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重庆市万州二中2011-2012学年高二上学期期中考试(数学理)


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重庆市万州二中 2011-2012 学年高二上学期期中考试(数学理)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卷相应空格内。 ) 1.用一个平面去

截一个正四棱柱,截法不同,所得截面形状不一定相同,在各种截法中,边 数最多的截面的形状为 ( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 2 2.若点 A(x +4,4-y,1+2z)关于 y 轴的对称点是 B(-4x,9,7-z),则 x,y,z 的值依 次为 ( ) A.1,-4,9 B.2,-5,-8 C.2,5,8 D.-2,-5,8 3.已知 m、l 是直线,α 、β 是平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 l 平行于 α ,则 l 平行于 α 内的所有直线 B.若 m ? α ,l ? β ,且 m∥l,则 α ∥β C.若 m ? α ,l ? β ,且 m⊥l,则 α ⊥β D.若 m ? β ,m⊥α ,则 α ⊥β 4.正三棱锥 P—ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,PA=PB=PC=a,AB 的中点 M,一小蜜蜂沿 锥体侧面由 M 爬到 C 点, 最短路程是 ( ) A. 10 a
2

B. 3 a
2

C. 1 ( 2 ?
2

2a)

D. 1 (1 ? 5 )a
2

N

5.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中 C M D ⑴BM 与 ED 平行 ⑵CN 与 BE 是异面直线 ⑶CN 与 BM 成 60° ⑷DM 与 BN 垂直 以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A E B A.⑴⑵⑶ B.⑵⑷ C.⑶⑷ D.⑵⑶⑷ F 6.已知直线 l1 的方向向量 a=(2,4,x),直线 l2 的方向向量 b=(2,y,2),若|a|=6,且 a⊥b, 则 x+y 的值是( ) A.-3 或 1 B.3 或-1 C.-3 D.1 7.如图所示,在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细线 AM、 BN、AB 的长度为 60cm,在 MN 处挂长为 60cm 的木条 MN 平行 于横梁,木条中点为 O,若木条绕 O 的铅垂线旋转 60°,则木条 比原来升高了( A.10cm ) B.5cm C.10 3 cm D.5 3 cm

8.有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够 焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 A.(0, 6+ 2) C.( 6- 2, 6+ 2) B.(1,2 2) D.(0,2 2) ( )

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( )

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积与体积分别为

A.7+ 2,3 C.7+ 2, 3 2

B.8+ 2,3 3 D.8+ 2, 2

10.如图,在正三棱锥 P—ABC 中,M、N 分别是侧棱 PB、PC 的中点,若截面 AMN⊥侧面 PBC, 则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 ( ) P A.

3 2

B.

5 2

N A M B C

C. 2

D.

6 3

二、 填空题 (本大题共 5 小题, 每小题 5 分共 25 分, 把答案填在答题卷相应题号的横线上. ) 11.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45
0

,腰和上底均为1 的等腰梯

形,那么原平面图形的面积是________. 12.体积为 8 的一个正方体,其全面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的体积等于________. 13.如图, 以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕, 把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两 个平面后,某学生得出下列四个结论: A A ① BD ? AC ? 0 ; D ②∠BAC=60°; B C B D ③三棱锥 D—ABC 是正三棱锥; ④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是________(填上正确答案的序号). 14.设 A(1,2,-1),B(0,3,1),C(-2,1,2)是平行四边形的三个顶点,则此平行四边 形的面积为 . 15.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上 一动点,现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC,在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足,设 AK=t,则 t 的取值范围是________. C

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.(本题 13 分)如图:一个圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个半径为 x 的内接圆 柱。 (1)试用 x 表示圆柱的体积; (2).当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大,最大值是多少。

17.(本题 13 分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已 建的仓库的底面直径为 12M,高 4M。养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食 盐。现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4M(高不变) ;二是高度增加 4M(底面直径不变)。 (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些,说明理由.

18.(本题 13 分)已知正三棱柱 ABC—A1B1C1,底面边长 AB=2,AB1⊥BC1,点 O、O1 分别是边 AC,A1C1 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. ⑴求正三棱柱的侧棱长. ⑵若 M 为 BC1 的中点,试用基向量 AA 1 、 AB 、 AC 表示向量 AM ; A1 ⑶求异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值..

z
B1

O1

C1

M A O C y

x

B

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19.(本题 12 分)如图所示,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD; (3)求三棱锥 C-BGF 的体积.

20.(本题 12 分)如图,已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形, SA⊥底面 ABCD,E 是 SC 上的一点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; A B

S E D C

21.(本题 12 分)正△ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边的中点, 现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A—DC—B。 (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E—DF—C 的余弦值; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE?证明你的结论.
A E

A

E
D F C

D F
B

C

B

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参考答案: 一:CBDACAAACB 二:11 2 ?

