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2014理科二模-上海市虹口区高三数学


2014 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科)

2014 年上海市虹口区高三年级二模试卷——数学(理科)
2014 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、已知集合 A ? ? x x ? 1 ? 2? , B ? x x 2 ? 4 ,则 A

? B ? 2、函数 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 1( x ???1, 1? )的最大值等于
.

?

?



3、在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 5 ,则最大角等于
4、已知函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1 )的反函数,其图像过点 (a 2 ,



a) ,则

f ( x) ?
5、复数 z 满足



z i ? 1 ? i ,则复数 z 的模等于_______________. 1 i


6、已知 tan ? ? 2 , tan(? ? ? ) ? ?1 ,则 tan ? ? 7、抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1的左焦点重合,则双曲线的两条渐近线的夹角为 2 a

.

8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课,在所有可能的安排中, 数学不排在最后一节,体育不排在第一节的概率 是 .. .
.

9、已知 (1 ? 2 x)n 关于 x 的展开式中,只有第 4 项的二项式系数最大,则展开式的系数之和为

10、 等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 8 , 下列四个命题. 数列 ?an ? 是递增数列; 数列 ?nan? ?2 : ?1 : 是递增数列; 数列 ? ?3 :

? an ? 2 数列 ?an 其中真命题的是 ?4 : ? 是递增数列. ? 是递增数列; n ? ?



11、椭圆 ?

? x ? a cos ? (a ? b ? 0 ,参数 ? 的范围是 0 ? ? ? 2? )的两个焦点为 F1 、 F2 ,以 F1F2 为边作 ? y ? b sin ?


正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,且 F 1F 2 ? 4 ,则 a 等于

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12、设 A、B、C、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点,且满足 AB ? AC ? 0 ,

C D 、 用 S1、 △A △ ABD AC ? AD ? 0 ,AD ? AB ? 0 , S2 、 S3 分别表示△ ABC 、
的面积,则 S1 ? S2 ? S3 的最大值是 .

D C

13、 在 ?ABC 中,AM ?

1 AB ? m ? AC , 向量 AM 的终点 M 在 ?ABC 的内部 (不 4


A
第 12 题

B

含边界) ,则实数 m 的取值范围是

14、对于数列 ?an ? ,规定 ??1an ? 为数列 ?an ? 的一阶差分数列,其中 ?1an ? an ?1 ? an (n ? N ? ) .
对于正整数 k ,规定 ??k an ? 为 ?an ? 的 k 阶差分数列,其中 ?k an ? ?k ?1an ?1 ? ?k ?1an .若数列 ?an ? 有 a1 ? 1 ,

a2 ? 2 ,且满足 ?2an ? ?1an ? 2 ? 0(n ? N ? ) ,则 a14 ?
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)



15、已知 ? : “ a ? 2 ” ; ? : “直线 x ? y ? 0 与圆 x 2 ? ( y ? a) 2 ? 2 相切” .则 ? 是 ? 的(



A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件


16、若函数 f ( x) ? ax ? 1 在区间 (?1, 1) 上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是(

A. a ? 1
为( )

B. a ? ?1

C . a ? ?1 或 a ? 1

D. ?1 ? a ? 1

17、已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列 {cos an } 是等比数列,则其公比

A. 1

B. ?1

C. ?1

D. 2

18 、 函 数 f ( x) ? sin x 在 区 间 (0, 10? ) 上 可 找 到 n 个 不 同 数 x1 , x2 , ? ? , xn , 使 得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的最大值等于( ? ? ?? ? x1 x2 xn
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11



三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)已知圆锥母线长为 6,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点, AB 是底面圆的 直径,底面半径 OC 与母线 PB 所成的角的大小等于 ? . (1)当 ? ? 60? 时,求异面直线 MC 与 PO 所成的角; (2)当三棱锥 M ? ACO 的体积最大时,求 ? 的值.
M P

A

O

B

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20、 (本题满分 14 分)已知函数 y ? f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ? a ? x ? R ? ,其中 a 为常数. (1)求函数 y ? f ( x) 的周期; (2)如果 y ? f ( x) 的最小值为 0 ,求 a 的值,并求此时 f ( x) 的最大值及图像的对称轴方程.

21、 (本题满分 14 分)某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张,其中燃油型汽车牌照 10 万张,电动型汽车 2 万 张.为了节能减排和控制总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽车牌照每一 年比上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后每一年发放的电动车 的牌照的 ... 数量维持在这一年的水平不变. (1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 ?an ? ,每年发放的电动型汽车牌照数为 构成数列 ?bn ? ,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式; (2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张?

