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2013版高中全程复习方略配套课件:2.1函数及其表示(人教A版·数学理)浙江专用


第一节 函数及其表示

三年9考

高考指数:★★★

1.了解函数、映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法. 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.

1.函数的概念、定义域及其表示(特别是分段函数)是近几年 高考命题的热点. 2.常和对

数、指数函数的性质等相结合考查,有时也会命制新 定义问题. 3.题型主要以选择、填空题为主,属中低档题.

1.函数与映射的概念

函数
数集 建立在两个非空_____A到 确定 B上的一种_____的对应关 系f,其要求:集合A中的 数x 任意 _____一个_____,在集合 唯一确定 B中都有_________的数 f(x) ____和它对应 y=f(x),x∈A

映射 集合 建立在两个非空_____A到 确定 B上的一种_____的对应关 系f,其要求:集合A中的 元素x 任意 _____一个______,在集 唯一确定 合B中都有_________的 元素y ______与之对应
f:A→B

定 义

记 法

【即时应用】

(1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填
“是”或“否”)

①A=R,B={x|x>0},f:x→|x|;
②A=R,B=R,f:x→x2; ③A=Z,B=R,f:x→ x; ④A=Z,B=Z,f:x→x2-3.

(
( ( (

)
) ) )

(2)设A={0,1,2,4},B={

1 ,0,1,2,6,8},判断下列对应关系是 2

否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”) ①f:x→x3-1 ②f:x→(x-1)2 ③f:x→2x-1 ④f:x→2x ( ( ( ( ) ) ) )

【解析】(1)①否,因为A中的元素0在B中没有对应元素; ③否,因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素; ②④是,满足函数的定义,是从A到B的函数. (2)①不是,当A中的x=0,2,4时在B中没有对应元素;

②不是,当A中的x=4时在B中没有对应元素;
③是,满足映射的定义,是从A到B的映射;

④不是,当A中的x=2时在B中没有对应元素.
答案:(1)①否 (2)①否 ②否 ②是 ③是 ③否 ④否 ④是

2.函数的构成要素 对应关系 定义域 值域 函数由_______、_____、_________三个要素构成,对函数 y=f(x),x∈A,其中, 取值范围A (1)定义域:自变量x的___________. {f(x)|x∈A} (2)值域:函数值的集合____________.

【即时应用】 (1)判断下列各组函数中,是否是同一函数.(请在括号中填 “是”或“否”) ①f(x)=x与g(x)= ( x )2 ②f(x)=|x|与 g(x) ? 3 x 3
?x 2 x?0 ? ③f(x)=x|x|与 g(x) ? ? 2 x?0 ?? x ? 2 ④ f ? x ? ? x ? 1 与g(t)=t+1(t≠1) x ?1

( (

) )

(
(

)
)

(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为______. (3)设集合A={x| y ? x ? 2 },集合B={y|y=x2,x∈R}, 则A∩B=______.

【解析】(1)①否,函数f(x)与g(x)的定义域不同; ②否,函数f(x)与g(x)的对应关系不同; ③否,函数f(x)与g(x)的定义域不同;
x2 ?1 ④是,函数 f ? x ? ? ? x ? 1(x ? 1) x ?1

与g(t)=t+1(t≠1)是同一函数. (2)当x取0,1,2,3时,对应的函数y的值依次为0,-1,0,3,

所以其值域为{-1,0,3}.
(3)已知A={x|x-2≥0}={x|x≥2},B={y|y≥0},

?A∩B={x|x≥2}.

答案:(1)①否 ②否 (2){-1,0,3}

③否

④是

(3){x|x≥2}

3.函数的表示方法 列表法 图象法 解析法 表示函数的常用方法有:_______,_______和_______.

【即时应用】 (1)下列四个图象是函数 f ? x ? ? x ? x 的图象的是______.
x

(2)若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x, 则f(x)的解析式为______.

