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吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试数学(理)试题(纯Word版,含答案)

时间:2014-04-03


2014 年长春市高中毕业班第二次调研测试



学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 为 120 分钟,其中第Ⅱ卷 22 题—24 题为选考题,其它题为必考题。考试结束后,将试卷 和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚

,将条形码准确粘贴在条形码区 域内。 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字 体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的,请将正确选填涂在答题卡上). .... 1.设集合 M ? ?x | x ? 2?,集合 N ? ?x | 0 ? x ? 1?,则下列关系中正确的是 A. M ? N ? R C. N ? (?R M ) ? R 2.设 i 是虚数单位,则 1 ? i ? A. 0 A. ? B. 4 B. ? B. M ? (?R N ) ? R D. M ? N ? M

2 等于 i
C. 2 D. 2

3.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1,0) , c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, (b + ?a ) ? c ,则 ? 的值为

1 3 11 C. D. 2 5 3 x ?1 4.已知命题 p :函数 y ? 2 ? a 的图象恒过定点 (1,2) ;命题 q :若函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1对称,则下列命题为真命题的是 A. p ? q B. p ? q C. ?p ? q D. p ? ?q 5. 运行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 254 ,则①应为 A.n≤5 ? B.n≤6 ? C.n≤7 ? D. n≤8 ? 3 11
6.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一 件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样; ②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1 ;
第 5 题图

数学(理) 第 1 页(共 16 页)

③在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? ) (? ? 0) ,若 ? 位于区域 (0,1) 内
2

的概率为 0.4 ,则 ? 位于区域 (0, 2) 内的概率为 0.8 ; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“ X 与 Y 有关系” 的把握越大.其中真命题的序号为 A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
2

7.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是 A.

3 5 5

B.2

C.

11 5

D.3

8.计划将排球、篮球、乒乓球 3 个项目的比赛安排在 4 个不同的体育馆举办,每个项目 的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排 方案共有 A. 60 种 B. 42 种 C. 36 种 D. 24 种 9.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为 A. 2+

1+ 5 ? 2

B. 2+

1+2 5 ? 2 2+ 5 ? 2
第 9 题图

C. 2+ 1+ 5 ?
2 x

?

?

D. 2+

10.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? 2 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为

A B C D 11.已知直线 l 与双曲线 C 交于 A , B 两点( A , B 在同一支上), F1 , F2 为双曲线的两个焦 点,则 F1 , F2 在 A.以 A , B 为焦点的椭圆上或线段 AB 的垂直平分线上 B.以 A , B 为焦点的双曲线上或线段 AB 的垂直平分线上 C.以 AB 为直径的圆上或线段 AB 的垂直平分线上 D.以上说法均不正确 12 . 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (?? , 0) 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f ?( x) , 且 有

? ( x? 2 f ( x )? x f )

2

2 x ,则不等式 ( x ? 2014) f ( x ? 2014) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为

数学(理) 第 2 页(共 16 页)

A. ? ??, ?2012 ?

0? B. ? ?2012,

C. ? ??, ?2016 ?

0? D. ? ?2016,

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、 填空题 (本大题包括 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 把正确答案填在答题卡中的横线上) . 13. 在 △ ABC 中 , 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 若
2 ? 3 s iA n sC in ,则 B = . sin A ? s i2n C? s 2iB n 1 2 14. 设( ? x 2 ) 3 的展开式的常数项为 a , 则直线 y ? ax 与曲线 y ? x 围成图形的面积为 x 15.用一个边长为 4 的正三角形硬纸,沿各边中点连线垂直折

.

起三个小三角形,做成一个蛋托,半径为 1 的鸡蛋(视为 球体)放在其上(如图) ,则鸡蛋中心(球心)与蛋托底 16.已知数列?a n ?中, a1 ? 1 , a2 n ? n ? an , a 2 n ?1 ? a n ? 1 , 面的距离为 .

