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广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学(文科)

时间:2015-04-15


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广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), L , ( xn , yn ) 的回归方程为: y ? bx ? a
?

其中 b ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, x?

x1 ? x2 ? ??? ? xn y ? y2 ? ??? ? yn ,y ? 1 n n



a ? y ? bx . b 是回归方程得斜率, a 是截距.
棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z1 , z2 在复平面内对应的点分别为 A(0,1), B( ?1,3) ,则 A. ?1 ? 3i B. ?3 ? i C. 3 ? i

z2 ? z1
D. 3 ? i

2.已知集合 A ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)} ,集合 B ? { y | y ? ( ) x , x ? 0} ,则 A I B = A. (1, ??) B. (?1,1) C. (0, ??) D. (0,1)

1 2

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为. A.15 B.20 C25. D.30 uuu r uuu r uuu r 4.在四边形 ABCD 中,“ AB ? DC ,且 AC ? BD ? 0 ”是“四边形 ABCD 是菱形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n

,则 a2 ? a18 =

A.36 B.35 C.34 6.下列函数在其定义域内,既是奇函数又存在零点的是: A. f ( x) ? e ? 1
x

D.33
?1

B. f ( x ) ? x ? x

?1

C. f ( x) ? x ? x

D. f ( x) ? ? | sin x |
开始

7.已知 ?、 ? 是两不同的平面,m、n 是两不同直线,下列命题中不正确 的是: ... A.若 m∥n,m⊥ ? ,则 n⊥ ? C.若 m⊥ ? ,m⊥ ? ,则 ? ∥ ? B.若 m∥ ? , ? ∩ ? = n,则 m∥n D.若 m⊥ ? ,m∥ ? ,则 ? ⊥ ?

任意输入x(0≤x≤1)

8.在图(1)的程序框图中,任意输入一次 x(0 ? x ? 1) 与 y (0 ? y ? 1) , 则能输出数对 ( x, y ) 的概率为 A.

任意输入y(0≤y≤1) 1 y≥x+ ? 2 是 输出数对(x,y) 结束 否

图(1)

1 8
2

B.

3 8

C.

7 8

D.

1 4

9.已知抛物线 C: x ? 4 y 的焦点为 F ,直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与 C 交于 A,B 两点.则 cos ?AFB 的值为 A.

4 5
2

B. 学科网

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

10.设 f ( x) ? x ? bx ? c ,若方程 f ( x) ? x 无实数根,则方程 f ( f ( x)) ? x A.有四个相异的实根 B. 有两个相异的实根 C.有一个实根 D.无实根 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.计算: log 1 sin15o ? log 1 cos15o =
2 2



12.给出下列等式: 2 ? 2 cos

?
4

, 2 ? 2 ? 2 cos

?
8

, 2 ? 2 ? 2 ? 2 cos

?
16

,??

请从中归纳出第 n 个等式: 2 ? ... ? 2 ? 2 =

1444444 42 4444444 3
n个 2



13.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 400 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时 间为

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用 4

之和最小,每批应生产产品 件. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

? 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 : ? ? 2 和曲线 C2 : ? cos(? ? ) ? 2 ,则 C1 上到 4

C2 的距离等于 2 的点的个数为



15.(几何证明选讲选做题)如图(2)所示,AB 是⊙O 的直径,过

A
O

B C E 图(2)

F D

圆上一点 E 作切线 ED⊥AF,交 AF 的延长线于点 D,交 AB 的延长 线于点 C.若 CB=2,CE=4,则⊙O 的半径长为 ;AD 的长 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos B 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

a c . ? sin A 3 cos C

17. (本小题满分 12 分) 一般来说,一个人脚 21 22 23 24 25 26 脚掌长(x) 20 掌越长,他的身高就越高. 141 146 154 160 169 176 181 身高(y) 现对 10 名成年人的脚掌 长 x 与身高 y 进行测量,得到数据(单位均为 cm )作为一个样本如上表示.
?

27 188

28 197

29 203

(1)在上表数据中,以“脚掌长”为横坐标,“身高”为纵坐标,作出散点图后,发现散点 在一条直线附近,试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程 y ? bx ? a ; (2)若某人的脚掌长为 26.5cm ,试估计此人的身高; (3)在样本中,从身高 180cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人作进一步的分析,求所抽取的 2 人中至少有 1 人身高在 190cm 以上的概率. (参考数据:

? ( x ? x)( y ? y) ? 577.5 , ? ( x ? x)
i ?1 i i i ?1 i

10

10

2

? 82.5 )

18. (本小题满分 14 分) 设 {a n } 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 ,

?bn ? 是 等 差 数 列 , 且

a1 ? b1 ? 1, ,

a3 ? b5 ? 13, a5 ? b3 ? 21.
(1)求数列 {a n } , ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {S n ? bn } 的前 n 项和 Tn .

