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数列在日常经济生活中的应用2014年3月(广水市一中数学组 王伟)

时间:2014-10-28


数 列 在日常经济生活中的应用
湖北省广水市一中 高一数学组 王 伟

神奇遗嘱
……1000英磅赠给波士顿的居民,如果他 们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托 付给由选举出来的公民组成的基金会,基 金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些 年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年 增加到131000英磅.我希望,那时候用 100000英磅

来建立一所公共建筑物,剩下 的31000英磅拿去继续生息100年.在第二个 100年末了,这笔款增加到4061000英磅, 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支 富兰克林 配,而其余的3000000英磅让马萨诸州组成 (1706—1790) 同样的基金会来管理.过此之后,我可不敢 多作主张了!” 1061000 31000 4061000 5% 3000000 1000 131000 100000

数列在日常经济生活中的应用
最新农业银行存款利率表 三个月 整存整取 零存整取 半年 一年 二年 三年
年利率(%)

五年

2.60

2.80

3.00 2.60

3.90

4.50 2.80

5.00 3.00

整存零取
存本取息

利率
活期
0.4

2.60
2.60

2.80
2.80

3.00
3.00

其他

一天通知
0.85

七天通知
1.39

利率

你知道银行存款的利息是怎么计算吗?

银行存款计息方式:
?

单利: 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生 的利息不再计算利息. 利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利 息和(以下简称本利和),则有

S=P(1+n?r)

模型1:零存整取模型
问题1: “零存整取”是怎么回事?
规定: 每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存; 到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取. 某人选择存期为1年的“零存整取”需到银行存款几次 12 (次 )

某人选择存期为3年的“零存整取”需到银行存款几次( 36次

)

例1:某人选择存期为1年的“零存整取”,若每月存入金额为 100元,月利率0.3%保持不变,到期能取出多少钱? 第一月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 12=3.6 第二月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 11=3.3 第三月存入的100元到期有多少利息? …… 到期为: 100× 0.3%× 10=3.0

最后一月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 1=0.3

你发现了什么?

你发现了什么?
各月存款所得利息构成一个等差数列 本金共有多少 100 × 12=1200 到期了,你这个人连本带利能取回钱是 100 × 12+(3.6+3.3+3.0+ … +0.3)=1223.4元 问题2: 若每月存入金额为x元,月利率r保持不变, 存期为n个月,你能推导出到期整取是本利和 的公式吗?

若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月, 试 推导出到期整取是本利和的公式: 第一个月存入的x元,到期利息为: 第二个月存入的x元,到期利息为: 第三个月存入的x元,到期利息为: …… x?r?n 元

x?r?(n-1)元 x?r?(n-2)元 ……

第n个月存入的x元,到期利息为: 本金为 n?x 元

x?r?1 元.

S ? n ? x ? x ? r?n ? (n ? 1) ? ? ? 1? n(n ? 1) ? n? x ? x?r ? 2

试解决下列“零存整取”问题(只列式,不计 算) 1.若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月

36(36 ? 1) S ? 36 ? 500 ? 500 ? 0.3% ? 2
2.若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到 第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应 存入的金额是多少?

末整取时的本利和是多少?

12 (12 ? 1) 2000 ? 12 x ? 0.3% ? x ? 2

结论:“零存整取”问题就是等差数列的实际应用

数列在日常经济生活中的应用
最新农业银行存款利率表 三个月 整存整取 零存整取 半年 一年 二年 三年
年利率(%)

五年

2.60

2.80

3.00 2.60

3.90

4.50 2.80

5.00 3.00

整存零取
存本取息

2.60
2.60

2.80
2.80

3.00
3.00

其他

活期
0.4

一天通知
0.85

七天通知
1.39

利率

模型2:定期自动转存模型

问题3: “整存整取”是怎么回事? 存期 1年 2年 年利率% 3.00 3.90 3年 4.50 5年 5.00

1. 现有10万元,如果存一年,有多少钱? 100000 ×(1+3.00%)=103000 2. 10万元钱,如果存两年,又有多少钱? 存期的选择 3. 如果选择存一年期,但到期忘了取出,5年后 才去取,你猜银行会如何处理? 定期自动转存模型: 客户存款到期后,客户如不前往银行办理转存手续, 银行可自动将到期的存款本息按相同存期一并转存 . 自动转存

银行存款计息方式:复利
复利: 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每 一期本金的数额是不同的.
例2 :如果储户存入定期为1年的10万元存款,定期年利率 为3%,连存5年后,试求出储户5年后所得本利和 问: 1年后储户的本利和为多少? 2年后储户的本利和为多少?

