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高考递推数列通项公式的常见类型及其求法


高考递推数列通项公式的常见类型及其求法
1 ) ? 模式一:形如 a n?1 ? a n ? f (n) 递推式。由累加法可求得通项公式为: a n ? a1 ? f(

? f (2) ? ? ? f (n ? 1) 。
例 1. (2010 全国新.理) 设数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,an?1 ? an ? 3 ? 2 2n

?1 。 (I) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)略。 解:由已知,当 n ? 1 时,an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an ?1) ?

? (a2 ? a1)] ? a1 ? 3(2 2n?1

? 2 2n?3 ? ? ? 2) ? 2 ? 22( n ?1) ?1 。而 a1 ? 2, 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 22n?1 。
模式二:形如 a n?1 ? a n f (n) 递推式。由 a n?1 ? a n f (n) 得

a n ?1 ? f (n) ,使用累乘法可得 an

an ? a1 ? f (n ? 1)? f (1) 。
例 2. (2008 北京.文)数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? (n 2 ? n ? ? )an (n ? 1,2,?) , ? 是 常数。 (I)略; (II)数列 {an } 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可 能,说明理由; (Ⅲ)略。 解: (Ⅱ)数列 {an } 不可能为等差数列。证明如下:由 a1 ? 1 , an?1 ? (n2 ? n ? ?)an 得

a2 ? 2 ? ?, a3 ? (6 ? ?)(2 ? ?), a4 ? (12 ? ?)(6 ? ?)(2 ? ?). 若存在 ? ,使 {an } 为等差数列,
则 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ,即 (5 ? ?)(2 ? ?) ? 1 ? ?, 解得 ? ? 3 ,于是 a2 ? a1 ? 1 ? ? ? ?2, 这与 {an } 为等差数列矛盾, 所以, 对任意 ? , a4 ? a3 ? (11? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ) ? ?24 , {an } 都不可能是等差数列。 模式三、形如 a n?1 ? ?a n ? ? (其中 ? 、 ? 为常数)递推式,通常解法是设 a n?1 ? ? ?

? (an ? ? ) ,求出 ? ,因 {

a n ?1 ? ? } 是等比数列则可求出其通项公式。 an ? ?
*

例 3. (2008 安徽.文)设数列 {an } 满足 a0 ? a, an?1 ? can ? 1 ? c, c ? N , 其中 a , c 为实 数,且 c ? 0 。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II) 、 (Ⅲ)略。 解: (I)∵an?1 ?1 ? c(an ?1) ,∴ 当 a ? 1 时, {an ? 1} 是首项为 a ? 1 ,公比为 c 的等

比数列。∴an ?1 ? (a ?1)cn?1 ,即 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式。

∴ 数列 {an } 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。
模式四:形如 a n?1 ? ?an ? f (n) (其中 ? 为常数)递推式, an?1 ? ?an ? ? n ( ? 、 ? 为 常数)是其特殊情形。后者的等式两边同除以 ? n ,得 则可化归为模式三。 例 4. (2010 重庆.理)在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? can ? c n?1 (2n ? 1)(n ? N ? ) ,其 中实数 c ? 0 。 (I)求 {an } 的通项公式; (II)略。 解:由原式得

a n ?1

?

n

?

a ? an ? n ?1 ? 1 ,令 bn ? nn?1 , ? ? ?

a n ?1 a n an 1 ? n ? (2n ? 1) ,令 bn ? n ,则 b1 ? , bn ?1 ? bn ? (2n ? 1) ,对 n ?1 c c c c
1 c

n ? 2 , bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1 ? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ? ?3 ?

? n2 ?1?

