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第26届全国中学生物理竞赛复赛试题(2009年)


第 26 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
一、填空(问答)题(每题 5 分,共 25 分)
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1.有人设想了一种静电场:电场的方向都垂直于纸面并指向纸里,电场 强度的大小自左向右逐渐增大, 如图所示。 这种分布的静电场是否可能存在

? 试述理由。 2.海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆,近日点到太阳中心的距离 为 0.914 天文单位(1 天文单位等于地日间的平均距离) ,则其近日点速率的 上限与地球公转(轨道可视为圆周)速率之比约为(保留 2 位有效数 字) 。
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3.用测电笔接触市电相线,即使赤脚站在地上也不会触电,原因是 ;另一方面,即使穿绝缘性能良好的电工 鞋操作,测电笔仍会发亮,原因是 。 4 .在图示的复杂网络中,所有 电源的电动势均为 E0,所有电阻器 的电阻值均为 R0,所有电容器的电 容均为 C0,则图示电容器 A 极板上 的电荷量为 。 5 .如图,给静止在水平粗糙地 面上的木块一初速度,使之开始运 动。一学生利用角动量定理来考察此木块以后的运动过程: “把参考点设于如图所示的地面上一 点 O,此时摩擦力 f 的力矩为 0,从而地面木块的角动量将守恒,这样木块将不减速而作匀速运 动。 ”请指出上述推理的错误,并给出正确的解释: 二、 (20 分)
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图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细 桌腿 1、2、3、4 支撑于桌角 A、B、C、D 处,桌腿竖直立在 水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点 O 至角 A 的连线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F,令 三、 (15 分) 1.一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体系,置于光滑水平桌面上, 弹簧的另一端与固定墙面相连,小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度 u 作 匀速运动的参考系里观察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由。 2.若不考虑太阳和其他星体的作用,则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球 都看作是质量均匀分布的球体,它们的质量分别为 M 和 m,月心-地心间的距离为 R,万有引力 恒量为 G。学生甲以地心为参考系,利用牛顿第二定律和万有引力定律,得到月球相对于地心

OP ? c ,求桌面对桌腿 1 的压力 F1。 OA

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M ;学生乙以月心为参考系,同样利用牛顿第二定律和万有引力定 R2 m 律,得到地球相对于月心参考系的加速度为 a e ? G 2 。这二位学生求出的地-月间的相对加速 R
参考系的加速度为 a m ? G

度明显矛盾,请指出其中的错误,并分别以地心参考系(以地心速度作平动的参考系)和月心 参考系(以月心速度作平动的参考系)求出正确结果。
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四、 (20 分)火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度 T1、压强 p1 的炽热高压气体在燃烧 室内源源不断生成, 并通过管道由狭窄的喷气口排入气压 p2 的环境。 假设燃气可视为理想气体, 其摩尔质量为 μ,每摩尔燃气的内能为 u=cVT(cV 是常量,T 为燃气的绝对温度) 。在快速流动 过程中,对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体,可以认为它与周围没有热交换, 但其内部则达到平衡状态,且有均匀的压强 p、温度 T 和密度 ρ,它们的数值随着流动而不断变

化,并满足绝热方程

pV

cV ? R cV

?C
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(恒量) ,式中 R 为普适气体常量,求喷气口

处气体的温度与相对火箭的喷射速率。

五、 (20 分)内半径为 R 的直立圆柱器皿内盛水银,绕圆柱轴线匀速旋转(水银不溢,皿 底不露) ,稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点,纵坐标轴 z 与圆柱器 皿的轴线重合,横坐标轴 r 与 z 轴垂直,则液面的方程为 z ?

?2
2g

r 2 ,式中 ω 为旋转角速度,g
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为重力加速度(当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜) 。

观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处,保持位置不变,然后使容器停转,待液面静 止后,发现与稳定旋转时相比,看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋 转水银面最低点的距离。 六、 (20 分)两惯性系 S′与 S 初始时刻完全重合,前者相对后者沿 z 轴正向以速度 v 高速运 动。作为光源的自由质点静止于 S′系中,以恒定功率 P 向四周辐射(各向同性)光子。在 S 系 中观察,辐射偏向于光源前部(即所谓的前灯效应) 。 1.在 S 系中观察,S′系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以 x 轴为轴线的圆锥内。求 该圆锥的半顶角 α。已知相对论速度变换关系为

ux ?