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22、 (本题满分 16 分)函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,若存在常数 M ? 0 ,使得 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均成立,则称 f ( x) 为“圆锥托底型”函数. (1)判断函数 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? x3 是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由. (2)若 f ( x) ? x 2 ? 1 是“圆锥托底型” 函数,求出 M 的最大值. (3)问实数 k 、 b 满足什么条件, f ( x) ? kx ? b 是“圆锥托底型” 函数.

23 、 (本题满分 18 分)如图,直线 l : y ? kx ? b 与抛物线 x2 ? 2 py (常数 p ? 0 )相交于不同的两点

A( x1,

,线段 AB 的中点为 D ,与直线 l:y ? kx ? b 平行 y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,且 x2 ? x1 ? h ( h 为定值)

的切线的切点为 C (不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线, 这个公共点为切点) . (1)用 k 、 b 表示出 C 点、 D 点的坐标,并证明 CD 垂直于 x 轴; (2)求 ?ABC 的面积,证明 ?ABC 的面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关; (3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连 AC 、 BC ,再作与 AC 、 BC 平行的切线,切点 分别为 E 、 F ,小张马上写出了 ?ACE 、 ?BCF 的面积,由此小张求出了直线 l 与抛物线围成的面积,你 认为小张能做到吗?请你说出理由.
y

D A C

B

x

O

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参考答案(理科)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 (?1, 6、3; 11、 3 ? 1 ;

2) ;
7、

2、4;

3、

? ; 3

3? ; 4 7 8、 ; 10
13、 0 ? m ?

4、 f ( x) ? log2 x ; 9、 1 ;

5、 5 ;

10、 ?1 , ?3 ; 14、26 ;

12、2;

3 ; 4

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 A ; 16、 C ; 17、 B ; 18、 C ;

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1) 连 MO ,过 M 作 MD ? AO 交 AO 于点 D ,连 DC . 又 PO ? 62 ? 42 ? 2 5 ,? MD ? 5 .又 OC ? 4,OM ? 3 .

P

MD / / PO ,? ?DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角. MO / / PB ,? ?MOC ? 60? 或 120? .?????5 分
当 ?MOC ? 60? 时,? MC ? 13 .
M

? cos ?DMC ?

MD 65 65 ? ,? ?DMC ? arccos MC 13 13

A

D C

O

B

MD 185 当 ?MOC ? 120? 时,? MC ? 37 .? cos ?DMC ? , ? MC 37

? ?DMC ? arccos

185 37

综上异面直线 MC 与 PO 所成的角等于 arccos

65 185 或 arccos .??????8 分 13 37

(2) 三棱锥 M ? ACO 的高为 MD 且长为 5 ,要使得三棱锥 M ? ACO 的体积最大只要底面积 ?OCA 的面积最大.而当 OC ? OA 时, ?OCA 的面积最大.????10 分 又 OC ? OP ,此时 OC ? 平面PAB ,? OC ? PB , ? ? 90? ??????12 分 20、 (14 分)解(1) y ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? a ? 1 .????4 分

T ? ? .????????6 分

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(2) f ( x) 的最小值为 0 ,所以 ?2 ? a ? 1 ? 0 所以函数 y ? 2 sin( 2 x ?

故 a ? 1 ????8 分

?
6

) ? 2 .最大值等于 4????????10 分

k? ? ? ? k ? Z ? 时函数有最大值或最小值, 6 2 2 6 k? ? ? 故函数 f ( x) 的图象的对称轴方程为 x ? ? k ? Z ? .??????14 分 2 6 2x ? ? k? ?

?

?

? k ? Z ? ,即 x ?

21、 (14 分)解: (1)

a1 ? 10 b1 ? 2

a2 ? 9.5

a3 ? b3 ?

9 4.5

a4 ? b4 ?

8.5 6.75

???? ????

b2 ? 3

????????????2 分
? 当 1 ? n ? 20 且 n ? N , an ? 10 ? ( n ? 1) ? (?0.5) ? ?

n 21 ? ; 2 2

当 n ? 21 且 n ? N , an ? 0 .

?

? n 21 ? ?? ? , 1 ? n ? 20且n ? N ????????5 分 ? an ? ? 2 2 ? ?0, n ? 21且n ? N ? ? 3 n ?1 ? ?2 ? ( ) , 1 ? n ? 4且n ? N 而 a4 ? b4 ? 15.25 ? 15 ,? bn ? ? ??????8 分 2 ? ?6.75, n ? 5且n ? N ?
(2)当 n ? 4 时, Sn ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 53.25 . 当 5 ? n ? 21 时, Sn ? (a1 ? a2 ?

? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?

? bn )

n(n ? 1) 1 ? 10n ? ? (? ) ? 2 2
1 68 43 ? ? n2 ? n ? 4 4 4
????????????11 分 由

3 2[1 ? ( ) 4 ] 2 ? 6.75(n ? 4) 3 1? 2

Sn ? 200
3 ?



