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(新课程)高中数学 3.2.2《对数函数》学案2 新人教B版必修1


指数函数与对数函数对照表
前面我们刚学了指数函数, 现在我们又学了对数函数, 而且同底的指数函数和对数函数互为 反函数, 你能分清它们之间的区别与联系吗?下表可帮助同学们理顺它们之间的关系, 以形 成对它们的整体认识. 指数函数和对数函数对照表 名称 一般 形式 定义 域 值域 指数函数 对数函数

y ? a x (a ? 0,a ? 1)

/>R (0,+∞)

y ? loga x(a ? 0,a ? 1)
(0,+∞) R

函数 值变化情 况

?a ? 1,x ? 0, ? 当 a ? 1 时, ?a x ? 1 x ? 0, , ?0 ? a x ? 1,x ? 0 ?
x

?log a x ? 0,x ? 1, ? 当 a ? 1 时, ?log a x ? 0,x ? 1, ?log x ? 0, ? x ? 1; 0 ? a
当 0 ? a ? 1 时,

当 0 ? a ? 1 时,

?0 ? a ? 1,x ? 0 ? x ?a ? 1,x ? 0, ?a x ? 1,x ? 0 ?
x

?log a x ? 0,x ? 1, ? ?log a x ? 0,x ? 1, ?log x ? 0, ? x ? 1. 0 ? a
当 a ? 1 时, y ? log a x 是增函数; 当 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 是减函数.

当 a ? 1 时, y ? a x 是增函数; 单调 性 当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函
x

数.

y ? a x (a>0 且 a≠1) 的图象与 y ? loga x (a>0 且 a≠1)的图象关于
直线 y=x 对称. 当 a>1 时, 图象 当 0<a<1 时,

补充 性质

当 a>1 时,图象向上越靠近 y 轴,底数越 大; 当 0<a<1 时,图象向上越靠近 y 轴,底数 越小.

当 a>1 时,图象向右越 靠近 x 轴,底数越大; 当 0<a<1 时, 图象向右 越靠近 x 轴,底数越小.

理解并熟记表格最后一项中的补充性质, 对我们认识函数的性质, 运用数形结合的思想解题 都有很大好处.

1

对数函数创新题两例 函数中的创新题,一般会给出新定义、新运算等,这就要求我们读懂题目,并把新概念、新 定义、新运算与所学知识相结合,在较高层次上分析问题、解决问题. 例 1 定义:函数 y ? f ( x) ,x∈D,若存在常数 C,对于任意 x1∈D,存在惟一的 x2∈D,使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C ,则称函数 f ( x) 在 D 上的“均值”为 C,已知 f ( x) =lgx,x∈[10, 2
).

100],则函数 f ( x ) =lgx 在[10,100]上的均值为( (A)

3 2

(B)

3 4

(C)

1 10

(D)10

解析:由题意,当 10≤x1≤100 时,x2 也要在[10,100]内,且 是常数. 令 x2 ?

lg x1 ? lg x2 ? C ,即 x1x2 2

1 1 m 1 ,又 ≤ ≤ , 100 x1 10 x1

? m ?100 ≥ 10, ? ∴? ,∴m=1000, m ? ≤ 100 ?10 ?

? 1000 ? f ( x1 ) ? f ? ? ? x1 ? ? lg1000 ? 3 . ∴C ? 2 2 2
点 评 : 本 题 是 新 定 义 题 , 其 关 键 是 在 [ 10 , 100 ] 上 x2 被 x1 惟 一 确 定 , 且 故可令 x2 ? f ( x )? f ( x ? l g ( x为常数, x 1 2 ) 1 2 ) 再由 C ?

m , 然后依据 x2∈ [10, 100] 求出 m=1000, , x1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 求出C. 2

例 2 给定 an ? log(n?1) (n ? 2) ,n∈N*,定义使 a1·a2·a3·?·ak 为整数的 k(k∈N*) 叫做“企盼数”,求区间(1,62)内的所有企盼数的和. 解:∵ an ? log(n?1) (n ? 2) , ∴a1·a2·a3 ·?·ak=log23×log34×log45×?× log(k+1)(k+2)=

lg 3 lg 4 lg 5 lg(k ? 2) lg(k ? 2) ? ? ??? ? ? log 2 (k ? 2) . lg 2 lg 3 lg 4 lg(k ? 1) lg 2

设 log2 (k ? 2) 为整数 m,即 log2 (k ? 2) ? m(m ?Z) .