1 , 因 此 an ? (n 2 ? 1)c n ? c n?1 , n ? 2 , 又 当 n ? 1 时 上 式 成 立 , 因 此 c

an ? (n 2 ? 1)c n ? c n?1 , n ? N ? 。
模式五、形如 a n?1 ? f (n)a n ? g (n) (其中 ? 为常数)递推式。

a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? 例 5. (2009 全国Ⅰ.理) 在数列 {an } 中,
求数列 {bn } 的通项公式; (II)略。

1 n

a n ?1 , (I) 设 bn ? n , n n 2

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n ; 利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的 n ?1 n 2 2 1 * 通项公式: bn ? 2 ? n ?1 ( n ? N )。 2
解: (I) 由已知有 模式六、形如 f (a1 , a2 ,?, an , n) ? g (n) 递推式。如例 6,可以采用错位相减法来求解。 例 6. (2007 山东.理)设数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2 n ?1

an ?

n * ,a ? N . (I) 3

求数列 {an } 的通项; (II)略。 解: (I)

? ? 3 n ? 2 a n ?1

n 2 ,①,? 当 n ≥ 2 时, a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? 3 1 n ?1 1 1 n ?1 ? .②。 ①-②得 3 an ? , an ? n .在①中,令 n ? 1 ,得 a1 ? . 3 3 3 3 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ?

? an ?

1 . 3n

模式七、 形如 a n?1 ? ?a n ? ?a n?1(其中 ? 、? 是不为零的常数) 递推式, 可变形为 a n? 2 ?

?an?1 ? ? (an?1 ? ?an ) ,则 {an?1 ? ?an } 是公比为 ? 的等比数列,这就转化为了模式三。
1’ a2 ? 2, an+2= 例 7. (2009 陕西.文)已知数列 {an } 满足, a1=
略; (II)求 {an } 的通项公式。 解: (II)解由(I)知 bn ? an ?1 ? an ? (? )

an ? an ?1 , n ? N * .(I) 2

1 2

n ?1

, 当 n ? 2 时,an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ?

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n ? 2 ] 1 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 5 2 1 5 2 1 ? ? (? ) n ?1 , 当 n ? 1 时, ? (? )1?1 ? 1 ? a1 。? an ? ? (? )n ?1 (n ? N * ) 。 3 3 2 3 3 2 3 3 2
1 a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? 2 1 ? (? ) n ? 2 ? 1 ? 2
模式八、形如 a n?1 a n ? ?a n?1 ? ?a n 。对 a n?1 a n ? ?a n?1 ? ?a n 两边同除以 a n a n?1 ,再令

bn ?1 ?

1 a n ?1

, bn ?

1 ,即化为等差数列形式。 an

例 8. (2008 陕西.理)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 求 {an } 的通项公式; (II)略; (Ⅲ)略。 解: (I) an ?1 ?

3 3an , 2, . , an ?1 ? ,n ?1 (I) 5 2an ? 1

? 3an 1 2 1 1 2 1 1? 1 , , ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1? ,又 ? 1 ? , 2an ? 1 an?1 3 3a n an 3 an?1 3 ? an ?

?1 ? 2 1 3n 1 2 1 2 ? an ? n . ? ? 1 ? ? n?1 ? n , ? ? ? 1? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 3 ?2 an 3 3 3 ? an ?
模式九、形如 a n f (n) ? an?1 g (n) ? a n a n?1h(n) (其中 f (n) ? 0 )递推式,它是模式八的 推广。通常两边同除以 a a a n?1 ,得

f ( n) g ( n) 1 1 g ( n) h( n) ? ? h(n) ,有 ? ? ? ,再令 a n ?1 an a n ?1 a n f (n) f (n)

bn ?

g ( n) h( n) 1 ? ,得 bn ?1 ? bn ? ,这就化为了模式五。 an f ( n) f ( n) 3nan ?1 3 (n ? 2, n ? N ? ) , ,且 a n ? 2a n ?1 ? n ? 1 2

例 9. (2006 江西)已知数列 {an } 满足: a1 ?

(I)求数列 {an } 的通项公式; (2)略。 解: (I)将条件变为: 1 ?

n 1 n ?1 n ? (1 ? ) ,因此 {1 ? } 为一个等比数列,其首项 an 3 a n?1 an

为1 ?