19.(本小题满分 14 分)
D 如图(3),在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高, AE ? BF ? 2 , AB ? 2 2 ,现将
D C

C

梯形沿 CB、DA 折起,使 EF//AB 且 EF ? 2 AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如图(4)示,已知
N

M , N , P 分别为 AF , BD, EF 的中点.

F

B

A

E

B

A M P E

(1)求证: MN // 平面 BCF ; (2)求证: AP ? 平面 DAE ; (3)若 AD ? 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积. 20.(本小题满分 14 分)

F

图(3) 图(4)
y

x2 2 如图(5),设点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 2 ? y ? 1(a ? 1) a uuu r uuu r 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF1 ? PF2 最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; o F1
(2)设直线 l1 : y ? kx ? m, l2 : y ? kx ? n ,若 l1 、 l2 均与椭圆

x F2

C 相切,证明: m ? n ? 0 ;

图(5)

(3)在(2)的条件下,试探究在 x 轴上是否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1?若 存在,请求出点 B 坐标;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ,函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平 行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系;
2

(2)若 a ? 0 ,试讨论函数 g ( x) 的单调性; (3)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,( x1 ? x2 ) 证明:

1 1 ?k? . x2 x1

广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟 数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题:CDBCC CBADD 解析:

1 8.结合右图易得所求概率为 ,选 A. 8

1
y

y=x+

2
y=1

? x2 ? 4 y 9.联立 ? ,消去 y 得 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 4 . ?x ? 2 y ? 4 ? 0
0

x 3 x=1

不妨设 A 在 y 轴左侧,于是 A,B 的坐标分别为(-2,1),(4,4), 解法 1:由抛物线的定义可得: | AF |? 1 ? ( ?1) ? 2, | BF |? 4 ? ( ?1) ? 5 ,

| AB |? 36 ? 9 ? 3 5 ,由余弦定理 cos ?AFB ?

AF 2 ? BF 2 ? AB 2 4 ? ? .故选 D. 2 AF ? BF 5

解法 2:由抛物线的定义可得: | AF |? 1 ? ( ?1) ? 2, | BF |? 4 ? ( ?1) ? 5 , 可求 AB ? 3 5, AF ? 5, BF ? 2 ,∵ FA ? (?2, 0), FB ? (4,3) ∴ FA ? FB ?| FA | ?| FB | cos ?AFB ? ?8 ,∴ cos ?AFB ?
2

uur

uur

uur uur

uur uuu r

?8 4 ?? 2? 2?5 5

10.因抛物线 f ( x) ? x ? bx ? c 开口向上,由方程 f ( x) ? x 无实数根知,对任意的 x ? R ,

f ( x) ? x ? f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ,所以方程 f ( f ( x)) ? x 没有实根,故选 D.
二.填空题: 11.2;12. 2 cos 解析:

?
2
n ?1

;13.40;14.2;15.3 (2 分);

24 (3 分). 5

x ? x ?1 ? 400 x 400 ? ? ? 20 , 13.设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y,则 y ? 4 x 4 x

当且仅当

x 400 ,即 x ? 40 时“=”成立, 故每批应生产产品 40 件. ? 4 x
y

? 14.将方程 ? ? 2 与 ? cos(? ? ) ? 2 化为直角坐标方程得 4

y=x-2 x o 的圆, C2 为直线,因圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 2 ,故满足条件的点的个数 n ? 2.
15.设 r 是⊙O 的半径.由 CE 2 ? CA ? CB ,解得 r=3.由 三.解答题: 16.解:(1)由条件结合正弦定理得,

x 2 ? y 2 ? 22 与 x ? y ? 2 ? 0 ,知 C1 为圆心在坐标原点,半径为 2

CO OE 24 解得 AD ? . ? CA AD 5

a c c ----2 分 ? ? sin A 3 cos C sin C

从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 ,-----------------------------------------------4 分 ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?

?
3

;--------------------------------------------------------------6 分

2? ? A -------------------------------------------------------------7 分 3 2? ∴ 3 sin A ? cos B ? 3 sin A ? cos( ? A) 3 2? 2? ? 3 sin A ? cos cos A ? sin sin A ------9 分 3 3

?
∵0 ? A ? 当 A?

3 1 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) --------------10 分 2 2 6

?
6

2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? 3 6 6 6

?