u? x ?v 2 1 ? u? xv / c

式中 ux 与 ux′分别为 S 与 S′系中测得的速度 x 分量,c 为光速。 2.求 S 系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量。 七、 (20 分)
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1.设想光子能量为 E 的单色光垂直入射到质量为 M、以速度 V 沿光入射方向运动的理想 反射镜(无吸收)上,试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量 E′。可取以下近似:

E V ?? ?? 1 ,其中 c 为光速。 2 c Mc
2.若在上述问题中单色光的强度为 Φ,试求反射光的强度 Φ′(可以近似认为光子撞击镜 子后,镜子的速度仍为 V) 。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子 的能量。
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八、 (20 分)惰性气体分子为单原子分子,在自由原子情形下,其电子电荷分布是球 对称的。 负电荷中心与原子核重合。 但如两个原子接近, 则彼此能因静电作用产生极化 (正

负电荷中心不重合) ,从而导致有相互作用力,这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种 简化模型来研究此问题。 当负电中心与原子核不重合时,若以 x 表示负电中心相对正电荷(原子核)的位移,当 x 为正时,负电中心在正电荷的右侧,当 x 为负时,负电中心在正电荷的左侧,如图 1 所示。这 时,原子核的正电荷对荷外负电荷的作用力 f 相当于一个劲度系数为 k 的弹簧的弹性力,即 f= -kx,力的方向指向原子核,核外负电荷的质量全部集中在负电中心,此原子可用一弹簧振子 来模拟。 今有两个相同的惰性气体原子, 它们的原子核固定, 相距为 R, 原子核正电荷的电荷量为 q, 核外负电荷的质量为 m。因原子间的静电相互作用,负电中心相对各自原子核的位移分别为 x1 和 x2,且|x1|和|x2|都远小于 R,如图 2 所示。此时每个原子的负电荷除受到 自己核的正电荷作用外,还受到另一 原子的正、负电荷的作用。 众所周知,孤立谐振子的能量 E=mv2/2+kx2/2 是守恒的,式中 v 为质量 m 的振子运动的速度,x 为振子相对平衡位置的位移。 量子力学证明,在绝对零度时,谐振子的能量为 hω/2,称为零点振动能, ? ? h / 2? ,h 为普 朗克常量,? ?

k / m 为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互

作用的惰性气体原子构成的体系的能量,与两个相距足够远的(可视为孤立的、没有范德瓦尔 斯相互作用的)惰性气体原子的能量差,并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。 可利用当|x|<<1 时的近似式(1+x)1/2≈1+x/2-x2/8,(1+x)-1≈1-x+x2。
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第 26 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
参考解答与评分标准
一、填空(问答)题.每小题 5 分,共 25 分.按各小题的答案和评分标准评分. 1. 答案与评分标淮: 这种分布的静电场不可能存在.因为静电场是保守场,电荷沿任意 闭合路径一周电场力做的功等于 0,但在这种电场中,电荷可以沿某一闭合路径移动一周而电 场力做功不为 0. (5 分) 2.答案与评分标淮: 1.5. (5 分) 3.答案与评分标淮:测电笔内阻很大,通过与之串联的人体上的电流(或加在人体上的电 压)在安全范围内; (2 分)市电为交流电,而电工鞋相当于一电容器,串联在电路中仍允许交 流电通过. (3 分) 4.答案与评分标淮: 2E0 C0 . (5 分) 5.答案与评分标淮: 该学生未考虑竖直方向木块所受的支持力和重力的力矩.仅根据摩擦 力的力矩为零便推出木块的角动量应守恒,这样推理本身就不正确.事实上,此时支持力合力的 作用线在重力作用线的右侧,支持力与重力的合力矩不为 0,木块的角动量不守恒,与木块作 减速运动不矛盾. (5 分) 错误!未找到引用源。二、参考解答:设桌面对四条腿的作用力皆为压力,分别为 F1 、 F2 、

F3 、 F4 .因轻质刚性的桌面处在平衡状态,可推得 F1 ? F2 ? F3 ? F4 ? F .
错误!

未找到引用源。 由于对称性,

F2 ? F4 .
考察对桌面对角线 BD 的力矩,由力矩平衡条件可得

错误!未找到引用源。

F3 ? cF ? F1 .