则 a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a100 = . 三、 解答题 (本大题包括 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) . 17. (本小题满分 12 分)

第 15 题图

2 ? 1 ,函数 f ( x) ? 2 x ? tan 2? ? sin(2? ? ) ,数列 4 ?a n ?的首项 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) . (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n .
18. (本小题满分 12 分) 据 IEC (国际电工委员会) 调查显示, 小型风力发电项目投资较少, 且开发前景广阔, 但受风力自然资源影响, 项目投资存在一定风险.根据测算, 风能风区分类标准如下: 风能分类 平均风速 m/s 一类风区 8.5~10 二类风区 6.5~8.5

已知 ? 为锐角,且 tan? ?

?

假设投资 A 项目的资金为 x ( x ≥0)万元,投资 B 项目资金为 y ( y ≥0)万元, 调研结果是:未来一年内,位于一类风区的 A 项目获利 30% 的可能性为 0.6 ,亏损

20% 的可能性为 0.4 ;位于二类风区的 B 项目获利 35% 的可能性为 0.6 ,亏损10%
的可能性是 0.1 ,不赔不赚的可能性是 0.3 . (1) 记投资 A, B 项目的利润分别为? 和? , 试写出随机变量? 与? 的分布列和期望 E? ,E? ; (2)某公司计划用不超过 100 万元的资金投资于 A,B 项目,且公司要求对 A 项目的投 资不得低于 B 项目,根据(1)的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利 润之和 z ? E? ? E? 的最大值. 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是等腰梯形, 且 AB ∥ CD , O 是 AB 中点, PO ? 平面 ABCD , 数学(理) 第 3 页(共 16 页)
第 19 题图

1 AB ? 4 , M 是 PA 中点. 2 (1)证明:平面 PBC // 平面 ODM ; (2)求平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) PO ? CD ? DA ?
已知椭圆

x2 y 2 2 10 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (1, 0) ,点 H (2, ) 在椭圆上. 2 3 a b
2 2 2

(1)求椭圆的方程; (2)点 M 在圆 x ? y ? b 上,且 M 在第一象限,过 M 作圆

x 2 ? y 2 ? b2 的切线交椭圆于 P , Q 两点,问:△ PF2Q 的
周长是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2) 设 A( x1 , f ( x1 )) ,B( x2 , f ( x2 )) , 且 x1 ? x2 , 证明:
第 20 题 图

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ?( 1 2 ) . x2 ? x1 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做作,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图, AB 是圆 O 的直径, G 是 AB 延长线上的一点, GCD 是圆

O 的割线,过点 G 作 AG 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线

AD 于点 F ,过点 G 作圆 O 的切线,切点为 H .
(1)求证: C , D, E , F 四点共圆; (2)若 GH ? 8, GE ? 4 ,求 EF 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲.

第 22 题图

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半 已知直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 3? 1t ? ? 2
轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)若 P( x, y) 是直线 l 与圆面 ? ≤ 4sin(? ? 设函数 f ( x) ? x ? 2a , a ? R . 数学(理) 第 4 页(共 16 页)

?
6

).

?
6

) 的公共点,求 3 x ? y 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲.

(1)若不等式 f ( x) ? 1 的解集为 ?x | 1 ? x ? 3? ,求 a 的值; (2)若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ? 3 ,求 a 的取值范围 .

2014 年长春市高中毕业班第二次调研测试答案
1. 【答案】 :B 【解析】 : M ? ?x | x ? 2?, ?R N ? ? x | x ? 0 或 x ? 1? ,则 M ? (?R N ) ? R ,故选 B 2. 【答案】 :D 【解析】 : 1? i ? 3. 【答案】 :D 【解析】 :函数 y ? 2 ? a
x ?1

