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4.2.2圆与圆的位置关系


4.2.2

圆与圆的位置关系

【教学目标】 1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系. 2.通过圆与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何 问题的思想. 3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自 觉应用坐标法解决几何问题的习惯. 【教学重难点】 教学重点:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关

系. 教学难点:用坐标法判断两圆的位置关系. 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题:如何利用代数与几何方法判别直线与圆 的位置关系? 前面我们运用直线与圆的方程,研究了直线 与圆的位置关系,这节课我们用圆的方程, 讨论圆与圆的位置关系. ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢? 2.如何判断圆与圆之间的位置 关系呢? ㈢合作探究、精讲精练 探究一:用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系?

C x ? y ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,圆 C 判断圆 C 与圆 C 的位置关系.
例 1.已知圆
1

: 1

2

2

: 2

x ?y
2

2

? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,是

2

解析: 方法一, 判断圆与圆的位置关系, 就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二, 可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系, 判断圆 与圆的位置关系. 解:(法一)

? 3? 圆 C 的方程配方,得 ( x ?1) ? ? y ? ? ? 2?
2

2

1

?

9 . 4

圆心的坐标是 ? ? 1,?

? ?

3 3? ? ,半径长 r1 ? . 2 2?
2 2

? 3? 圆 C 的方程配方,得 ( x ? 2) ? ? y ? ? ? 2?
2

?

17 . 4

圆心的坐标是 ? ? 2,? ? ,半径长

? ?

3? 2?

r

2

?

17 . 2

连心线的距离为 1,

r ?r
1

2

?

3 ? 17 17 ? 3 , r1 ? r 2 ? . 2 2

因为

17 ? 3 3 ? 17 , ?1? 2 2

所以两圆 相交. (法二) 方程

x ?y
2

2

? 2x ? 3 y ?1 ? 0 与 x ?

2

y

2

? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 相减,得
1 2

x?
把x ?

1 2 代入 x ? 2

y

2

? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,得 4 y ? 12 y ? 1 ? 0
2

因为根的判别式 ? ? 144 ? 16 ? 0 ,所以方程 4 圆相交.

y

2

? 12 y ? 1 ? 0 有两个实数根,因此两

点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式 (1)( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1与 ( x ? 2) ? ( y ?5) ?16 的位置关系
2 2 2 2

解:根据题意得,两圆的半径分别为 r 和r2 ? 4 ,两圆的圆心距 1 ?1

d ? [2 ? (?2)]2 ? (5 ? 2) 2 ? 5.
因为 d ? r 1 ? r2 ,所以两圆外切.

㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置 关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定; (2)依据连心线的长与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径的差的绝对值的大小关系. 【板书设计】 一.圆与圆的位置关系 (1)相离,无交点 (2)外切,一个交点

(3)相交,两个交点; (4)内切,一个交点; (5)内含,无交点. 二.判断圆与圆位置关系的方法 例1 变式 【作业布置】 导学案课后练习与提高

4.2.2

圆与圆的位置关系

课前预习学案 一.预习目标 回忆圆与圆的位置关系有几种及几何特征,初步了解用圆的方程判断圆的位置关系 的 方法. 二.预习内容 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢?

2.如何判断圆与圆之间的位置关系呢?

三.提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填 在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一.学习目标 1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.

2.通过圆与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想. 3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自 觉应用坐标法解决几何问题的习惯. 学习重点:能根据给定圆 的方程,判断圆与圆的位置关系. 学习难点:用坐标法判断两圆的位置关 系. 二.学习过程 探究:用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系?

C : x ? y ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,圆 C 判断圆 C 与圆 C 的位置关系.
例 1.已知圆
1
2

2

1

: 2

x ?y
2

2

? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,是

2

变式 (1)( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1与( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 16 的位置关系.

三.反思总结 判断两圆的位置关系的方法: 四.当堂检测 1.圆

x ?y
2

2

? 2 x ? 0 和 x ? y ? 4 y ? 0 位置关系是(
2

2



A.相离
2 2 2 2

B.外切
2

C.相交
2 2 2

D.内切

2.两圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 的公切线有_____条. 3.求圆 x ? y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 4 x ? 4 y ?12 ? 0 的公共弦的长.

课后练习与提高 1.若直线 x ? y ? a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? a 相切,则 a 为( A.0 或 2
2 2

) .无解 )

B.

2
2 2

.2

2.两圆 x ? y ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 和 x ? y ? 6 x ? 12y ?19 ? 0 的位置关系是( A.外切 B.内切 C.相交 D.外离

2 2 3. 已知圆 C : ( x ? a ) ? ( x ? 2) ? 4(a ? 0)及直线l : x ? y ? 3 ? 0.当直线l被C 截得

的弦长为 2 3 时,则 a=( A. 2
2 2

) B. 2 ? 2
2 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

4.两圆 x ? y ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 和 x ? y ? 6x ? ?12y ? 19 ? 0 的公切线有___条 5.一圆过圆

x ?y
2

2

? 2 x ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点,且圆心在 y 轴上,则这个圆

的方程是________________. 6. 已 知 圆 C 与 圆 x ? y ? 2x ? 0 相 外 切 , 并 且 与 直 线 x ? 3 y ? 0 相 切 于 点
2 2

Q(3,? 3) ,求圆 C 的方程.


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