错误!未找到引用源。

根据题意, 0 ? c ? 1 ,c=0 对应于力 F 的作用点在 O 点,c=1 对应于 F 作用点在 A 点. 设桌腿的劲度系数为 k , 在力 F 的作用下, 腿 1 的形变为 F1 k , 腿 2 和 4 的形变均为 F2 k , 腿 3 的形变为 F3 k .依题意,桌面上四个角在同一平面上,因此满足

1 ? F1 F3 ? F2 , 即 ? ? ?? 2? k k ? k

F1 ? F3 ? 2F2 .
由(1)、(2)、(3)、(4)式,可得

错误!未找到引用源。

2c ? 1 F, 4 1 ? 2c F3 ? F, 4 F1 ?
当c ?

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

1 时, F3 ? 0 . F3 ? 0 ,表示腿 3 无形变; F3 ? 0 ,表示腿 3 受到桌面的作用力为拉力, 2

这是不可能的,故应视 F3 ? 0 .此时(2)式(3)式仍成立.由(3)式,可得

F1 ? cF .
综合以上讨论得

(7)

F1 ?

2c ? 1 F, 4

0?c?

1 . 2

(8) (9)

F1 ? cF ,
评分标准:本题 20 分.

1 ? c ?1 . 2

(1)式 1 分,(2)式 1 分,(3)式 2 分,(4)式 7 分,得到由(8)式表示的结果得 4 分,得到由(9) 式表示的结果得 5 分. 三、参考解答:1.否.原因是墙壁对于该体系而言是外界,墙壁对弹簧有作用力,

在运动参考系里此力的作用点有位移,因而要对体系做功,从而会改变这一体系的 机械能.
2.因地球受月球的引力作用,月球受地球的引力作用,它们相对惯性系都有加速度,故它 们都不是惯性参考系.相对非惯性参考系,牛顿第二定律不成立.如果要在非惯性参考系中应 用牛顿第二定律,必须引入相应的惯性力;而这两位学生又都未引入惯性力,所以他们得到的 结果原则上都是错误的. 以地心为参考系来求月球的加速度.地心系是非惯性系, 设地球相对惯性系的加速度的大小
? 为 ae ,则由万有引力定律和牛顿第二定律有

G

Mm ? ? Mae , 2 R
? ? , fm ? mae

错误!未找到引用源。

加速度的方向指向月球.相对地心参考系,月球受到惯性力作用,其大小 错误!未找到引用源。

方向指向地球,与月球受到的万有引力的方向相同.若月球相对地心系的加速度为 am ,则有

G
由(1)、(2)、(3)三式,得

Mm ? ? fm ? mam . R2 am ? G M ?m , R2

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

加速度的方向指向地球. 以月心为参考系来求地球的加速度.月心系也是非惯性系, 设月球相对惯性系的加速度的大
? 小为 am ,则由万有引力定律和牛顿第二定律有

G

Mm ? ? mam , 2 R
? ? , fM ? Mam

错误!未找到引用源。

加速度的方向指向地球.相对月心参考系,地球受到惯性力作用,惯性力的大小 错误!未找到引用源。

方向指向月球,与地球受到的万有引力的方向相同.若地球相对月心系的加速度为 ae ,则有

G
由(5)、(6)、(7)三式得

Mm ? f e? ? Mae . R2 ae ? G M ?m , R2

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

加速度的方向指向月球. (4)式与(8)式表明,地球相对月心系的加速度 ae 与月球相对地心系的 加速度 am 大小相等(方向相反),与运动的相对性一致. 评分标准:本题 15 分. 第 1 小问 5 分. 第 2 小问 10 分.指出不正确并说明理由,占 2 分;(1)至(8)式,每式 1 分. 错误!未找到引用源。四、参考解答:于火箭燃烧室出口处与喷 气口各取截面 A1 与 A 2 ,它们的面积分别为 S1 和 S 2 ,由题意,

S1 ?? S 2 ,以其间管道内的气体为研究对象,如图所示.设经过很短
时间 ?t , 这部分气体流至截面 B1 与 B2 之间,A1B1 间、A 2 B2 间的微小体积分别为 ?V1 、?V2 , 两处气体密度为 ?1 、 ?2 ,流速为 v1 、 v 2 .气流达到稳恒时,内部一切物理量分布只依赖于位 置,与时间无关.由此可知,尽管 B1A 2 间气体更换,但总的质量与能量不变.

