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山东2013高中数学奥林匹克夏令营试题及答案


山东省 2013 届高中数学奥林匹克夏令营试题参考答案
一.填空题(本题共 4 道小题,每题 10 分,共 50 分) 1.已知直线 L 过定点 P(1,2)且与 x 轴 y 轴正半轴分别交于 A,B 两点.则Δ ABC 周长的最小值是____________; 解:令∠BAO= ? ,则
S ?1? 2 ? 2 1 ? ? 2 cot ? ? tan ? ?

,(令 t ? tan ) sin ? cos ? 2
y B ?P(1,2) O A x

(王泽阳 供题)

? 3?

1 ? t2 1 ? t2 2t 1 ? t2 (1 ? t ) t ? ? ? ? 6 ? 2[ ? ] ? 10 , 2 2 t t 1? t 1? t t 1? t

1 其中等号成立仅当 t ? .所以,Smin=10. 2

2.设 a,b 为实数,且多项式 p(x)=x3+ax2+bx-8 的所有根均为实数.则 a2-2b 的最 小值是_______________; (王林 供题)

(1) ? x1 ? x 2 ? x3 ? ? a ? 解:设 p(x)的三个根 x1,x2,x3,由韦达定理得: ? x1 x2 ? x 2 x3 ? x3 x1 ? b ( 2) , ?x x x ? 8 (3) ? 1 2 3

(1)平方后,将(2)代入得: a 2 ? 2b ? x12 ? x2 2 ? x32 ? 33 ( x1 x2 x3 ) 2 ? 12 . 且当 x1=x2=x3=2,即 a=-6,b=12 时,等号成立.故 a2-2b 的最小值是 12. 3.使得每一个 ai=0 或 1(i=1,2,…,8),且没有连续三项都是 1 的数列 a1,a2,…,a8 的个数是_____________; (王继忠 供题)

解:设满足条件的数列 a1,a2,…,an 的个数 un.则当 a1=0 时,有 un-1 个; 当 a1=1,a2=0 时,有 un-2 个; 当 a1=1,a2=1, a3=0 时,有 un-3 个, 故 un=un-1+un-2+un-3,由 u1=2, u2=4, u3=7,递推可得 u8=149. 4.将 1, , , ? ,
1 1 2 3 1 写在黑板上,一名学生选取任意两个数 x,y,将他们擦去并写 2013

下数 x+y+xy,这样一直操作下去,直到黑板上只剩一个数为止,那么,最后一个 数是____________;
1

( 龚红戈 供题)

解:设原来黑板上数为 a1 , a2 , ?, an ,下面归纳证明最后剩下数为:
(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? an ) ? 1:

当 n=2 时,显然成立.假设对 n 成立.则对 n+1,将黑板上数 a1 , a2 ,?, an?1 一次操 作后,不妨设擦去的数 an , an?1 ,并写下 an ? an?1 ? an an?1 ,由归纳假设,对于黑板上 数 a1 , a2 ,?, an?1 , an ? an?1 ? an an?1 进行上述操作,最后剩下数为:
(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? an?1 )(1 ? an ? an?1 ? an an?1 ) ? 1 ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? an?1 ) ? 1 得证.

故对于数 1, , , ? ,

1 1 2 3

1 1 1 ) ? 1 ? 2013 . ,黑板上最后数为 (1 ? 1)(1 ? ) ? (1 ? 2013 2 2013

5. 已知凸四边形 ABCD 的四条边长分别为 AB ? 9,BC ? 3,CD ? 7,DA ? 5, 且对 角线相交所成的锐角为 45? ,则凸四边形 ABCD 的面积等于____.(李跃文 供题) 解:如图 1,设 OA ? x,OB ? y,OC ? z,OD ? t , 则有 S ABCD ? ? xy ? yz ? zt ? tx ? sin 45?. 又因
2 x2 ? y 2 ?2 x y c o s ?4 5 ? A, B

1 2

D

① ②
A

C

y ? z ? 2 yz cos 45 ? BC ,
2 2 ? 2

45 O
A 图1 B

?

z 2 ? t 2 ? 2 zt cos 45? ? CD2 , t 2 ? x2 ? 2tx cos 45? ? DA2 .



④,由①-②+③-④可得

2 ? xy ? yz ? zt ? tx ? cos 45? ? AB2 ? BC 2 ? CD2 ? DA2 .

所以, S ABCD ?

AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? DA2 92 ? 32 ? 72 ? 52 ? ? 24. 4 4

二.解答题(本题共 5 道小题,每题 20 分,共 100 分) 6.设 0≤x1≤x2≤…≤xn,且 ? (1)
x1 x2 ? ; 1 ? x1 1 ? x 2

1 ? 1 .求证: i ?1 1 ? xi
n

n

(2) ?
i ?1

1 xi

?1? x
i ?1

n

xi

?n
i

(李胜宏 供题)

2

n 1 1 证明:(1)由 ? 1 ? 1 知 ? i ?1

1 ? xi

1 ? x1

1 ? x2

? 1 ? 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? 1 ,



x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? . ? ? ? 0得 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

(2)由

xn x1 x2 1 1 1 和 及切比雪夫不等式得: ? ??? ? ??? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn x1 x2 xn
n n n xi xi 1 1 1 ? n ? n ? n , 所以 , ? ? ? ? xi 1 ? xi xi i ?1 1 ? xi i ?1 i ?1 1 ? xi i ?1 n

?
i ?1

n

1 xi

?1? x
i ?1

n

xi

? n.
i

7.试求出满足 21m-20n=1 的所有正整数对(m,n).

(陈永高 供题)

解:当 n=1 时,21m=20+1=21,m=1, (m,n)=(1,1),下设 n≥2.若存在正整数 m,n 使 得 21m-20n=1 即 21m=20n+1,则 20n+1≡1(mod8)(因 n≥2). 当 m=2k+1 时, 21m=21×(21k)2≡5(mod8),矛盾! 当 m=2k 时, 20n=212k-1=(21k-1)(21k+1),由 21k+1≡2(mod20)知(20n,21k+1)=2, 又 21k+1|20n,所以, 21k+1=2,k=0,m=0, 20n=0,n=1,与 n≥2 矛盾! 所以,当 n≥2 时,不存在满足条件的 m,n.故满足条件的所有正整数对(m,n)=(1,1). 8.设△ABC 中,E,F 是 AC,AB 边上的任意点,O,O/分别是△ABC,△AEF 的外心, P,Q 是 BE,CF 上的点,满足
BF 2 FQ BP = = 2 .求证:OO/⊥PQ. PE CE QC
A

(叶中豪 供题)
D

证明:过点 P 做 PR∥AC 交 BC 于 R 点,连结 QR. 做Δ ABC,Δ AEF 的外接圆⊙O,⊙O/,设它们 交于另一点 D,AD,BD,CD,ED,FD.
RP BP BF 2 ? ? 由 PR∥AC 得 ,所以, CE BE BF 2 ? CE 2
B
R

O' F E O P Q

C

RP ?

FQ BP BR BF 2 ? CE ? ? ①,由 得 QR∥AB, 2 2 BF ? CE QC PE RC
3

同理得 RQ ?

RP BF BF ? CE 2 ? ②,由①,②得 ③, 2 2 BF ? CE RQ CE

由∠ABD=∠ACD,∠AFD=∠AED 得Δ DFB∽Δ DEC, 所以,
DB BF RP DB ? ④.由③,④得 ,且∠PRQ=∠BAC=∠BDC,所以, ? DC CE RQ DC

Δ PQR∽Δ DBC,得∠RPQ=∠DBC=∠DAC,且 PR∥AC,PQ∥AD,又 AD 是公共 弦,所以 OO/⊥AD,故 OO/⊥PQ. 9.设 p 为大于 3 的质数.证明: ( p ? 1) p ? 1 至少有一个不同于 p 的质因子 q, 且 q≥2p+1. 证明:由 p 为大于 3 的质数得:
( p ? 1) p ? 1 ? p[( p ? 1) p?1 ? ( p ? 1) p?2 ? ? ? ( p ? 1)2 ? ( p ? 1) ? 1]
? p[1 ? ( p ? 2)? ( p ? 1) 2 j ?1 ] ? p(1 ?
j ?1 p ?1 2

(邹明 供题)

p ?1 ? 2) ? p 2 , 2
2 p ?1 i p ?1

及 ( p ? 1)
p ?1

p ?1

? ( p ? 1)

p ?2

? ? ? ( p ? 1) ? ( p ? 1) ? 1 ? ? (1 ? p) ? ? (1 ? pi)
i ?0 i ?0

p 2 ( p ? 1) ? p ? p? i ? p ? ? p(mod p 2 ) . 2 i ?0

故 ( p ? 1) p ? 1 至少有一个不同于 p 的质因子 q. 由 q 是 ( p ? 1) p ? 1 的不同于 p 的质因子知 q>2,(p-1,q)=1,且 ( p ? 1) p ? ?1(modq) , 所以, ( p ? 1)2 p ? 1(modq) ,由费尔马小定理得 ( p ? 1) q?1 ? 1(modq) , 若( 2 p, q ? 1 )=2,则 ( p ? 1) 2 ? 1(modq) , p ? 2(modq) , ( p ? 1) p ? 1 ? 2(modq) ,矛盾! 若( 2 p, q ? 1 )=p,则 ( p ? 1) p ? 1(modq) ,与 ( p ? 1) p ? ?1(modq) 矛盾! 又( 2 p, q ? 1 )>2,所以,( 2 p, q ? 1 )=2p,从而 2 p | q ? 1 ,所以, q ? 2 p ? 1 . 10.友谊排列:对于集合 M ? {1, 2,?, 2n} ,若能将其元素适当划分,排成两个 n 项
4

的数列 : A ? (a1, a2 ,?, an ), B ? (b1, b2 ,?, bn ) , 使得 ak ? bk ? k , k ? 1, 2,? ,n , 则称 M 为一个 友谊集, 而数列 A, B 称为 M 的一种友谊排列, 例如 A ? (3,10,7,9,6) 和 B ? (2,8, 4,5,1) 便 是集合 M ? {1, 2,?,10} 的一种友谊排列,或记为 ?
?3,10,7,9,6? ?; ?2, 8, 4, 5,1?