?

此时 A ?

?
3

2

时, 3 sin A ? sin( B ?

?
2

) 取得最大值,------------------------------11 分

,B ?

?
3

.-----------------------------------------------------------------------12 分 ,

17.解:(1)记样本中 10 人的“脚掌长”为 xi (i ? 1, 2, L 10) ,“身高”为 yi (i ? 1, 2, L 10)

则b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

577.5 ? 7 ,------------------------------------------1 分 82.5

∵x?

x1 ? x2 ? ... ? x10 y ? y2 ? ... ? y10 ? 24.5 , y ? 1 ? 171.5 -----------------3 分 10 10

∴ a ? y ? bx ? 0 -----------------------------------------------------------------------------4 分

∴ y ? 7 x ---------------------------------------------------------5 分 (2)由(20)知 y ? 7 x ,当 x ? 26.5 时, y ? 7 ? 26.5 ? 185.5(cm) ,--------6 分 故估计此人的身高为 185.5cm 。------------------------------------------------------7 分 (3)将身高为 181、188、197、203(cm)的 4 人分别记为 A、B、C、D,--------8 分 记“从身高 180cm 以上 4 人中随机抽取 2 人,所抽的 2 人中至少有 1 个身高在 190cm 以上” 为事件 A, 则基本事件有:(AB)、(AC)、(AD)、(BC)、(BD)、(CD),总数 6,--------------------10 分 A 包含的基本事件有:(AC)、(AD)、(BC)、(BD)、(CD),个数 5, 所 以 P ( A) ?
? ?

?

5 .----------------------------------------------------------------------------------------------12 分 6

18.解:(1)设数列 {a n } 的公比为 q (q ? 0), 数列 ?bn ? 的公差为 d , 依题意得: ?
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21L L (1') ----------2 分 2 1 ? 4 d ? q ? 13 L L (2 ') ? ?

(1') ? 2 ? (2 ') 得 2q 4 ? q 2 ? 28 ? 0 ? (q 2 ? 4)(2q 2 ? 7) ? 0
∵q ? 0 ∴ q ? 2 ,将 q ? 2 代入 (1') 得 d ? 2 --------------4 分

∴ an ? 2n ?1 , bn ? 2n ? 1. ----------------------------------------------------5 分 (2)由题意得

Tn ? S1b1 ? S 2b2 ? L ? S nbn ? a1b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a1 ? a2 ? a3 )b3 ? L ? (a1 ? a2 ? L ? an )bn
? (21 ? 1)b1 ? (22 ? 1)b2 ? L ? (2n ? 1)bn ? 21 ? b1 ? 2 2 ? b2 ? L ? 2 n ? bn ? (b1 ? b2 ? L ? bn )
令 S ? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? L ? 2n ? bn , -------------------------------------① 则 2 S ? 22 ? b1 ? 23 ? b2 ? L ? 2n ?1 ? bn ------------------------------------② ①-②得: ? S ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 L ? 2 ? 2 ? (2n ? 1) ? 2
1 2 3 n n ?1

,

? S ? 2(1 ? 22 ? 23 ? L ? 2n ) ? (2n ? 1)2 n ?1 ? 2[1 ? 22 (2n ?1 ? 1)] ? (2n ? 1) ? 2n ?1
∴ S ? (2n ? 3) ? 2
n ?1

? 6, -----------------------------------------------------------------------13 分
n(1 ? 2n ? 1) ? n2 , 2

又 b1 ? b2 ? L ? bn ?

∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2n ?1 ? 6 ? n 2 ----------------------------------------------------------------14 分 19.(1)证明:连结 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, ∴ N 为 AC 中点,--------------------------------------------------------------1 分 在 ?ACF 中, M 为 AF 中点,故 MN // CF --------------------------3 分 ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,? MN // 平面 BCF ;---4 分 (2)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB I AE ? A ∴ AD ? 平面 ABFE ∵ AP ? 平面 ABFE ,∴ AP ? AD ,------------------5 分 ∵ P 为 EF 中点,∴ FP ? AB ? 2 2
F C N B A M P E D

结合 AB // EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 ∴ AP // BF , AP ? BF ? 2 ----------------------------------------------------7 分 而 AE ? 2, PE ? 2 2 ,∴ AP ? AE ? PE
2 2 2

∴ ?EAP ? 90 ,即 AP ? AE -----8 分

又 AD I AE ? A

∴ AP ? 平面 ADE ,----------------------------------9 分

(3)解法一:过 F 点作 FQ ? AB 交 AB 于 Q 点,由(2)知△PAE 为等腰直角三角形, ∴ ?APE ? 45o ,从而 ?FBQ ? ?BFE ? 45 ,------------------------------------------10 分
o

∴ FQ ? BF sin 450 ?