先按绝热近似求喷气口的气体温度 T2 .质量守恒给出

?1?V1 ? ?2?V2 ,

错误!未找到引用源。

即 A 2 B2 气体可视为由 A1B1 气体绝热移动所得.事实上,因气流稳恒, A1B1 气体流出喷口时 将再现 A 2 B2 气体状态.对质量 ?m ? ?1?V1 ? ?2?V2 的气体,利用理想气体的状态方程

p?V ?
和绝热过程方程

?m

?

RT

错误!未找到引用源。

p1 ? ?V1 ?

cV ? R cV

? p2 ? ?V2 ?

cV ? R cV

,错误! 未找到引用源。

可得

? p2 ? T2 ? ? ? ? p1 ?

R cV ? R

T1



错误!未找到引用源。

再通过能量守恒求气体的喷射速率 v 2 .由(1)式及 ?V ? Sv ?t ,可得

?1 S1 v1 ? ? 2 S 2 v2 ,

错误!未找到引用源。

v ? 再利用(1)、(3)式,知 1

?2 S2 S ? p2 ? ? v2 ? 2 ? ? ?1 S1 S1 ? p ? 1?
v 1 ?? v 2 .

cV cV ? R

v 2 ,因 S

2

?? S1 , p2 ?? p1 ,故
错误!未找到引用源。

整个体系经 ?t 时间的总能量(包括宏观流动机械能与微观热运动内能)增量 ?E 为 A 2 B2 部分 与 A1B1 部分的能量差.由于重力势能变化可忽略,在理想气体近似下并考虑到(6)式,有

?E ?
源。

1 ?m 2 ?mv 2 ? cV ?T2 ? T1 ? .错误!未找到引用 2 ?
W ? p1?V1 ? p2?V2 .
错误!未找到引用源。

体系移动过程中,外界做的总功为

根据能量守恒定律,绝热过程满足

?E ? W ,

R ? ? 2?cV ? R ?T1 ? ? p 2 ? cV ? R ? 1? ? ? , ? ? ? ? p1 ? ? ? ? ? ? ?

错误!未找到引用源。

v2 ?
其中利用了(2)、(4)两式. 评分标准:本题 20 分.

错误!未找到引用源。

(2)式 1 分,(3)式 2 分,(4)式 3 分,(6)式 1 分,(7)式 6 分,(8)式 4 分,(9)式 1 分,(10)式 2 分. 错误!未找到引用源。五、参考解答:旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦,此抛 物凹面镜的焦距为

f ?
由(1)式,旋转抛物面方程可表示为

g . 2? 2

错误!未找到引用源。

z?

r2 . 4f

错误!未找到引用源。

停转后液面水平静止.由液体不可压缩性,知液面上升.以下求抛物液面最低点上升的高度. 抛物液面最低点以上的水银,在半径 R 、高 R 4 f 的圆柱形 中占据体积为 M 的部分,即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得 的回转体;其余体积为 V 的部分无水银.体 M 在高度 z 处的水平 截面为圆环,利用抛物面方程,得 z 处圆环面积
2

S M ? z ? ? π ? R 2 ? r 2 ? ? π ? R 2 ? 4 fz ? .错误!未找到引用源。
将体 V 倒置,得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体 ? ,相应抛物面方程变为

z?
其高度 z 处的水平截面为圆面,面积为

R2 ? r 2 , 4f

错误!未找到引用源。

S? ? z ? ? πr 2 ? π ? R 2 ? 4 fz ? ? S M ? z ? . 错误!未找到引用源。
由此可知

M ? ? ?V ?
即停转后抛物液面最低点上升

1 2 R2 , πR 2 4f

错误!未找到引用源。

h?

M R2 . ? πR 2 8 f

错误!未找到引用源。

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜,抛物镜的焦点就是球面镜的焦点, 故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成,

而先后看到的像的大小、正倒无变化,这就要求两像对眼睛所张的视角相同.设眼长为 y 0 .凹 面镜成像时,物距 u 即所求距离,像距 v 与像长 y 分别为

v?

fu , u- f

错误!未找到引用源。

y??

v f y0 ? y0 . u f ?u

错误!未找到引用源。

平面镜成像时,由于抛物液面最低点上升,物距为

u? ? u ? h ? u ?
像距 v ? 与像长 y ? 分别为

R2 , 8f

错误!未找到引用源。

v? ? -u? , v? y? ? ? y0 ? y0 . u?
两像视角相同要求

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

y y? ? , u ? v u? - v?


错误!未找到引用源。

1 1 , ? 2 2u ? u f 2u ? R 2 4 f
此处利用了(8)—(12)诸式.由(14)式可解得所求距离

错误!未找到引用源。

u?
评分标准:本题 20 分.

