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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(56)

时间:2013-10-23


加试模拟训练题(56)
1.M 是△ABC 边 AB 上的任意一点.r1,r2,r 分别是△AMC,△BMC,△ABC 内切圆的半径, q1,q2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明:

r1 r r · 2 = . q1 q2 q

C' O A ' .. E D
. B '

O'

2. 设 ai≥0(i=1,2,…,n),a=min{a1,a2,…,an},试证

式中 an+1=a1.

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3. 数 1,2,…,n 以任意方式写在圆周上,每次允许调换相邻两数的位置,如果它们差的绝对值大于 1 的话.证明:经有限次的调换后,所有的数可按自然数列的顺序排列.

4.设 a, b, c ? Z 使得 a ? b ? c | a2 ? b2 ? c2 ,证明:存在无穷多个正整数 n,使得
a ? b ? c | a n ? bn ? c n

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加试模拟训练题(56)
1.M 是△ABC 边 AB 上的任意一点.r1,r2,r 分别是△AMC,△BMC,△ABC 内切圆的半径, q1,q2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明: (IMO-12) 分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知 A' OD=OA′· sin 2 B' sin A' 2 =A′B′· · sin 2 sin ?A' O' B' A' B' sin ? sin 2 2 , =A′B′· A'? B' sin 2 A' B' cos cos 2 2 .∴ OD ? tg A' tg B ' . O′E= A′B′· A'? B' O' E 2 2 sin 2 亦即有

r1 r r · 2 = . q1 q2 q
C' O A ' .. E D
. B '

O'

r1 r A ?CMA ?CNB B A B r tg tg = tg tg = . · 2 = tg tg 2 2 2 2 2 2 q q1 q2

2. 设 ai≥0(i=1,2,…,n),a=min{a1,a2,…,an},试证

式中 an+1=a1.【题说】1992 年第七届数学冬令营题 2.

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3. 数 1,2,…,n 以任意方式写在圆周上,每次允许调换相邻两数的位置,如果它们差的绝对值大于 1 的话.证明:经有限次的调换后,所有的数可按自然数列的顺序排列. 【题说】第十五届(1989 年)全俄数学奥林匹克十年级题 2. 【证】首先将数 1 与其相邻的数调换位置,沿同一方向直至与 2 相邻;然后 1、2 两数沿前述方向向 3 靠 拢(先调换 2,然后调换 1);继而 1、2、3 三数向 4 靠拢,等等.这样便能将写出的数(沿顺时针或反时针 方向)调整成按自然数列的顺序排列. 4.设 a, b, c ? Z 使得 a ? b ? c | a2 ? b2 ? c2 ,证明:存在无穷多个正整数 n,使得
a ? b ? c | a n ? bn ? c n

证明

设 am ? bm ? cm ? Sm (m ? N? ) .可知数列 Sm 满足递推公式
Sm?3 ? (a ? b ? c)Sm? 2 ? (ab ? bc ? ca)Sm?1 ? abcSm . (牛顿幂和公式)



由于 a ? b ? c | a2 ? b2 ? c2 , (a ? b ? c)2 ? (a2 ? b2 ? c2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) ,可以得到
a ? b ? c | 2(ab ? bc ? ca) .



下面证明:若 a ? b ? c | Sm ,则 a ? b ? c | Sm ?3 . (1) a ? b ? c 为奇数,由②得 a ? b ? c | ab ? bc ? ca .又因为 a ? b ? c | Sm ,所以
a ? b ? c | [(a ? b ? c)Sm? 2 ? (ab ? bc ? ca)Sm?1 ? abcSm ] ,

即 a ? b ? c | Sm ? 3 . (2)a ? b ? c 为偶数, 因为 a 和 a m ?1 , 和 b m ?1 , 和 c m ?1 奇偶性相同, b c 所以 a ? b ? c 和 a m?1 ? bm?1 ? c m?1 奇偶性相同, S m ?1 也是偶数,结合②,有 a ? b ? c | (ab ? bc ? ca)Sm?1 ,又因为 a ? b ? c | Sm ,所以
a ? b ? c | [(a ? b ? c)Sm? 2 ? (ab ? bc ? ca)Sm?1 ? abcSm ] ,

即 a ? b ? c | Sm ? 3 . 因为 S1 能被 a ? b ? c 整除,所以 S4 , S7 , S10 ? 也能被 a ? b ? c 整除,符合要求的 n 有无穷多个.

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