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2014高考数学二轮复习典型题专讲:方法论2


一、选择题 1. 已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={t|t=x+y, x∈A, y∈A}, 则 B 中所含元素的和为( A.45 C.54 B.48 D.55
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)

解析: 选 C 集合 B 中的元素是由集合 A 中的任意两个元素相加得到的(元素可以相同), 故集合 B={2,3,4,5

,6,7,8,9,10},B 中所含元素的和为 54. 2.函数 f(x)=log2x+x-4 的零点所在的区间是( 1 ? A.? ?2,1? C.(2,3) 解析:选 C B.(1,2) D.(3,4) 1? 9 f? ?2?=-2,f(1)=-3,f(2)=-1,f(3)=log23-1>0,f(4)=2,根据零点存 )

在性定理,所以函数 f(x)在区间(2,3)内有零点. 3.设 a,b 分别为先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有 5 的条 件下,方程 x2+ax+b=0 有实根的概率是( A. 7 11 ) 9 B. 11 7 D. 18

11 C. 18

解析:选 A 若第 1 次没有 5,则第 2 次必是 5,所以试验发生包含的事件数为 6+5= 11. 方程 x2+ax+b=0 有实根要满足 a2-4b≥0, 当 a=5 时,b=1,2,3,4,5,6; 当 b=5 时,a=6,
[来源:学优 ]

则共有 6+1=7 种结果, 7 ∴满足条件的概率是 . 11 4. 如图, 三棱柱 ABCA1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1, △A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 的中点,则下列叙述正确的是( A.CC1 与 B1E 是异面直线
[来源:gkstk.Com]

)

B.AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 C.AC⊥平面 ABB1A1 D.A1C1∥平面 AB1E 解析:选 B A 不正确,因为 CC1 与 B1E 在同一个侧面中;B 正确,易知 AE,B1C1 是 异面直线,且 AE⊥BC,BC∥B1C1,所以 AE⊥B1C1;C 不正确,取 AB 的中点 M,则 CM⊥ 平面 ABB1A1;D 不正确,因为 A1C1 所在的平面 ACC1A1 与平面 AB1E 相交,且 A1C1 与交线

有公共点,故 A1C1∥平面 AB1E 不正确.
? ?-1,x≥0, 5.已知函数 f(x)=? 2 则满足不等式 f(3-x2)<f(2x)的 x 的取值范围为( ?x -1,x<0, ?

)

A.[-3,0) C.(-3,1)

B.(-3,0) D.(-3,-1)

?-1,x≥0, ? 解析:选 B 画出函数 f(x)=? 2 的图像,如图. ? ?x -1,x<0

∵f(3-x2)<f(2x),
2 2 ? ? ?3-x <0, ?3-x ≥0, ∴? 或? 2 ?3-x >2x, ? ? ?2x<0,

解得-3<x<- 3或- 3≤x<0, ∴满足不等式的 x 的取值范围为-3<x<0. π? 6.若函数 f(x)=sin(ωx+φ)? 则 ω 和 φ 的取 ?ω>0,|φ|<2?的部分图像如图, 值是( ) π B.ω=1,φ=- 3 1 π D.ω= ,φ=- 2 6

π A.ω=1,φ= 3 1 π C.ω= ,φ= 2 6 解析: 选 C

π T 2π 2π 1 - ? = π ,∴ T = 4π ,∴ ω = = ,故 f(x) = 由题中图可知 = - ? 4 3 ? 3? T 2

1 π ? ?2π ? sin? ?2x+φ?,将? 3 ,1?代入可求得 φ=6. 7.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,…,9 的 9 个方格,使得任意相邻 (有公共边)的方格所涂颜色都不相同,且标号为 1,5,9 的方格涂相同的颜色,则符合条件的 所有涂法共有( ) 1 4 7 A.108 种 C.48 种 解析:选 A 2 5 8 3 6 9
[来源:学 优]

B.60 种 D.36 种 1,5,9 方格的涂法有 3 种,根据对称性,涂 4,7,8 方格的方法数与涂 2,3,6

方格的方法数相等. (1)当 4 号与 8 号涂色相同时,4,8 两方格有 2 种涂法,7 号有 2 种涂法,此时 4,7,8 方格 的涂法有 2×2=4 种; (2)当 4 号与 8 号涂色不相同时,4,8 两方格有 A2 2=2 种涂法,7 号只有 1 种涂法,此时

4,7,8 方格的涂法有 2×1=2 种.因此,当 1,5,9 方格涂色后,4,7,8 方格的涂法共有 6 种.则 所有涂法共有 3×6×6=108 种. 8.已知在函数 y=|x|(x∈[-1,1])的图像上有一点 P(t,|t|),该函数的图像与 x 轴、直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )

A

B

C

D

1 1 解析: 选 B 由题意知: 当-1≤t<0 时, f(t)= ×(-t+1)×(1+t)= (1-t2); 当 0≤t≤1 2 2

?2?1-t ?,-1≤t<0, 1 1 1 1 时,f(t)= ×1×1+ ×t×t= + t ,所以 f(t)=? 2 2 2 2 1 1 ?2+2t ,0≤t≤1,
2 2 2

1

结合选项中的图

像可知选项 B 符合. 二、填空题

?x+y-7≤0, 9.若点 P(m,n)在由不等式组?x-2y+5≤0, ?2x-y+1≥0
为________.

所确定的区域内,则 n-m 的最大值

解析:作出可行域,如图中的阴影部分所示,可行域的顶点坐标 分别为(1,3),(2,5),(3,4),设目标函数 z=y-x,则 y=x+z,其纵截 距为 z,由图易知点 P 的坐标为(2,5)时,n-m 最大,为 3. 答案:3 10.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积是________.