1 1 1 n 1 n ? 3n (n ? 1) . ? ,公比 ,从而 1 ? ? n ,据此可得 a n ? n 3 3 ?1 a1 3 an 3
2

模式十、形如 an?1 ? ?an ? ?an ? ? (其中 ? 、 ? 是不为零的常数)递推式,将原式 转化为 an?1 ? ? ? ? (an ? ? ) 2 ,然后再通过迭代进行求解。

, 且满足: a0 ? 1 , 例 10. (2005 江西高考题) 已知数列 {an }的各项都是正数 a n?1 ? ? (4 ? a n ). , n ? N .? (1)略; (2)求数列 {an } 的通项公式。

1 an 2

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 所以 2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 22 1 1? 2??? 2n ?1 2n 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn bn , ?1 ? ? ( ? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) bn ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2 1 2n ?1 1 n , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 。 又 bn ? ?1 ,所以 bn ? ?( ) 2 2
解: (2) a n ?1 ? 模式十一、形如 a n ?1 ?

?a n ? ? ( ? 、 ? 、 ? 、 ? 为常数)递推式。 ?a n ? ?

例 11. (2009 江西.理)各项均为正数的数列 {an } , a1 ? a, a2 ? b ,且对满足 m ? n ?

p ? q 的正整数 m, n, p , q 都有
求通项 an ; (2)略。
w

a p ? aq 1 4 am ? an ? . (1)当 a ? , b ? 时, 2 5 (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

解: (1)由

a p ? aq a1 ? an a2 ? an?1 am ? an 得 ? .将 ? (1 ? am )(1? an ) (1? a p )(1? aq ) (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 )

a1 ?

1 4 2a ? 1 1 ? an 1 1 ? an?1 1 ? an , a2 ? 代入化简得 an ? n ?1 . 所以 ? ? , 故数列 { } 为等比 2 5 an ?1 ? 2 1 ? an 3 1 ? an?1 1 ? an

数列,从而

1 ? an 1 3n ? 1 3n ? 1 满足题设条件. ? n , 即 an ? n . 可验证, an ? n 3 ?1 3 ?1 1 ? an 3
?a n 2 ? ? (其中 ? 、 ? 为非零常数)递推式。 ?a n ? ?

模式十二、形如 a n?1 ?

例 12. (2007 四川高考题) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 ,设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x n , f ( x n )) 处 的切线与 x 轴的交点为 ( xn?1 ,0)(n ? N ? ) ,其中 x1 为正实数。 (Ⅰ) 、 (Ⅱ)略; (Ⅲ)若 x1 ? 4 , 记 a n ? lg

xn ? 2 ,证明数列 {a n } 成等比数列,并求数列 {x n } 的通项公式。 xn ? 2

( xn ? 2) 2 ( xn ? 2) 2 xn 2 解: (Ⅲ)由 xn ?1 ? ,同理, xn?1 ? 2 ? ? ,知 xn?1 ? 2 ? 2 xn 2 xn 2 xn
x ? 2 ? xn ? 2 ? xn?1 ? 2 x ?2 ?? 故 n ?1 ,即 an?1 ? 2an 所以,数列 ?an ? 成等比 ? 2lg n ? 从而 lg xn ?1 ? 2 ? xn ? 2 ? xn?1 ? 2 xn ? 2
数列, 故 an ? 2
n ?1
2

a1 ? 2n?1 lg

x ?2 x1 ? 2 1 即l ? 2n?1 lg 3 , g n ?2 n?l g 3 x1 ? 2 xn ? 2

, 从而

xn ? 2 ? 32 n?1 xn ? 2

所以 xn ?

2(32n?1 ? 1) 32n?1 ? 1

模式十三、归纳 ?猜想 ? 证明,当问题目标不是很明确时,可以通过先算出前几项, 从中总结出规律,猜想出一般情况然后再利用数学归纳法给予证明。 例 13. (2007 江西高考题)设正整数数列 {an } 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N ,
*

1 1 ? a an?1 1 1 有2? (1) 、 (2)略; (3)求数列 {an } 的通项 an ? n ? 2? . an ?1 1 ? 1 an n n ?1
解: (3)由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n2 .用数学归纳法证明即可(过程略) 。 由递推关系求数列通项公式的类型较多,本文结合近年数学高考题总结了常见的几种 类型,旨在对数列通项公式求解类型进行归纳,为数列内容的复习提供一些帮助。


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