R . 2

错误!未找到引用源。

(1)式 1 分,(7)式 4 分,(8)、(9)式各 2 分,(10) 、(11)、 (12)式各 1 分,(13)式 6 分,(15) 式 2 分. 错误!未找到引用源。六、参考解答:1.先求两惯性系中光子速度方向的变换关系.根据 光速不变原理, 两系中光速的大小都是 c . 以 ? 和 ? ? 分别表示光子速度方向在 S 和 S? 系中与 x 和

x? 轴的夹角,则光速的 x 分量为
ux ? c cos ? , ? u? x ? c cos ? .
再利用相对论速度变换关系,得 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

cos? ?

cos ? ? ? v c . 1 ? vcos? ? c

错误!未找到引用源。

S? 系中光源各向同性辐射,表明有一半辐射分布于 0 ? ? ? ? π 2 的方向角范围内, S 系中,
此范围对应 0 ? ? ? ? .由上式求得

v 2 c ? arccos v . ? ? arccos v ? c 1 ? cos c 2 cos ?
可以看出,光源的速度 v 越大,圆锥的顶角越小.

?

错误!未找到引用源。

2. S ? 系中,质点静止,在 ? t ? 时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少,即

P?t? ? ?m0c2 ,

错误!未找到引用源。

式中 ?m0 为 ? t ? 时间内质点减少的质量. S 系中,质点以速度 v 匀速运动,由于辐射,其动质 量减少 ? m ,故动量与能量亦减少.转化为光子的总动量为 ?p ? ?mv ,即

?p ?
转化为光子的总能量为 ?E ? ?mc ,即
2

?m0 v 1 - v2 c2



错误!未找到引用源。

?E ?

?m 0 c 2 1? v2 c2



错误!未找到引用源。

S? 系中光源静止,测得的辐射时间 ?t? 为本征时,在 S 系中膨胀为

?t ?

?t ? 1 ? v2 c2



错误!未找到引用源。

由以上各式可得在 S 系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为

?p vP ? , ?t c 2 ?E ?P. ?t
评分标准:本题 20 分. 第 1 小问 7 分.(3)式 4 分,(4)式 3 分.

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

第 2 小问 13 分.(5)、 (6) 、(7)式各 2 分,(8)式 3 分,(9) 、(10) 式各 2 分. 错误!未找到引用源。 七、 参考解答: 1.光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为

E c ? MV ? ? E? c ? MV ? ,

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

E ? MV 2 2 ? E? ? MV ?2 2 .
其中 V ? 为碰撞后反射镜的速度.从上两式消去 V ? ,得

E ? E? ?

4E 1?V c ?

?1 ? V c ?

2

? 4 E Mc 2

?

2E .错误! 未找到引用源。 1?V c

E? ? E
未找到引用源。 当

1?V c 1?V c

错误!

V 1 ?? 1 时, ? 1 ? V c ,可得 c 1?V c

E ? ? E?1 ? 2V c ? .

错误!未找到引用源。

2.考察时刻 t 位于垂直于光传播方向的截面 A 左侧的长为光在 1s 时间内所传 播的距离 c?1s、底面积为单位面积柱体内的光子,如图 1 所示.经过 1s 时间,它 们全部通过所考察的截面.若单位体积中的光子数为 n ,根据光强的定义,入射光 的强度

Φ ? ncE

(6)

若 A 处固定一反射镜,则柱体的底面 S2 处的光子在时刻 t 到达位于 A 处的反射镜便立即被 反射,以光速 c 向左移动;当柱体的底面 S1 在 t+1s 到达 A 处被反射镜反射时,这柱体的底面 S2 已到达 A 左边距离 A 为 c?1s 处,所有反射光的光子仍分布在长为 c?1s、截面积为单位面积 的柱体内,所以反射光的强度与入射光的强度相等. 如果反射镜不固定,而是以恒定的速度 V 向右移动,则在时 刻 t+1s 柱体的底面 S1 到达 A 处时,反射镜已移到 A 右边距离为 V?1s 的 N 处, 这时底面 S2 移到 A 左侧离 A 的距离为 c?1s 处, 如 图 2 中 a 所示.设再经过时间 ?t ,S1 与镜面相遇,但这时镜面己 来到 N ? 处,因为在 ?t 时间内,镜面又移过了一段距离 V?t ,即 在时刻 t ? 1s ? ?t ,底面 S1 才到达反射镜被反射.亦即原在 S1 处 的光子须多行进 cΔt 的距离才能被反射.因此

c?t ? ?1s ? ?t ?V


?t ?