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2 12

8 6π 13 ②③ π

14

5 2.

1 ? 15 ? ?2,1?

三: 16 (1) 圆柱的高 h=6-3x ; 圆柱的体积 V= ? x (6-3x) (0<x<2)
2

(2) 圆柱的侧面积 S 侧=2 ? x(6-3x)=6 ? (2x- x ) (0<x<2)
2

当 x = 1 , S 侧有最大值 6 ? . 17: 解: (1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16M,则仓库的体积

1 1 ? 16 ? ? V ? S ? h ? 3 ?? ? ? ?2? 3
1

2

?4 ?

256 ? (M 3 ) 3

如果按方案二,仓库的高变成 8M,则仓库的体积

V2?

1 ? h ? 1 ? ? ? ? 12 ? S ? ? 3 ?2? 3

2

?8 ?

288 ? (M 3 ) 3

(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16M,半径为 8M. 棱锥的母线长为 l ? 82 ? 42 ? 4 5 则仓库的表面积

S

1

? ? ? 8 ? 4 5 ? 32 5? ( M 2 )

如果按方案二,仓库的高变成 8M. 棱锥的母线长为 l ? 82 ? 62 ? 10 则仓库的表面积 (3)

S

2

? ? ? 6 ?10 ? 60? (M 2 )

v

2

? v1, s 2 ? s1

?方案二比方案一更加经济
18:((1)由已知 B( 3 ,0,0) A(0,-1,0) C(0,1,0),

B

1

( 3 ,0,m)

C

1

(0,1, m)

∴ AB 1=( 3 ,1,m)
又有 AB 1⊥ BC1

BC

1

=(- 3 ,1,m)

∴ AB 1. BC1 =0=-3+1+ m 2

∴ m 2 =2 ∴m=
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2

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1 2

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(2) AM = ( AA 1 + AB + AC )

(3)由(1)知 AB 1=( 3 ,1, Cos< AB 1,BC>=-

2)

6 6 6 6

∴异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值为 19:(1)证明 ∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,

∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF, 又 BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE. (2)证明 由题意可得 G 是 AC 的中点,连结 FG,

∵BF⊥平面 ACE,∴CE⊥BF. 而 BC=BE,∴F 是 EC 的中点, 在△AEC 中,FG∥AE,∴AE∥平面 BFD. (3)∵AE∥FG. 而 AE⊥平面 BCE, ∴FG⊥平面 BCF. ∵G 是 AC 中点,F 是 CE 中点, 1 ∴FG∥AE 且 FG=2AE=1. 1 ∴Rt△BCE 中,BF=2CE=CF= 2, 1 ∴S△CFB=2× 2× 2=1. 1 1 1 ∴VC-BGF=VG-BCF=3· S△CFB· FG=3×1×1=3.
20. (1)证明:∵SA⊥底面 ABCD,BD? 底面 ABCD, ∴SA⊥BD ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∴BD⊥平面 SAC,又 BD? 平面 EBD ∴平面 EBD⊥平面 SAC.

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(2)解:设 AC∩BD=O,连结 SO,则 SO⊥BD 由 AB=2,知 BD=2 2

SO= SA2+AO2= 42+( 2)2=3 2
1 1 ∴S△SBD= BD·SO= ·2 2·3 2=6 2 2 1 1 令点 A 到平面 SBD 的距离为 h,由 SA⊥平面 ABCD, 则 ·S△SBD·h= ·S△ABD·SA 3 3 1 4 ∴6h= ·2·2·4 ? h= 2 3 4 ∴点 A 到平面 SBD 的距离为 3

21 解: (1)如图:在△ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF. ∴AB∥平面 DEF. (2)∵AD⊥CD,BD⊥CD A ∴∠ADB 是二面角 A—CD—B 的平面角 ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面 BCD 取 CD 的中点 M,这时 EM∥AD ∴EM⊥平面 BCD 过 M 作 MN⊥DF 于点 N,连结 EN,则 EN⊥DF ∴∠MNE 是二面角 E—DF—C 的平面角 D

E Q N P F M

3 在 Rt△EMN 中,EM=1,MN= 2 3 21 ∴tan∠MNE= ,cos∠MNE= 2 7
(3)在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE 证明如下:在线段 BC 上取点 P。使 BP ? ∴PQ⊥平面 ACD ∵ DQ ? ∴AQ⊥DE∴AP⊥DE

C

B

1 BC ,过 P 作 PQ⊥CD 与点 Q, 3

1 2 3 在等边△ADE 中,∠DAQ=30° DC ? 3 3

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