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概率统计A--期末考试试卷答案

时间:2011-01-06


年级:_____________ 专业:_____________________ 班级:_________________ 学号:_______________ 姓名________________

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浙江大学城市学院
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2009— 201 2009— 2010 学年第 一学期期末考试试卷 《
开课单位: 计算分院 所需时间: 120 题序 得分 评卷人 得分 一. 一

概率统计 A


1 月 24 日;

;考试形式: 闭卷; 考试时间:2010 年 :

分钟 二 三 总 分

选择题 (本大题共__10__题,每题 2 分共__20 分)


1、已知 P( A) = 0.8, P( B) = 0.7,P (A B ) = 0.8 ,则下列结论正确的是(B
(A) 事件 A和B 互斥 (C ) P( A ∪ B) = P( A) + P( B) ( B) 事件 A和B 相互独立 ( D) A? B

2、设 F1 ( x) 和 F2 ( x) 分别为随机变量 X 1 和 X 2 的分布函数,为使 F ( X ) = aF1 ( x) ? bF2 ( x) 为某一随机变量的分布函数,在下列各组数值中应取( A )

( A) (C )

a = 3 / 5, b = ?2 / 5 a = -1 / 2, b = 3 / 2

( B ) a = 2 / 3, b = 2 / 3 ( D ) a = 1 / 2, b = ?3 / 2

3、设随机变量 X 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ,随着 σ 的增大,概率 P X ? ? < σ 满足 ( C )

(

)

( A) 单调增大 (C ) 保持不变

( B) ( D)

单调减少 增减不定

?1 2 2 ?π , x + y ≤ 1 4、设 ( X , Y ) 的联合概率密度函数为 f ( x, y ) = ? ,则 X 和 Y 为 其他 ? 0, ?
( C )的随机变量

( A) 独立且同分布 (C ) 不独立但同分布

( B ) 独立但不同分布 ( D ) 不独立 且不同分布

第1页共6页

5、某型号的收音机晶体三极管的寿命 X (单位 :小时)的概率密度函数为

?1000 , ? f ( x) = ? x 2 ? 0, ?

x > 1000 其他

装有 5 只这种三极管的收音机在使用的前 1500 小时内正好有两只需要更换的概率是 ( C )

(A) 1/3 (C ) 80/243

(B ) 40/143 (D ) 2/3
D )

6、设 D ( X ) = 4, D (Y ) = 1, ρ XY = 0.6, 则 D (3 X ? 2Y ) = (

(A) 40 (C ) 17.6
2

(B) 34 (D) 25.6

7、设 X ~ N ( ? , σ ) , Y ~ π (λ ) ,则下列选项中 不正确 不正确的是( B )

(A) E ( X + Y ) = ? + λ (C ) E ( X 2 + Y 2 ) = σ 2 + ? 2 + λ2 + λ

(B) D( X + Y ) = σ 2 + λ (D) E ( X 2 ) = ? 2 + σ 2 , D(Y ) = λ
)时,成功次数

8、设一次试验成功的概率为 p ,进行 100 次独立重复试验,当 p =( B 的 方差最大。

(A) 2/3 (C ) 3/4

(B) 1/2 (D) 1/4
2

9、设正态总体 X ~ N ( ? , σ 2 ) ,其中 σ 未知,样本容量 n 和置信度 1 - α 均不变,则对于 不同的样本观测值,总体均值 ? 的置信区间长度 L ( D )。

( A) 变短 (C ) 不变

( B) 变长 ( D) 不确定

10、设 X 1 , X 2 , ? X 500 是独立同分布的随机变量,且 X i ~ B (1, p ) , i = 1,2, ? ,500 ,则下 列不正确 不正确的为( 不正确 C )

( A)

(B ) (C ) (D)

∑X
i =1

i =1 500

∑X
i

500

i

~ B (500, p )
近似服从正态分布

P (a < ∑ X i < b) ≈ Φ (b) ? Φ (a )
i =1 500 ? b ? 500 p ? ? ? ? ? Φ? a ? 500 p ? P ( a < ∑ X i < b) ≈ Φ? ? 500 p (1 ? p ) ? ? 500 p (1 ? p ) ? i =1 ? ? ? ?