2 = 1 ? i ? 2i ? 1 ? i ? 2 ,故选 D i
的图象可看出先把函数 y ? a 的图象上每一个点的横坐标
x

向左平移一个单位,再将所得图象沿 x 轴作翻折,最后再将所有点的坐标向上平移 2 个 单位得到,而 y ? a 的图象恒过 (0,1) ,所以 y ? 2 ? a
x

x ?1

的图象恒过 (?1,1) ,因此 p 为

假命题;若函数 f ( x ? 1) 为偶函数,即图象关于 y 轴对称, f ( x) 的图象即 f ( x ? 1) 整体 向左平移一个单位得到,所以 f ( x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,因此 q 为假命题;参考 四个选项可知,选 D 4. 【答案】 :A 【解析】 : b ? ?a ? (1,0) ? ? (1, 2) ? (1 ? ?, 2? ) , c ? (3, 4) ,又 (b + ?a ) ? c , ∴ (b + ?a ) ? c = 0 ,即 (1 ? ? , 2? ) ? (3, 4) ? 3 ? 3? ? 8? ? 0 ,解得 ? ? ? 5. 【答案】 :C 【解析】 :由程序框图算法可知, S ? 2 ? 2 ? ? ?? ?2 ,由于输出 S ? 254 ,即
1 2

3 ,故选 A 11

n

2(1 ? 2n ) ? 254 ,解得 n ? 7 ,故①应为“ n ? 7? ” ,故选 C 1? 2
6. 【答案】 :D 【解析】 :①应为系统(等距)抽样;②线性相关系数 r 的绝对值越接近 1,两变量间
2 线性关系越密切;③变量 ? ~ N (1, ? ) , P(0 ? ? ? 2) ? 2P(0 ? ? ? 1) ? 0.8 ;④ 随机

数学(理) 第 5 页(共 16 页)

变量 K 2 的观测值 k 越大,判断“ X 与 Y 有关系”的把握越大.故选 D 7. 【答案】 :B 【解析】 :由题可知 l2 : x ? ?1 是抛物线 y ? 4 x 的准线,设抛物线的焦点 (1, 0) 为 F ,
2

则动点 P 到 l 2 的距离等于 PF , 则动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值, 即焦 点 F 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,所以最小值是 8. 【答案】 :A 【解析】 :若 3 个项目分别安排在不同的场馆,则安排方案共有 A4 ? 24 种;若有两个
3

4?0?6 5

? 2 ,故选 B

项目安排在同一个场馆,另一个安排在其他场馆,则安排方案共有 C3 ? A4 ? 36 种;所以
2 2

在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共有 24 ? 36 ? 60 种.故选 A 9. 【答案】 :A 【解析】 : 由几何体的三视图可知, 该几何体是一个沿旋转轴作截面, 截取的半个圆锥, 底面半径是 1,高是 2,所以母线长为 5 ,所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面 积的一半以及截面三角形的面积的和,即 ? ?

1 2

1 1 1? 5 ? ? 5 ? ? 2 ? 2=2 ? ? ,故选 2 2 2

A
10. 【答案】 :A 【解析】 : f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? 2 ? ( x ? 1) ? 2 ,令 g ( x) ? ( x ? 1) ,h (x )? 2 ,则
2 x 2 x 2 x

f ( x) ? g ( x)? h( x),在同一坐标系下作出两个函数的简图,根据函数图象的变化趋势可
) 区间 以发现 g ( x) 与 h( x ) 共有三个交点,横坐标从小到大依次设为 x1 , x2 , x3 ,在 (??, x1
上有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 ;在区间 ( x1 , x2 ) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 ;在区间

( x2 , x3 ) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 ;在区间 ( x3 , ??) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 .故
选A 11. 【答案】 :B 【解析】 :当直线 l 垂直于实轴时,则易知 F1 , F2 在 AB 的垂直平分线上;当直线 l 不 数学(理) 第 6 页(共 16 页)

垂直于实轴时,不妨设双曲线焦点在 x 轴, F1 , F2 分别为双曲线的左、右焦点,且 A 、 B 都 在 右 支 上 , 由 双 曲 线 定 义 : AF1 ? | AF2 |? 2a , BF1 ? BF2 ? 2a , 则

AF B 2F ? 2 ?
曲线上,故选 B 12.【答案】 :C

A1 F ?

