,则 a∶b∶c=________.

[审题视点] 利用向量的线性运算及向量的共线定理求解.
→ → → → → → → 解析 因为BC=AC-AB,所以原式可以变形为(3a-4b)AC-(3a-5c)AB=0,且AC,AB不共线,所 以 3a=4b=5c,解得 a∶b∶c=20∶15∶12. 答案 20∶15∶12

平行向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证明向量共线,也可以由向量共 线求参数. 【突破训练 2】 (2012· 徐州质检)已知向量 a=(sin θ, θ), cos b=(3, -4), a∥b, tan 2θ=________. 若 则 3 24 解析 由 a∥b 可得-4sin θ-3cos θ=0,解得 tan θ=- ,所以 tan 2θ= =- . 4 3?2 7 1-?-4? ? 24 答案 - 7
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3 2×?-4? ? ?

命题角度三

平面向量的数量积

[命题要点] ①数量积的定义;②利用数量积求夹角;③数量积与线性运算的综合应用.

【例 3】 如图, ? △ABC 是边长为 2 3的等边三角形, 是以 C 为圆心, 为半径的圆上的任意一点, P 1 → → 则(AP· )min=________. BP [审题视点] 根据已知条件及向量运算化简目标函数,再求最小值. 解析 取 AB 的中点 D,连接 CD、CP. 1 → → → → → → → → → → → → → → 所以AP· =(AC+CP)· +CP)=AC· +CP· +BC)+CP2=(2 3)2× -CP· +1=7-6cos BP (BC BC (AC 2CD 2 → → 〈CP,CD〉 , → → → → 当 cos〈CP,CD〉=1 时,AP· 取得最小值 1. BP 答案 1

求数量积的最值,一般要先利用向量的线性运算,尽可能将所求向量转化为长度和夹 角已知的向量,利用向量的数量积运算建立目标函数,利用函数知识求解最值. 【突破训练 3】 (2012· 苏州期中)已知 O,A,B 是平面上不共线的三点,设 P 为线段 AB 垂直平分线 → → → → → 上任意一点,若|OA|=7,|OB|=5,则OP· -OA)的值为________. (OB

解析 设 AB 的中点为 C,则 → → → → → → → → 1 → → → → OP· -OA)=(OC+CP)· =OC· = (OA+OB)· -OA) (OB AB AB (OB 2 1 → 1 → = (|OB|2-|OA|2)= (25-49)=-12. 2 2 答案 -12

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命题角度四

向量与其他知识的综合应用

[命题要点] ①向量与三角函数综合;②向量与函数综合;③向量与其它知识的综合. → → → → 【例 4】? (2012· 江苏,15)在△ABC 中,已知AB· =3BA· . AC BC (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

[审题视点] (1)利用已知条件、数量积定义及正弦定理知识转化为关于 A,B 的三角函数式求证. (2)由 cos C= 5 ?sin C?tan C?tan(A+B)?tan A?A. 5

→ → → → (1)证明 因为AB· =3BA· ,所以 AB· cos A=3BA· cos B, AC BC AC· BC· AC BC 即 AC· A=3BC· B,由正弦定理知 cos cos = , sin B sin A 从而 sin Bcos A=3sin Acos B, 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A. (2)解 因为 cos C= 5 2 5 ,0<C<π,所以 sin C= 1-cos2C= , 5 5

从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, tan A+tan B 4tan A 1 亦即 =-2,由(1)得 2 =-2,解得 tan A=1 或- , 3 1-tan Atan B 1-3tan A π 因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A= . 4

平面向量是一种工具,经常与三角函数、二次函数、平面几何知识等综合考查,一般 解法是利用向量的运算对问题进行转化,再利用相关知识解题. 【突破训练 4】 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 → 1→ ?→ 1→ Q,且?PC+2PQ?·PC-2PQ?=0. ? ?? ? (1)求动点 P 的轨迹方程; → → (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求PE· 的最值. PF 解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). 1 → 1→ ?→ 1→ 由?PC+2PQ?·PC-2PQ?=0,得|PC|2- |PQ|2=0, ? ?? ? 4 1 x2 y2 即(x-2)2+y2- (x-8)2=0,化简得 + =1. 4 16 12 x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12
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→ → → → → → → → → → → → → (2)因PE· =(NE-NP)· -NP)=(-NF-NP)· -NP)=(-NP)2-NF2=NP2-1, PF (NF (NF
2 2 x2 y2 x0 y0 4y2 → 0 P 是椭圆 + =1 上的任一点,设 P(x0,y0),则有 + =1,即 x2=16- ,又 N(0,1),所以NP 0 16 12 16 12 3 2

1 2 1 =x2+(y0-1)2=- y0-2y0+17=- (y0+3)2+20. 0 3 3 → → → 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP2 取得最大值 20,故PE· 的最大值为 19; PF → → → 当 y0=2 3时,NP2 取得最小值(2 3-1)2=13-4 3,(此时 x0=0),故PE· 的最小值为 12-4 3. PF

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