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南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练计数原理


南京大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.五名上海世博会形象大使分别到香港、澳门、台湾进行世博会宣传,每个

地方至少去 1 名形 象大使,则不同的分派方法共有( ) A.150 种 B.180 种 C.240 种 D.280 种 【答案】A 2.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.3×3! 【答案】C 3.已知 B. 3×(3!)
3

)

C.(3!)

4

D. 9!

( x ? 2)9 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a9 x9

,则 的值为( D. 3 )
12

(a1 ? 3a3 ? 5a5 ? 7a7 ? 9a9 ) 2 ? (2a2 ? 4a4 ? 6a6 ? 8a8 ) 2
A. 3
9

B. 3

10

C. 3

11

【答案】D 4.现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考 试,那么不同的考试安排方案种数有( ) A.6 B.8 C.12 D.16 【答案】C 5.将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房 间,且选择各个房间是等可能的,则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式 的总数为( ) A. 900 B. 1500 C. 1800 D.1440 【答案】A 6.圆上有 10 个点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为( A.720 B.360 C.240 D.120 【答案】D 7.4 名师范生分到两所学校实习,若甲、乙不在同一所学校,则不同的分法共有( A.8 种 【答案】A 8.方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同,在所有这些方程所
2 2

)

)

B.10 种

C.12 种

D.16 种

表示的曲线中,不同的抛物线共有( A.60 条 【答案】B B.62 条

) C.71 条 D.80 条

9.9 件产品中,有 4 件一等品,3 件二等品,2 件三等品,现在要从中抽出 4 件产品来检查,至 少有两件一等品的种数是( A. C4 ? C5
2 2 2

) B. C4 ? C4 ? C4
2 3 4

C. C4 ? C5 【答案】D

2

D. C4 ? C5 ? C4 ? C5 ? C4 ? C5
2 2 3 1 4

0

1

10.将 4 名志愿者分配到 3 所不同的学校进行学生课外活动内容调查,每个学校至少分配一名志 愿者的方案种数为( A.24 【答案】B 11.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个 正五棱柱对角线的条数共有( A.20 【答案】D 12.△ ABC 内有任意三点不共线的 2008 个点,加上 A, B, C 三个顶点,共 2011 个点,将这 2011 个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为( A.4015 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知函数 f ( x) ? ? x ? 3 f '(2) x ,令 n ? f '(2) ,则二项式 ( x ?
3

) B. 36 C. 72 D. 144

) C.12 D.10

B.15

)

B.4017

C.4019

D.4020

2 x

) n 展开式中常数项是

第 【答案】5

项.
10 7

14.在(x-a) 的展开式中,x 的系数是 15,则实数 a=____________ 【答案】1/2 15.设 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? ? ? a11 ( x ? 2) ,则
2 9 2 11

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a11 的值为
【答案】-2



16.已知 (1 ? 2 x ) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a7 x , 那么 a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a7 ? _____ .
7 2 7

【答案】12 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.甲队有 4 名男生和 2 名女生,乙队有 3 名男生和 2 名女生. (Ⅰ)如果甲队选出的 4 人中既有男生又有女生,则有多少种选法? (Ⅱ)如果两队各选出 4 人参加辩论比赛,且两队各选出的 4 人中女生人数相同,则有多少种选 法? 【答案】 (Ⅰ)甲队选出的 4 人中既有男生又有女生,则选法为
3 1 2 2 N ? C 4 C 2 ? C 4 C 2 ? 14 种

(或 N ? C 6 ? C 4 ? 14 种)
4 4

(Ⅱ)两队各选出的 4 人中女生人数相同,则选法为
3 1 3 1 2 2 2 2 N ? C 4 C 2 ? C3 C 2 ? C 4 C 2 ? C3 C 2 ? 32 种

18. 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人,从中选 5 人外出比赛,下列情形各有多少 种选派方法(结果用数字作答).