500

第2页共6页

得分

二、 填空题 (本大题共__10_空格,每个空格 2 分共___20____分) 1、 每次试验成功的概率为 p ,进行独立重复试验,直到第 10 次试验才取得 4 次

成功的概率为 C9 p (1 ? p )
3 4

6

(列式表示)

2、设 X ~ B ( 2, p ), Y ~ B(3, p ), 若P ( X ≥ 1) = 5/9, 则 P (Y ≥ 1) = 3、设设随机变量 X 和 Y 相互独立,且具有同一分布律如下 X 0 1 p Y p 1/2 0 1/2 1/2 1 1/2

19/27



则随机变量 Z = max( X , Y ) 的分布律为 z 0 p 。 1/4

1 3/4

随机变量 V = min( X , Y ) 的分布律为 V p 。 0 3/4 1 1/4

随机变量 U = XY 的分布律为 = U p 。 4、设随机变量 Y 服从参数为 λ = 1 的指数分布,随机变量 0 3/4 1 1/4

?0, ? Xk = ? ?1, ?

Y ≤k Y >k

k = 1,2

第3页共6页

则 E ( X 1 + X 2 ) = e?1 + e ?2 。
5、设总体 X ~ N ( ? , σ ) , ?和σ 均未知, X 1 , X 2 , ? , X n 为从总体 X 抽取的一个样本,
2 2

则 ?和σ 的矩估计量分别为
2

A1 和 A2 ? A1 。

2 6、单个正态总体 X ~ N ( ? , σ ) ,方差 σ 已知时,检验 ? 的统计量为

2

X ? ?0 。 σ/ n

7、设随机变量 X ~ U [0,2] ,则随机变量 Y = X 2 在 [0,4] 内的概率密度函数为

1 4 y

分) ) ? kx, 0 ≤ x ≤ 1 ? ? 1、设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) = ?k ( 2 ? x), 1 < x ≤ 2 , ? 其他 ? 0, ? 求:(1)常数 k ;(2) X 的分布函数。(10 分)
得分 二.

本大题共_ __题 综合题 (本大题共__6__题,共 60

(1) 由

∫ kxdx + ∫ k ( 2 ? x ) dx = 1 得
1 2 0 1

k = 1 --------------

4分

(2)当 x < 0 时 F ( x) = 当 0 ≤ x ≤ 1 时 F ( x) = 当 1 < x ≤ 2 时 F ( x) = 当 x > 2 时 F ( x) =



x

?∞

f ( x)dx = 0
x

------------- 1 分

∫ ∫

x

?∞ x

f ( x)dx = ∫ xdx =
0 1 0

1 2 x ----------- 2 分 2
x 1

?∞

f ( x)dx = ∫ xdx + ∫ ( 2 ? x ) dx = 2 x ?
1 2

1 2 x ? 1 ------------ 2 分 2
1分



x

?∞

f ( x)dx = ∫ xdx + ∫ ( 2 ? x ) dx = 1 --------------0 1

第4页共6页

2、设 ( X , Y ) 的联合概率密度函数为 f ( x, y ) =, ?

? A, ? ? 0, ?

0 ≤ y ≤ 1,

0≤x≤ y , 其他

(1)求常数 A ;(2)求关于 X 及 Y 的边缘密度;(3) E ( X + Y ) (4) Cov ( X , Y ) (16 分) (1)由

∫∫ f ( x, y )dσ = 1 得
D

A=2

---------4 分

(2) f X ( x ) =



+∞

?∞

? 1 2dy, 0 ≤ x ≤ 1 ?2 (1 ? x ) , 0 ≤ x ≤ 1 ? ----------2 分 f ( x, y )dy = ? ∫x =? 0, 其他 ? ? 0, 其他 ?