【解析】(1)Q f ? x ? ? ? ?

x ? 1, x>0 ,?①正确. ? x ? 1, x<0

(2)方法一:令 t ? x ? 1, 则x=(t-1)2,t≥1,代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,

?f(x)=x2-1(x≥1).
方法二: x ? 2 x ? ( x ? 1)2 ? 1, Q
2 ? f( x ? 1) ? x ? 1)? 1. (

又 x ? 1 ? 1, ?f(x)=x2-1(x≥1). 答案:(1)① (2)f(x)=x2-1(x≥1)

4.分段函数 对应关系 若函数在其定义域的不同子集上,因_________不同而分别用 几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

【即时应用】
(1)已知函数 f ? x ? ? ?x ? 1, x ? 1 ,则 f (f ( 5 )) =______. ?
?? x ? 3, x>1
2

?? x ? 2, x ? ?1 (2)设 f ? x ? ? ? x 2 , ?1<x<2 , 若f(x)=3,则x=______. ? ?2x, x ? 2 ?

2 5 1 1 ? f (f ( )) ? f ( ) ? ? 1 ? 2 2 2

【解析】(1) Q f ( 5 ) ? ? 5 ? 3 ? 1 ,
2 3 . 2 2

(2)当x≤-1时,-x+2=3,得x=-1,符合要求;
当-1<x<2时,x2=3,得 x ? ? 3, 只有 3 符合要求; 当x≥2时,2x=3,得 x ? 3 , 不符合要求.
2

综上可知,x=-1或 3. 答案:(1)3
2

(2)-1或 3

求简单函数的定义域、值域

【方法点睛】
1.简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 (组)求解.

(3)对抽象函数 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x)) 的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域
为g(x)在x∈[a,b]时的值域. 2.求简单函数值域的方法 (1)观察法;(2)图象观察法;(3)单调性法;(4)分离 常数法;(5)均值不等式法;(6)换元法.

lg(x 2 ? 2x) 的 【例1】(1)(2012·嘉兴模拟)求函数 f(x) ? 9 ? x2

定义域;

(2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(x)的定义域;
(3)求下列函数的值域. ①y=x2+2x,x∈[0,3],②y=log3x+logx3-1,
③y ? 2
x 2 ?1

.

【解题指南】(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等
式组求解即可; (2)要明确2x与f(x)中x的含义,从而构建不等式求解; (3)根据解析式的特点,分别选用①图象观察法;②均值不 等式法;③单调性法求值域.

? x 2 ? 2x>0 【规范解答】(1)要使该函数有意义,需要 ? , ? 2 ?9 ? x >0 ? 则有:? x<0或x>2, ? ??3<x<3

解得:-3<x<0或2<x<3,

所以所求函数的定义域为 (-3,0)∪(2,3).

(2)≧f(2x)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,
1 ? ? 2x ? 2, 2

故f(x)的定义域为[ 1 , 2 ].
2

(3)①y=(x+1)2-1在[0,3]上的图象如图所示,

由图象知:0≤y≤32+2×3=15, 所以函数y=x2+2x,x∈[0,3]的值域为[0,15]. ② Q y ? log 3 x ? 1 ? 1 ,定义域为(0,1)∪(1,+≦),
log 3 x

当0<x<1时,y ? ?2 (?log3 x) ? (? 当x>1时,
y ? 2 log 3 x ? 1 ? 1 ? 1, log3 x

1 ) ? 1 ? ?3, log3 x

综上可知,其值域为(-≦,-3]∪[1,+≦).

③因为x2-1≥-1,又y=2x在R上为增函数,
? y ? 2x ?1≥2-1= 1 .
2

2

故值域为[ 1 ,+≦).
2

【反思·感悟】1.由解析式求函数的定义域,其实质就是以函 数解析式有意义为准则,列出不等式(组),从而求解. 2.f(g(x))的定义域为[a,b],指的是x的取值范围是[a,b], 而不是g(x)的取值范围是[a,b]. 3.求函数的值域时,若能画出图象,则用图象观察法求解;若

能判断单调性则用单调性法求解;若能满足用基本不等式的条
件,则用基本不等式求解.