2 ,-------------------------------------------------------------------11 分

又由(2)可知 AD ? FQ,? FQ ? 平面 ABCD,-----------------------------------------12 分 ∴ VF ? ABCD ?

1 1 8 FQ ? S四边形ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ,--------------------------------------14 分 3 3 3

【解法 2:∵三棱锥 F-CBD 与 F-ABD 等底等高,∴ VF ? BCD ? VF ? ABD ,-----------10 分 ∴ VF ? ABCD ? 2VF ? ABD ? 2VD ? ABF ,-----------------------------------------------11 分 由(2)知△PAE 为等腰直角三角形,∴ ?APE ? 45o ,从而 ?FBA ? ?APF ? 135o ------12 分 故 S ?ABF ?

1 1 2 AB ? BF sin ?ABF ? ? 2 2 ? 2 ? ?2 2 2 2

∴ VD ? ABF ? ∴ VF ? ABCD

1 1 4 S ?ABF ? DA ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3 8 ? 2VD ? AEF ? ----------------------------------------------------------------------14 分】 3

20.解:(1)设 P ( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y ) , F2 P ? ( x ? c, y ) -------------1 分

a2 ?1 2 PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ? x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a ? -----------------2 分 2 a uuu r uuu r 由 PF1 ? PF2 最小值为 0 得 1 ? c 2 ? 0 ? c ? 1 ? a 2 ? 2 ,-------------------3 分
∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .---------------------------------------------4 分 2
2 2 2

(2)把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0 ∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m 2 ? 1 ? 2k 2 ------------------------------------------------------------------------------------7 分
同理可得: n 2 ? 1 ? 2k 2 ---------------------------------------------------------------------8 分 ∴ m 2 ? n 2 ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意, ∴ m ? ? n ,即 m ? n ? 0 -------------------------------------------------------------------9 分 (3)设在 x 轴上存在点 B (t , 0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | ? ? 1 ,即 | k 2t 2 ? m 2 |? k 2 ? 1 ,--------------------------------------11 分 2 2 k ?1 k ?1
把 1 ? 2k 2 ? m 2 代入并去绝对值整理,

k 2 (t 2 ? 3) ? 2 或者 k 2 (t 2 ? 1) ? 0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ;----------------------------------------------------------------------13 分 综上所述,满足题意的定点 B 存在,其坐标为 (?1, 0) 或 (1, 0) ---------------------------14 分

1 ? 2ax ? b x 由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 ∴ b ? ?2a ? 1 -------------------------------------------------------------------------3 分 2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) (2)由(1)得 g '( x) ? ----------------------4 分 ? x x ∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) x ?1 ∴当 a ? 0 时, g '( x) ? ? x 由 g '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , 即函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减;-------------------------------------5 分 1 当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? , 2a
21.解:(1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? bx ,则 g '( x) ?
2

1 1 1 1 ,由 g '( x) ? 0 得 ? 1 ,即 a ? 时,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? ? x ?1, 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0, ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;-----------------6 分 2a 2a 1 1 1 1 若 或 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 1 ? x ? , ? 1 ,即 0 ? a ? 时,由 g '( x) ? 0 得 x ? 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 单调递减;------------7 分 2a 2a 1 1 若 ? 1 ,即 a ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 , 2a 2 即函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,------------------------------------------------------------8 分 综上得:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 1 1 1 当 0 ? a ? 时, 函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增, 在 (1, ) 单调递减; 在( , ??) 上单调递增; 2 2a 2a 1 当 a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2 1 1 1 当 a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增. 2 2a 2a
若 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 (3)证法一:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 证 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x ? x1 x x ?x 因 x2 ? x1 ? 0 ,即证 2 ? ln 2 ? 2 1 ---------------------------------------------10 分 x2 x1 x1 x 1 令 2 ? t ( t ? 1 ),即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )--------------------------------------11 分 t x1 1 1 1 t ?1 令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t t ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增, 1 ∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )--------------②-----------------------13 分 t
1 t

综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ),即 【证法二:依题意得 k ?

1 1 ? k ? .-----------------------------------14 分 x2 x1

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 ,-------------10 分 x2 ? x1 x2 ? x1 1 令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ? ? k , -------------11 分 x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? ,当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 ,-----------12 分 k k k 1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), -------------13 分 k k

? x1 ?