? y ? ∫0 2dx, 0 ≤ y ≤ 1 ?2y, 0 ≤ y ≤ 1 fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ? =? ?∞ ? 0, 其他 ? 0, 其他 ? 1 1 (3) E ( X ) = ∫ 2 x (1 ? x ) dx ) = -------------- 1 分 0 3
+∞

-------------- 2 分

E (Y ) = ∫ 2 y 2 dy =
0

1

2 3

------------

1分 ----------2 分

E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) =
(4) E ( XY ) =

1 2 + =1 3 3



1

0

dx ∫ 2 xydy =
x

1

1 4

------------ 2 分

Cov( X , Y ) = E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) =

1 1 2 1 ? × = ---------------- 2 分 4 3 3 36

x ? 1 ?σ ? e , x>0 3、已知总体 X 的密度函数为 f ( x ) = ? 2σ , σ > 0 为未知常数, ? 0, 其他 ? X 1 , X 2 ,? , X n 为从总体 X 抽取的一个样本, x1 , x 2 , ? , x n 是它的样本观测值。 ? (1) 求未知参数 σ 的极大似然估计量 σ 。 ? 是否为 σ 的无偏估计。(12 分) (2) 判断 σ
n

(1) 似然函数 L(σ ) = ?

1 ? 1 ? ? i=σ e ------------------ 4 分 ? ? 2σ ?

n

∑ xi

∑ ? 1 ? 取对数 ln L(σ ) = n ln ? ? i =1 ? σ ? 2σ ?

n

xi



i d ln L(σ ) n ? =? + i =1 2 = 0 得 σ = x -------------- 4 分 dσ σ σ

∑x

n

第5页共6页

? 从而极大似然估计量为 σ = X

----------------

2分

? (2) 由 E (σ ) = E ( X ) = E ( X ) =



+∞

0

x x ?σ σ e dx = ≠ σ 得 2σ 2

? σ 不为 σ 的无偏估计 --------------- 2 分
4、设一批产品的次品率为 0.1,从中有放回地取出 100 件,设 X 为 100 件中次品的件数。 (1) 写出 X 的分布律; (2) 用中心极限定理求 X 与 10 之差的绝对值小于 3 的概率的近似值. (10 分) (备用数据: Φ( ) = 0.9332, 1.5

Φ(2.3263) = 0.99,

Φ (1) = 0.8413,

Φ ( 0 ) = 0 .5 )

(1) X ~ B (100, 0.1) -------- 3 分 (2)由中心极限定理得 X ~ N (10, 9) (近似) --------3 分 则 P ( X ? 10 < 3) = P (7 < X < 13) = Φ (1) ? Φ ( ?1) = 2Φ (1) ? 1 = 0.6826 ----4 分

苹果,得样本均值 x = 227.2 g ,样本标准差 s = 9.3 g ,给定显著性水平 α = 0.05 ,问这种

5、已知某种苹果的重量 X ~ N ( ? , σ ) ,且平均重 220 g ,施用某种农药后,随机取 10 个
2

H 农药对苹果的重量是否有显著影响?( 检验H 0 : ? = 220, 1 : ? ≠ 220) ( 8 分)
备用数据: t 0.025 (9) = 2.0301

t 0.05 (9) = 1.6883 u 0.025 = 1.96

t 0.025 (10) = 2.0281
10 = 3.162

t 0.05 (10) = 1.6896
取检验统计量 t =

u 0.05 = 1.645

X ? ?0 --------2 分 s/ n H 0 的拒绝域为 t > t0.025 (9) --------2 分 X ? ?0 227.2 ? 220 的观测值为 = 2.448 -------2 分 s/ n 9.3 / 10

由题意计算得 t =

落入拒绝域,故认为此农药对苹果的重量有显著影响。--------2 分

6、某保险公司制定赔偿方案:若在一年内顾客的投保事件 A 发生,该公司就赔偿顾客 a 元。已知一年内事件 A 发生的概率为 p ,为使公司收益的期望值等于 a 的 5%,该公司要求 顾客交纳多少元的保费? (4 分) 设公司收益为 Y , 顾客缴纳 x 元保费,则 Y = ? 要使 E (Y ) = x (1 ? p ) + ( x ? a ) p = 5% a 则得 x = ( p + 5% ) a --------------- 2 分

? x, 若A不发生 ------ 2 分 ? x ? a, 若A发生

第6页共6页


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