分段函数及其应用
【方法点睛】 确定与应用分段函数的一般步骤 首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入 计算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不 确定时,要分类讨论. 【提醒】分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

【例2】(1)(2012·北京模拟)已知函数 f ? x ? ? ? ? 则f(x)-f(-x)>-1的解集为( (A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)[ ?1, ?
1 )∪(0,1] 2

? x ? 1(?1 ? x<0)

)

?? x ? 1? 0<x ? 1?



(C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)[ ?1, ? 1 ]∪(0,1)
2

(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部

分组成,求函数的解析式.

【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解,再求其并集. (2)已知图象形状,求解析式,可用待定系数法.

【规范解答】(1)选B.①当-1≤x<0时,0<-x≤1,此时

f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,
?f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1, 得 x< ? 1 , ?1 ? x< ? 1 . 则
2 2

②当0<x≤1时,-1≤-x<0,此时,

f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1,
?f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1, 解得 x< . 则0<x≤1. 故所求不等式的解集为 [?1, ? 1 ) U (0,1].
2 3 2

(2)根据图象,设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b (x≤1). ≧点(1,1),(0,2)在射线上,
?k ? ?1 ?k ? b ? 1 . ?? , 解得 ? ?b ? 2 ?b ? 2

?左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1);

同理,x≥3时,函数的解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a

<0),
≧点(1,1)在抛物线上,?a+2=1,a=-1,

?1≤x≤3时,函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
?? x ? 2, x ? 1 综上,函数的解析式为 y ? ?? x 2 ? 4x ? 2,1 ? x ? 3. ? ? x ? 2, x ? 3 ?

【反思·感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域

是各段值域的并集,最大(小)值是各段最大(小)值中最大
(小)的值.

求函数值 【方法点睛】 求函数值的类型及解法

(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则;
(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时 要分类讨论;

(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数 求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解; (4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数 关系,适当赋值,从而求得待求函数值.

【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函 数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求 f (f ( 5 )) 的值.
2

【解题指南】求解该题,需知道f(x),f(x+1)满足的关系式, 将f(x+1)用f(x)表示,然后再给x赋值,先求出f ( 5 ),
2

再求 f (f ( 5 )) 的值.
2

【规范解答】若x≠0,则有 f ? x ? 1? ? 1 ? x f ? x ?, x ? ? 1 , 取
1 则有 f ( 1 ) ? f (? 1 ? 1) ? 2 gf (? 1 ) 1 2 2 2 ? 1 1 2 ? ?f (? ) ? ?f ( ). 2 2 (≧f(x)是偶函数, f (? 1 ) ? f ( 1 )). 由此得 f ( 1 ) ? 0, ? 2 2 2 3 1? 于是, ( 5 ) ? f ( 3 ? 1) ? 2 f ( 3 ) ? 5 f ( 3 ) f 3 2 2 2 3 2 2 1 1? 5 1 5 1 1 ? f ( ? 1) ? ( 2 )f ( ) ? 5f ( ) ? 0, 3 2 3 1 2 2 2 1?
x 2

若x=0,则0×f(0+1)=(1+0)f(0),有f(0)=0,
5 ? f (f ( )) ? f ? 0 ? ? 0. 2

【反思·感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质,但又不

知道函数解析式的求值问题,求解时应根据该抽象的函数关系
的结构特征,结合待求值的特点,给变量赋予特殊值,从而使 问题具体化、简单化,达到求出函数值的目的.

【创新探究】与函数有关的新定义问题
【典例】(2011·广东高考)设f(x),g(x),h(x)是R上的任意 实值函数,如下定义两个函数(f o g)(x)和(f·g)(x);对任意 x∈R,(f o g)(x)=f(g(x));(f·g)(x)=f(x)g(x).则下列等式 恒成立的是( )

(A)((f o g)·h)(x)=((f·h) o (g·h))(x) (B)((f·g) o h)(x)=((f o h)·(g o h))(x) (C)((f o g) o h)(x)=((f o h) o (g o h))(x) (D)((f·g)·h)(x)=((f·h)·(g·h))(x)

【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪,从而作出判
断.