S1 ? 100000 (1 ? 3%)

1

S2 ? 100000 (1 ? 3%)(1 ? 3%) ? 100000 (1 ? 3%)2
3年后储户的本利和为多少?

S3 ? 100000 (1 ? 3%)3
S5 ? 100000 (1 ? 3%)5

5年后储户的本利和为多少?

问题3:如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连 存n年后,你能求出储户n年后所得本利和的公式吗? 1年后储户的本利和为多少? 2年后储户的本利和为多少? 3年后储户的本利和为多少? …… n年后储户的本利和为多少? 你们看出了什么?

S1 ? P(1 ? r ) 2 S2 ? P(1 ? r )
S3 ? P(1 ? r )
……

1

3

Sn ? P(1 ? r )n

自动转存是等比数列的应用

以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代 表本金和利息和,复利的计算公式是

S ? P(1 ? r )

n

神奇遗嘱
……1000英磅赠给波士顿的居民,如果他 们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托 付给由选举出来的公民组成的基金会,基 金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些 年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年 增加到131000英磅.我希望,那时候用 100000英磅来建立一所公共建筑物,剩下 的31000英磅拿去继续生息100年.在第二个 100年末了,这笔款增加到4061000英磅, 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支 富兰克林 配,而其余的3000000英磅让马萨诸州组成 (1706—1790) 同样的基金会来管理.过此之后,我可不敢 多作主张了!” 1061000 31000 4061000 5% 3000000 1000 131000 100000

模型3:分期付款模型
分期付款的有关规定
?

1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付 款的时间间隔相同.

?

2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即 上月(年)的利息要计入本金.
3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的 利息和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利 息和,这在市场经济中是相对公平的.

?

分期付款
例3:小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采 用分期付款的方式,并在一年内将款全部付清.商 场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再 过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款, 每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息 按复利计算.求小华每期付的金额是多少? 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.

各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和,等于 商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。

第一步:在商品购买后 1年货款全部付清时,其商品售 价增值到了多少?
由于月利率为0.008,在购买商品后1个月, 该商品售价增值为: 5000(1+0.008)=5000?1.008 (元) 又利息按复利计算,在商品购买后2个月,

商品售价增值为: 5000?1.008?(1+1.008)=5000?1.0082(元) …… 于是,在商品购买后12个月(即货款全部付清时), 商品售价增值为: 5000?1.00811?(1+1.008)=5000?1.00812(元)

第二步: 货款全部付清时,各期所付款额的增值情
况如何? (假定每期付款 x元) 第 6 期付款 x元后,款已全部还清,故这一期所付款没有 利息; 第 5 期付款 x元后,此款只有 2个月的利息, 到款全部付清 时连同利息之和为:1.008x(1+0.008) =1.0082x(元) 类似可以推得,笫 4. 3. 2. 1 期所付的款额到货款全部 付清时的本息和依次为:

1.0084x 元

1.0086x 元

1.0088x 元

1.00810x 元

所以,6期总共所付的款额的本息之和为:

x+1.0082x+ 1.0084x+? + 1.00810x 即:x(1+1.0082+ 1.0084+? + 1.00810)

于是:

10 12 x(1 ? 1.0082 ? 1.0084 ? ?? 1.008 ) ? 5000?1.008

根据等比数列求和公式,得
1? 1.008
2 6 2

? ? 12 x ? 1?1.008 ? 5000?1.008
5000?1.00812 ? 1.008 2 ?1 1.008 ?1
12

x?

?

? ? 880 .8

算得 x?880.8 元
880.8?6=5 285 (元) 它比一次性付款多付285元。

即每次所付款额为880.8元,因此6次所付款额共为:

思考交流
商场出售电脑,提出了如下的3种付款方式,以供顾客 选择.请分别算出各种付款方式每次应付款金额.
方案 类别 分几次 付清 付款方法 购买后4个月第1次付款,再过4个月第2 次付款,再过4个月第3次付款

1 2
3

3次 6次
12次

购买后2个月第1次付款,再过2个月第2 次付款, ……,再过12个月第6次付款 购买后1个月第1次付款,再过2个月第2 次付款, ……,再过12个月第12次付款