V c ?V

(7)

而这时,底面 S2 又向左移了一段距离 c?t .这样反射光的光子将分布在长为 c ? 1s ? 2c?t 的柱 体内.因反射不改变光子总数,设 n ? 为反射光单位体积中的光子数,有

cV ? c ?V ? nc ? n?? c ? 2 ? ? n?c c ?V ? c ?V ?
故有

n? ? n

根据光强度的定义,反射光的强度 由(4)、(8)、(9)各式得

? ? ? n?cE ? .
c ?V ? ?? ?? ? ? ? . ? c ?V ?
2

c ?V . c ?V

(8) (9) (10)

注意到 V ?? c 有 评分标准:本题 20 分.

? ? ? ? ?1 ?

? ?

4V c

? ?. ?

(11)

第 1 小问 9 分. (1)、(2)式各 2 分,(4)或(5)式 5 分. 第 2 小问 11 分.(8)式 5 分,(9)式 3 分,(10) 或(11)式 3 分. 错误!未找到引用源。八、参考解答:两个相距 R 的惰性气体原子组成体系的能量包括以 下几部分:每个原子的负电中心振动的动能,每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力” 作用的弹性势能, 一个原子的正、 负电荷与另一原子的正、 负电荷的静电相互作用能.以 v1 和 v2 分别表示两个原子的负电中心振动速度,x1 和 x2 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核 的位移,则体系的能量

E?
未找到引用源。 式中 U 为静电相互作用能

1 2 1 2 1 2 1 2 mv1 ? mv2 ? kx1 ? kx2 ? U , 2 2 2 2

错误!

?1 1 1 1 ? U ? kC q 2 ? ? ? ? ?, ? R R ? x1 ? x2 R ? x1 R ? x2 ?

(2)

? x ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? 因 R ? x1 ? x2 ? R ?1 ? 1 kC 为静电力常量. ? ,R ? x1 ? R ?1 ? ? ,R ? x2 ? R ?1 ? ? , R? R? R ? ? ? ?
利用 ?1 ? x ?
?1

? 1 ? x ? x ,可将(2)式化为
2

U ??

2kC q 2 x1 x2 , R3
(4)

(3)

因此体系总能量可近似表为 E ?
2

1 1 2 1 2 1 2 2kCq2 x1 x2 mv 2 ? kx1 ? mv2 ? kx2 ? . 1 2 2 2 2 R3
2

注意到 a ? b
2

2

? a ? b? ? ? a ? b? ?
2
E?

和 2ab ?

? a ? b? ? ? a ? b?
2

2

2

,可将(4)式改写为

1 1? 2k q 2 ? 1 1? 2k q 2 ? 2 2 mu12 ? ? k ? C3 ? y12 ? mu 2 ? ? k ? C3 ? y2 . 2 2? R ? 2 2? R ?

(5)

式中,

u1 ? ?v1 ? v2 ? u2 ? ?v1 ? v2 ?

2 ,(6) 2,
(7) (8) (9)

y1 ? ? x1 ? x2 ? y2 ? ? x1 ? x2 ?

2, 2.

(5)式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和,而这两个振子的固有角频率分别为

?1 ?

k ? 2kCq 2 R3 , m

(10)

?2 ?

k ? 2kCq 2 R3 . m
1 2

(11)

在绝对零度,零点能为

E0 ?

??1 ? ?2 ?



(12)

两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为 E10 和 E20 ,有

E10 ? E20 ?
式中

1 ?0 , 2

(13)

?0 ?

k m

(14)

为孤立振子的固有角频率.由此得绝对零度时,所考察的两个惰性气体原子组成的体系的能量 与两个孤立惰性气体原子能量和的差为 ?E ? E0 ? ? E10 ? E20 ? . (15) 利用 ?1 ? x ?
12

? 1 ? x 2 ? x 2 8 ,可得

?E ? ?

2 4 kC q . 32 12 6 2k m R

(16)

?E ? 0 ,表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引.
评分标准:本题 20 分. (1)式 1 分,(2)式 3 分,(4)式 3 分,(10)、(11)式各 4 分, (12)式 2 分, (16)式 2 分,末句说明 占 1 分.


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