(1)证明:若 M ? {1, 2,?, 2n} 为一个友谊集,则存在偶数种友谊排列; (2)确定集合 M1 ? {1, 2,?,8} 全体友谊排列. (陶平生 供题)

(1)证明:设 A ? (a1, a2 ,?, an ), B ? (b1, b2 ,?, bn ) 是 M 的一种友谊排列,即有 ,称数列 A 为甲型的, ak ? bk ? k , k ? 1, 2,?, n ,且 {a1 , a2 ,? ,an ,b1 ,b 2 , ?, bn }? {1, 2, ? ,n 2 } 而数列 B 为乙型的;作数列:
?, a2 ? ,? an ? ) ? (2n ? 1 ? b1 , 2n ? 1 ? b2 ,?, 2n ? 1 ? bn ) A? ? (a1 . ? ,?bn ? ) ? (2n ? 1 ? a1 , 2n ? 1 ? a2 ,?, 2n ? 1 ? an ) B? ? (b1?, b2

? ? bk ? ? k , k ? 1, 2,?, n ,且 {a1 ?, a2 ? ,?, an ? , b1?, b2 ? ,?, bn ?} ? {1, 2,?, 2n} ,因此,数列 A?, B? 则 ak

也是 M 的一种友谊排列;
? , k ? 1,2, ?, n ,则由 a2 ? a2 ? ? 2n ? 1 ? b2 , 再证 A ? A? ,事实上,假若 A ? A? ,即 ak ? ak

得 a2 ? b2 ? 2n ? 1 ,而 a2 ? b2 ? 2 ,相加得 2a2 ? 2n ? 3 ,矛盾! 故甲型数列 A 与甲型数列 A? 一一对应;并且当数列 A 跑遍 M 的所有甲型数列时, 数列 A? 也跑遍 M 的所有甲型数列.
? 一奇一偶,现让 A 取遍使其第二项 注意到数列 A 的第二项 a2 与数列 A? 的第二项 a2

则 A? 取遍使其第二项 a2 为偶数的甲型数列, 且二者一一对 a2 为奇数的甲型数列, 应,因此 M 的甲型数列有偶数个;由于当甲型数列确定后,相应的乙型数列便 唯一确定,因此 M 的友谊排列有偶数种. (2)解:当 M ? {1, 2,?,8} 时,设其友谊排列为 ?
4 4 4

? a1 , a2 , a3 , a4 ? ? ,其中 ?b1 , b2 , b3 , b4 ?
4 4 4

ak ? bk ? k , k ? 1, 2,3, 4 ,则 ? ak ? ? bk ? ? k ? 10 ,所以, ? ak ? ? bk ? 2? bk ? 10 ,即
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

5

1 ? 2 ? ? ? 8 ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 10 ,所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 13 ……①.显然有 1 ? B 而 8 ? A ,

于是由①得, B ? {b1, b2 , b3 , b4} 只有三种情况: B ? {1, 2,3,7},{1, 2, 4,6},{1,3, 4,5} .
(10 ) 、若 B ? {1, 2,3, 7},则 A ? {4,5, 6,8},由于 1 ? ai ? bi ? 4 ,于是 A 中的元素 8 只能

与 B 中的元素 7 搭配,而 A 中的元素 6 只能与 B 中的元素 2 或 3 搭配,因此只有两 种排列: T1 ? ?
?8, 4, 6,5? ?8,5, 4, 6? , T2 ? ? ? ?; ?7, 2,3,1 ? ?7,3,1, 2 ?
A 中的元素 7, 8 只能与 B 中的元素 4 或 6 搭配, ,

则A? } 8 7 ,, 5 , 3 { (20 ) 若 B ? {1, 2, 4,6} , 也只有两种排列: T3 ? ?

?3,8, 7,5? ?7,3,5,8? , T4 ? ? ? ?; ? 2, 6, 4,1? ?6,1, 2, 4 ?

(30 ) 若 B ? {1,3, 4,5} ,则 A ? {2,6,7,8} , A 中的元素 2 只能与 B 中的元素 1 搭配,

?2,7,6,8 ? 8 只能与 4 或 5 搭配,只有两种排列: T5 ? ? ?, ?1,5, 3, 4?

?2 , 6 , 8 ?, 7 T6 ? ? ? ,; ?1 , 4 , 5 ? 3

因此,当 M ? {1, 2,?,8} 时,总共有 6 种友谊排列.

6


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