2

∴ k ? 2 ? 2 ,即 k ? 2 ? 2 ,
m m

又∵k∈(1,62),即 1<2 -2<62,∴3<2 <64, ∴m=2,3,4,5,代入 k ? 2 ? 2 得到 k=2,6,14,30.
m

m

m

∴区间(1,62)内所有“企盼数”之和为 2+6+14+30=52. “同正异负” 你注意到了吗 结合对数函数的图象,我们可以归纳出下面的重要 性质. 性质:在对数函数 y=lo gax(a>0 且 a≠1)中, (1)若 0<a<1 且 0<x<1,或 a>1 且 x>1,则有 y>0; (2)若 0<a<1 且 x>1,或 a>1 且 0<x<1,则有 y<0. 以上性质可以简称为:同区间为正,异区间为负. 在对数函数的学习中, 以上性质往往容易被忽视, 但它恰恰就是解决一些对数函数问题的关 键所在.下面结合几个实例加以分析. 例 1 如果 loga3>logb3>0,那么 a,b 间的关系是( ). (A)0<a<b<1 (B)1<a<b (C)0<b<a<1 (D)1<b<a 解析:由于 loga3>logb3>0,3>1,结合“同区间为正”可得:a>1,b>1, 又由 loga3> logb3>0 得

1 1 ? ?0, log3 a log3 b

即 log3b>log3a,所以 b>a, 所以 b>a>1,故选(B). 例 2 若定义在区间(-1 ,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取 值范围是( ). (A) ? 0, ?

? ?

1? 2? ? ?

(B ) ? 0, ?

? ?

1? 2?

(C) ? , ? ? ?

?1 ?2

(D)(0,+∞)

解析:∵ -1<x<0,∴0<x+1<1,又 f(x)>0, 结合“同区间为正”可得:0<2a<1,解得 0<a<

1 ,故选(A). 2
).

例 3 已知 log a

1 1 ? log a ,且|logba|=-logba,则有( 4 4
(B)0<a<1 且 b>1 (D)0<a<1 且 0<b<1

(A)a>1 且 b>1 (C)a>1 且 0<b<1 解析:∵ log a

1 1 1 ? log a ,∴ log a >0. 4 4 4
) .

同理可得 logba<0.结合同区间为正,异区间为负,得 0<a<1,b>1,故选(B). 2x x 例 4 设 0<a<1, 函数 f x) ( =log(a -2a -2) 则使 f x) 的 x 的取值范围是 , ( <0 ( a

3

(A)(-∞,0) (B)(0,+∞) (C)(-∞,loga3) (D )(loga3,+∞) 2x x 解析:由于0<a<1,由“异区间为负”可得:a -2a -2 >1, x x 则(a -3)(a +1)>0, x 所以 a >3,即 x<loga3,故可排除(A)、(B)、(D),选(C). 例 5 若 log2a

1 ? a2 <0,则 a 的取值范围是( 1? a

).

(A) ? , ? ? ?

?1 ?2

? ?

(B)(1,+∞)

(C) ? , 1?

?1 ? ?2 ?

(D) ? 0, ?

? ?

1? 2?

?0 ? 2a ? 1, ?2a ? 1, ? ? 解析:由“异区间为负”可得: ?1 ? a 2 ,或 ? . 1 ? a2 ?1 0? ?1 ? ? 1? a ? 1? a ?
解得

1 <a<1,故选(C). 2

4


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