1 68 43 ? n2 ? n ? ? 200 4 4 4





n2 ? 6 n ? 8

? 8

4 ,

3 得

0

3 ?4

1 n 3 ? ???????? 1 ? 6 . 13 3 分0

2

1

? 到 2029 年累积发放汽车牌照超过 200 万张.??????????14 分

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22、 (16 分)解: (1) .

2x ? 2x 2 ?x

,即对于一切实数 x 使得 f ( x) ? 2 x 成立,? f ( x) ? 2 x “圆

锥托底型” 函数.??????????2 分 对于 g ( x) ? x , 如果存在 M ? 0 满足 x ? M x , 而当 x ?
3
3

M 时, 由 2

M 2

3

?M

M M ?M, , ? 2 2

得 M ? 0 ,矛盾,? g ( x) ? x3 不是“圆锥托底型” 函数.?????4 分 (2)

f ( x) ? x 2 ? 1 是“圆锥托底型” 函数,故存在 M ? 0 ,使得 f ( x) ? x 2 ? 1 ? M x 对于任意实

数恒成立.

? 当 x ? 0 时 , M ? x?

1 1 1 , 此 时 当 x ? ?1 时 , x ? 取 得 最 小 值 2 , ? x? x x x

? M ? 2 .??????????7 分
而当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? M 0 ? 0 也成立.

? M 的最大值等于 2 .????????8 分
(3)①当 b ? 0 , k ? 0 时, f ( x) ? 0 ,无论 M 取何正数,取 x0 ? 0 ,则有 f ( x0 ) ? 0 ? M x0 ,

f ( x) ? 0 不是“圆锥托底型” 函数.??????10 分
②当 b ? 0 ,k ? 0 时, f ( x) ? kx ,对于任意 x 有 f ( x) ? kx ? k x ,此时可取 0 ? M ? k ? f ( x) ? kx 是“圆锥托底型” 函数.??????12 分 ③当 b ? 0 , k ? 0 时, f ( x) ? b ,无论 M 取何正数,取 x0 ? 锥托底型” 函数.??????14 分

b M

.有 b ? M x 0 ,? f ( x) ? b 不是“圆

k ? 0 时,f ( x) ? kx ? b , ④当 b ? 0 , 无论 M 取何正数, 取 x0 ? ?

b b ? 0, 有 f ( x0 ) ? 0<M ? ? M x0 , k k

? f ( x) ? kx ? b 不是“圆锥托底型” 函数.
由上可得,仅当 b ? 0, k ? 0 时, f ( x) ? kx ? b 是“圆锥托底型” 函数.????16 分

23、 (18 分)解: (1)由 ? 点 D( pk ,

? y ? kx ? b ? x ? 2 py
2

? x 2 ? 2 pkx ? 2 pb ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ?2 pb

pk 2 ? b) ??????????2 分

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线







y ? kx ? m





y

k x 2 m ?y ? ? ? x ?2 ? 2 ?x ? 2 p y

p? k 2 ? x

0 p ,m


D

B

? ? 4 p2k 2 ? 8 pm ? 0 , m ? ?
pk 2 C ( pk , ) ????4 分 2

pk 2 ,切点的横坐标为 2

A C x

pk , 得
O

由于 C 、 D 的横坐标相同,? CD 垂直于 x 轴.????????6 分 (2)

h 2 ? x2 ? x1 ? (x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 p 2k 2 ? 8 pb ,? b ?

2

h2 ? 4 p 2k 2 .???8 分 8p

S?ABC

1 1 pk 2 h3 2 .????????11 分 ? CD ? x2 ? x1 ? h pk ? b ? ? 2 2 2 16 p

?ABC 的面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关.??????12 分

(本小题也可以求 AB ? 1 ? k ? h ,切点到直线 l 的距离 d ?
2

pk 2 pk ? ?b 2
2

1? k2

?

h2 8p 1? k2

,相应给分)

(3)由(1)知 CD 垂直于 x 轴, xC ? x A ? xB ? xC ? 关,将 S?ABC

h h ,由(2)可得 ?ACE 、 ?BCF 的面积只与 有 2 2

h h3 1 h3 h 中的 换成 ,可得 S?ACE ? S?BCF ? ? .??14 分 ? 2 16 p 8 16 p

记 a1 ? S?ABC ?

h3 1 h3 , a2 ? S?ACE ? S?BCF ? ? ,按上面构造三角形的方法,无限的进行下去, 16 p 4 16 p

可以将抛物线 C 与线段 AB 所围成的封闭图形的面积,看成无穷多个三角形的面积的和,即数列 ?an ? 的无 穷项和,此数列公比为

1 . 4

所以封闭图形的面积 S ?

a1 1? 1 4

?

4 h3 a1 ? ??????????18 分 3 12 p

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