1 1 1 ? x2 , 即 ? k ? --------------------------------------------------------------------14 分】 k x2 x1 x 1 1 【证法三:令 h( x) ? ln x ? , 则 h?( x) ? ? , -------------10 分 x1 x x1 当 x ? x1 时, h?( x) ? 0, ∴函数 h( x) 在 ( x1 , ??) 单调递减,-------------11 分 x ln x2 ? ln x1 1 ∴当 x2 ? x1 时, h( x2 ) ? h( x1 ) ? ln x2 ? 2 ? ln x1 ? 1 ,即 ? ;--------12 分 x1 x2 ? x1 x1 x 1 ln x2 ? ln x1 同理,令 m( x) ? ln x ? , 可证得 -----------------------------------------14 分】 ? x2 x2 x2 ? x1 y ? y1 ln x2 ? ln x1 1 1 【证法四:依题意得 k ? 2 , ? ?k? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 x1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? ? ? ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? x2 ln x2 ? x2 ln x1 -------------10 分 x2 x2 ? x1 x1 x 令 h( x) ? x ? x1 ln x ? x1 ln x1 ? x1 , 则 h?( x) ? 1 ? 1 , x 当 x ? x1 时, h?( x) ? 0, ∴函数 h( x) 在 ( x1 , ??) 单调递增,
∴当 x2 ? x1 时, h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ,即 x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 -------------------------12 分 令 m( x) ? x ? x2 ln x ? x2 ln x2 ? x2 , 则 m?( x) ? 1 ?

当 x ? x2 时, m?( x) ? 0, ∴函数 m( x) 在 (0, x2 ) 单调递减, ∴当 x1 ? x2 时, m( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,即 x2 ? x1 ? x2 ln x2 ? x2 ln x1 ; 所以命题得证---------------------------------------------------------------------------------------------14 分】

x2 , x

已知函数 f(x)=- x3+

x2-2x(a∈R).

(1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

答案(1) 增区间为(1,2),减区间为(-∞,1)和(2,+∞). (2) (-1,8); (3) (2,+∞). 解析试题分析:(1)当 a=3 时,f(x)=- x3+ x2-2x,得 f′(x)=-x2+3x-2.
因为 f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2), 所以当 1<x<2 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;

当 x<1 或 x>2 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).

(2)方法一:由 f(x)=-

x3+

x2-2x,得 f′(x)=-x2+ax-2.

因为对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立, 即对于任意 x∈[1,+∞)都有-x2+ax-2<2(a-1)成立,即对于任意 x∈[1,+∞)都有 x2-ax +2a>0 成立. 令 h(x)=x2-ax+2a, 要使 h(x)对任意 x∈[1,+∞)都有 h(x)>0 成立,必须满足Δ <0,或 即 a2-8a<0 或 所以实数 a 的取值范围为(-1,8).

方法二:由 f(x)=-

x3+

x2-2x,得 f′(x)=-x2+ax-2.

因为对于任意 x∈[1, +∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立, 即对于任意 x∈[1, +∞)都有 f′(x)max<2(a -1).

因为 f′(x)=- ①当

2+

-2,其图象开口向下,对称轴为 x=

.

<1,即 a<2 时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以 f′(x)max=f′(1)=a-3.

由 a-3<2(a-1),得 a>-1,此时-1<a<2;

②当

≥1, 即 a≥2 时, f′(x)在

上单调递增, 在

上单调递减,

所以 f′(x)max=f′



-2.由

-2<2(a-1),得 0<a<8,此时 2≤a<8.

综上①②可得,实数 a 的取值范围为(-1,8).

(3)设点 P

是函数 y=f(x)图象上的切点,则过点 P 的切线的斜率为 k=f′(t)

=-t2+at-2,所以过点 P 的切线方程为 y+

t3-

t2+2t=(-t2+at-2)(x-t).

因为点

在切线上, 所以-



t3-

t2+2t=(-t2+at-2)(0-t), 即

t3-

at2+

=0.

若过点 同的实数解.

可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线,则方程

t3-

at2+

=0 有三个不

令 g(t)=

t3-

at2+

,则函数 y=g(t)与 t 轴有三个不同的交点.

令 g′(t)=2t2-at=0,解得 t=0 或 t=

因为 g(0)=

,g

=-

a3+

,所以 g

=-

a3+

<0,即 a>2.

所以实数 a 的取值范围为(2,+∞). 考点:导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;二次函数的性质; 点评:我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程,尤其要注意切点这个特殊点,充分利 用切点即在曲线方程上,又在切线方程上,切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求 解。做本题时我们要注意在某点处的切线方程和过某点的切线方程的区别。
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