解析:如图,它被切去的是三棱台 ABCDEF,通过计算可知 S△ABC 1 1 = ,S△DEF=2,所以 VABC-DEF= ×? 2 3 ? 1 1 ? ×2+ +2 × 2 2 ?

7 7 17 2= ,则该几何体的体积 V=23- = . 3 3 3 17 答案: 3
?1? 11.已知数列{an}为等差数列,a3=3,S6=21,数列?a ?的前 n 项和为 Sn,对一切 n∈ ? n?

m N*,恒有 S2n-Sn> 成立,则 m 的最大正整数是________. 16
? ?a1+2d=3, 解析:设{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a3=3,S6=21 可得? 解得 ?6a1+15d=21, ? ?a1=1, ? ? ?d=1, ?

1 1 1 1 ∴an=n, = ,Sn=1+ +…+ . an n 2 n 令 Tn=S2n-Sn= 1 1 1 + +…+ , 2n n+1 n+2

1 1 1 1 1 则 Tn+1= + +…+ + + , 2n 2n+1 2n+2 n+2 n+3 Tn+1-Tn= 1 1 1 1 1 1 + - ≥ + - =0, 2n+1 2n+2 n+1 2n+2 2n+2 n+1

m 1 m ∴Tn+1>Tn.若对一切 n∈N*,恒有 S2n-Sn> ,则 T1=S2-S1= > ,m<8,故 m 的最大 16 2 16 正整数是 7. 答案:7 三、解答题 12.已知函数 f(x)= 3sin xcos x+cos2x+a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; π π? 3 (2)若 f(x)在区间? ?-6,3?上的最大值与最小值的和为2,求 a 的值. 解:(1)因为 f(x)= 所以 T=π. π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 6 3 π 2π ? 故函数 f(x)的单调递减区间是? ?6+kπ, 3 +kπ?(k∈Z). π π (2)因为- ≤x≤ , 6 3 1+cos 2x π? 3 1 sin 2x+ +a=sin? ?2x+6?+a+2, 2 2

π? π π 5π 1 所以- ≤2x+ ≤ ,- ≤sin? ?2x+6?≤1. 6 6 6 2 π π? 1? ? 1 1? 3 ? 因为函数 f(x)在? ?-6,3?上的最大值与最小值的和为?1+a+2?+?-2+a+2?=2,所以 a=0. n - 13.已知数列{2n 1· an}的前 n 项和 Sn=1- . 2 (1)求数列{an}的通项公式; |an| ?1? (2)设 bn= ,求数列?b ?的前 n 项和. n ? n? 解:(1)由题意知:Sn-1=1- ∵2n 1· an=Sn-Sn-1,


n-1 (n≥2), 2

1 - ∴2n 1· an=- . 2 1 - ∴an=- n=-2 n(n≥2). 2 1 - ∵21 1· a1=S1=1- , 2 1 ∴a1= , 2 1 ? ?2?n=1?, ∴an=? ? ?-2-n?n≥2?. |an| 2 1 (2)由题意知 bn= = = n (n≥2), n n 2· n 1 ∴ =n· 2n(n≥2). bn 1 1 ∵ = =2, b1 |a1| 1 ∴ =n· 2n(n≥1). bn
?1? ′ 设?b ?的前 n 项和为 Sn , ? n?
′ -n

则 Sn =1×2+2×22+3×23+…+n×2n, 2Sn =1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n 1,
′ +

∴Sn -2Sn =1×2+22+23+…+2n-n×2n 1=2+22+…+2n-n×2n 1,
′ ′ + +

∴-Sn =(1-n)×2n 1-2,
′ +

∴Sn =(n-1)×2n 1+2.
′ +

x2 y2 14.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 A 在椭圆 C 上, a b

| F1 A |=-5 AF2 · | F1 F2 |=2, 过点 F2 且与坐标轴不垂直的直线交 AF1 · F1 F2 =0,3| AF2 |· F1 A , 椭圆于 P,Q 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)线段 OF2(O 为坐标原点)上是否存在点 M(m,0),使得 QP · MQ ?若存在, MP = PQ · 求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 3 3 解:(1)由题意知,∠AF1F2=90° ,cos∠F1AF2= ,且| F1 F2 |=2,所以| AF1 |= ,| AF2 | 5 2 5 = ,2a=| AF1 |+| AF2 |=4, 2 所以 a=2,c=1,b2=a2-c2=3, x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)假设存在这样的点 M 符合题意. 设线段 PQ 的中点为 N,P(x1,y1),Q(x2,y2),N (x0,y0),直线 PQ 的斜率为 k(k≠0), 且过点 F2(1,0),则直线 PQ 的方程为 y=k(x-1), x y ? ? 4 + 3 =1, 由? 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, ?y=k?x-1?, ? x1+x2 8k2 4k2 所以 x1+x2= 2 ,故 x0= = 2 . 2 4k +3 4k +3 4k2 3k 又点 N 在直线 PQ 上,所以 N?4k2+3,-4k2+3?.
2 2

?

?

由 QP · MQ , MP = PQ ·

[来源 :gkstk.Com]

可得 PQ · ( MQ + MP )=2 PQ · MN =0, 3k 0+ 2 4k +3 1 即 PQ⊥MN,所以 kMN= =- , 4k2 k m- 2 4k +3 1 k2 1 0, ?, 整理得 m= 2 = ∈? 4? 3 ? 4k +3 4+ 2 k 1? 所以线段 OF2 上存在点 M(m,0)符合题意,其中 m∈? ?0,4?.


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