【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表, 选项 分析 ((f o g)·h)(x)= (f o g)(x)h(x) =f(g(x))h(x); ((f·h) o (g·h))(x) =(f·h)((g·h)(x)) =(f·h)(g(x)h(x)) =f(g(x)h(x))h(g(x)h(x)); 结论

A

等式不恒成立

B

((f·g) o h)(x)=(f·g)(h(x)) =f(h(x))g(h(x)); o o ((f o h)·(g oh))(x) =(f h)(x)(g h)(x) =f(h(x))g(h(x));

等式恒成立

C

((f o g) o h)(x)=(f o g)(h(x)) =f(g(h(x))); ((f o h) o (g o h))(x) =(f o h)((g o h)(x)) =(f o h)(g(h(x))) =f(h(g(h(x)))); ((f·g)·h)(x)=(f·g)(x)h (x) =f(x)g(x)h(x); ((f·h)·(g·h))(x) =(f·h)(x)(g·h)(x) =f(x)h(x)g(x)h(x).

等式不恒成立

D

等式不恒成立

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创 新点拨和备考建议: 本题有以下创新点:

创 新 点 拨

(1)本题为新定义问题,命题背景、题目设置新颖. (2)考查内容创新:本题是将新定义的两个函数用于 辨别与之有关的等式是否恒成立问题,主要考查对 新定义抽象函数的理解,需要考生有较强的理解能 力、推理论证能力和抽象概括能力.

对于这类与函数有关的新定义、新运算试题,我们 在2013年备考中,要高度关注以下几点:

备 考 建 议

(1)熟练掌握函数有关的概念、运算; (2)强化对该类试题的训练,能正确理解所给的新 定义、新运算,会类比函数有关的定义、运算熟练

求解;
(3)平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应 用能力及转化与化归的能力.

1.(2011·江西高考)若 f ? x ? ?

1 log 1 ? 2x ? 1?
2

,

则f(x)的定义域为(
(A)( ? 1 ,0)
2 (C)( ? 1 ,+∞) 2

)

(B)( ? 1 ,0]
2

(D)(0,+∞)

?2x ? 1 ? 0 【解析】选A.由题意得: ? 得 ? 1 ? x ? 0. ?log 1 ? 2x ? 1? ? 0 2 ? 2 ?

2.(2011·北京高考)根据统计,一名工人组装第x件某产品所
? ? 用的时间(单位:分钟)为 f ? x ? ? ? ? ? ? ? c ,x ? A x c ,x ? A A

(A,c为常数),

已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分
钟,那么c和A的值分别是( )

(A)75,25
(C)60,25

(B)75,16
(D)60,16

c ? f ? 4 ? ? ? 30 ? 2 ? 【解析】选D.当A>4时, , ? c ?f ? A ? ? ? 15 ? 解得c=60,A=16; A ?
? ?f ? 4 ? ? 当A≤4时,? ? ?f ? A ? ? ? ? c ? 30 A , 无解. c ? 15 A

3.(2011·江苏高考)已知实数a≠0,函数 f ? x ? ? ?2x ? a, x<1 , ? 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为______.
?? x ? 2a, x ? 1

【解析】当a>0时,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)可得 2-2a+a=-1-a-2a,解得 a ? ? 3 ,不合题意;
2

当a<0时,1-a>1,1+a<1,由f(1-a)=f(1+a)可得 -1+a-2a=2+2a+a,解得 a ? ? 3 .
4

答案: 3 ?
4

4.(2011·湖南高考)给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对于
任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.

(1)设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为______;
(2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为 ______.

【解析】(1)本题定义的函数有两个条件,一是定义域和值域 都是正整数,二是对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.那么 n=1时只要满足函数值是正整数即可,所以答案是a(a为正整 数). (2)≧k=4,?n>4的正整数都一一对应,只要对n≤4的进行定义,

又≧f(n)=2或f(n)=3,?f(1)=2或3,f(2)=2或3,f(3)=2或3,
f(4)=2或3,所以f的个数为:2×2×2×2=16. 答案:(1)a(a为正整数) (2)16


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