2

⑴男 3 名,女 2 名 ⑶至少 1 名女运动员

⑵队长至少有 1 人参加 ⑷既要有队长,又要有女运动员
3

【答案】⑴从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中男 3 人,女 2 人的选法有 C 6 C 4 =120 (种) ⑵从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中队长至少有 1 人参加的选法有 C 2 C 8 +C 2 C 8 =140+56=196
1
4

2

2

3

(种)

⑶从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中至少有 1 名女运动员参加的选法有 C 10 -C 6 =2461
5 5

(种)

⑷从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,既要有队长又要有女运动员的选法有 C 10 -C 8 -C 5 =191 19.已知 ( x +
5 5
4

(种)

2 n ) 的展开式的第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数之比为 14:3. (1) x2

求正自然数 n 的值; (2)求展开式中的常数项. 4 2 【答案】 (1)由题意 Cn Cn =14:3,

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 14 4 ? 3 ? 2 ?1 即 = , n(n ? 1) 3 2 ?1
化简得 n -5n-50=0,∴n=10 或 n=-5\ (舍去), ∴正自然数 n 的值为 10. (2)∵ Tr+1 = C10 ? ( x )
r 10 ? r
2

(

10 ?5r 2 r r ) = C10 ? 2 r ? x 2 , x2

由题意得 10 ? 5r = 0 ,得 r=2, 2 ∴常数项为第 3 项 T3= T2+1=2 ·C10 =180. 20. 一个盒子装有七张卡片, 上面分别写着七个定义域为 R 的函数: f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? x ,
3 2
2 2

f 3 ( x) ? x , f 4 ( x) ? cos x , f 5 ( x) ? sin x , f 6 ( x) ? 2 ? x , f 7 ( x) ? x ? 2 。从盒子里
任取两张卡片: (1) (2) 至少有一张卡片上写着奇函数的取法有多少种?(用数字表示) 两卡片上函数之积为偶函数的取法有多少种?(用数字表示)
3

【答案】 (1)奇函数有: f1 ( x) ? x , f 3 ( x) ? x , f 5 ( x) ? sin x 偶函数有: f 2 ( x) ? x ,
2

f 4 ( x) ? cos x

非奇非偶函数有: f 6 ( x) ? 2 ? x , f 7 ( x) ? x ? 2 只一张卡片上写着奇函数的取法有 C3 ? C 4 ? 12 种
1 1

3

两张卡片均写着奇函数的取法有 C3 ? 3 种
2

至少有一张卡片上写着奇函数的取法有 15 种 (2)两偶函数之积为偶函数的取法有 C 2 ? 1 种
2

两奇函数之积为偶函数的取法有 C3 ? 3 种
2

f 6 ( x) ? 2 ? x 与 f 7 ( x) ? x ? 2 之积为偶函数,取法是 1 种
两卡片上函数之积为偶函数的取法有 5 种 21.用 0、1、2、3、4、5 这六个数字,可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位 数: (1)奇数;(2)偶数;(3)大于 3 125 的数. 【答案】 (1)先排个位,再排首位,共有 A 1 ·A 1 ·A 2 =144(个). 4 4 3 (2)以 0 结尾的四位偶数有 A 3 个,以 2 或 4 结尾的四位偶数有 A 1 ·A 1 ·A 2 个,则共有 A 3 + 2 4 4 5 5 A 1 ·A 1 ·A 2 =156(个). 2 4 4 (3)要比 3 125 大,4、5 作千位时有 2A 3 个,3 作千位,2、4、5 作百位时有 3A 2 个,3 作千位, 4 5 1 作百位时有 2A 1 个,所以共有 2A 3 +3A 2 +2A 1 =162(个). 4 3 5 3 22.在由 1、2、3、4、5 五个数字组成的没有重复数字的四位数中 ①1 不在百位且 2 不在十位的有多少个? ②计算所有偶数的和。 【答案】①由 1 不在百位,可分为以下两类 第一类:1 在十位的共有 A4
3

? 24 个;
1 1 2

第二类:1 不在十位也不在百位的共有 A3 ?A3 ?A3
1
1

? 54 个。

所以 1 不在百位且 2 不在十位的共有 24+54=78 个。 ②千位数字的和为:(1+3+5) C 2 ?A3 +2 A3 +4 A3 =108+12+24=144; 百位数字的和为:(1+3+5) C 2 ?A3 +2 A3 +4 A3 =108+12+24=144; 十位数字的和为:(1+3+5) C 2 ?A3 +2 A3 +4 A3 =108+12+24=144; 个位数字的和为:(2+4) A4 =144; ∴所有偶数的和为:144×(1000+100+10+1)=159984。
3 2 2 2

2

2

2

1

2

2

2

4


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