? B AB ,由双曲线定义可知, F1 , F2 在以 A 、 B 为焦点的双 1 F

【 解 析 】: 由 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x , x ? 0 得 : 2 xf ( x) ? x f ?( x) ? x , 即
2 2 3

[ x 2 f ( x)]? ? x3 ? 0 ,令 F (x) ? x 2 f (x ) ,则当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 ,即 F ( x) 在 (??,0)
是 减 函 数 ,

F ( x ? 2014) ? (2014 ? x)2 f ( x ? 2014)

, F (?2) ? 4 f (?2) ,

F (2014 ? x) ? F (?2) ? 0 ,
,即 F ( x) 在 (??,0) 是 减 函 数 , 所 以 由 F (2014 ? x) ? F (?2) 得 , 2 0 1 4 ?x ? ?2

x ? ?2016 ,故选 C ? 13.【答案】 : 6
a 2 ? c2 ? b2 3 ? 【解析】 :由正弦定理, a ? c ? b ? 3ac ,所以 , 2ac 2
2 2 2

即 cos B ?

3 ? ,∴ B ? 2 6

14.【答案】 :

9 2
r r ?3 2 r

【解析】 : Tr ?1 ? C3 x

x ? C3r x3r ?3 ,令 r ? 1 ,∴ a ? 3 ,所以直线为 y ? 3x 与 y ? x 2
2

的 交 点 为 (0, 0) 和 (3,9) , ∴ 直 线 y ? ax 与 曲 线 y ? x 围 成 图 形 的 面 积
3 3 1 S ? ? (3x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x3 ) 0 2 3 3 0

?

9 2

15.【答案】 : 3?

6 3
数学(理) 第 7 页(共 16 页)

【解析】 :由题意可知蛋槽的高为 3 ,且折起三个小三角形顶点构成边长为 1 的等边三 角形 A?B?C? ,所以球心到面 A?B?C? 的距离 d ? 1 ? (

3 2 6 ) ? ,∴鸡蛋中心与蛋巢 3 3

底面的距离为 3 ? 16.【答案】 : 1306

6 3

【解析】 : an ? n ? a2 n , an ? a2 n ?1 ? 1 ,∴ a2 n ?1 ? a2 n ? n ? 1 ,

a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? ?? ?(a98 ? a99 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ?50=1275 a100 ? 50 ? a50 ? 50 ? (25 ? a25 ) ? 25 ? a12 ? 1 ? 26 ? (6 ? a6 ) ? 32 ? (3 ? a3 ) ? 29 ? ( a1 ? 1) ? 31
所以 a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a100 = 1275 ? 31 ? 1306 17【解析】 : (1)由 tan 2? ?

2 tan a 2( 2 ? 1) ? ? ? 1 , ?? 是锐角,? 2? ? 2 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 4

? sin(2? ?

?
4

) ?1

? f ( x) ? 2 x ? 1

(2)? a1 ? 1, a n ?1 ? f (a n ) ,? a n ?1 ? 2a n ? 1

? a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) ,

a n ?1 ? 1 ? 2 (常数) an ? 1

? ?a n ? 1? 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列,? a n ? 2 n ? 1 ,

2(2 n ? 1) ? n ? 2 n ?1 ? 2 ? n ∴ Sn ? 2 ?1
18.【解析】 : (1)A 项目投资利润 ? 的分布列

数学(理) 第 8 页(共 16 页)

?
P

0.3x
0.6

?0.2 x
0.4

E? ? 0.18x ? 0.08x ? 0.1x
B 项目投资利润? 的分布列

?
P

0.35 y

?0.1 y

0

0.6

0.1

0.3

E? ? 0.21y ? 0.01y ? 0.2 y ?????????????????????????6


? x ? y ? 100 ? (2)由题意可知 x, y 满足的约束条件为 ? x ? y ??????9 分 ? x, y ? 0 ?
由(1)可知, z ? E? ? E? ? 0.1x ? 0.2 y 当 x ? 50, y ? 50 , z 取得最大值 15. ∴对 A、 B 项目各投资 50 万元, 可使公司获得最大利润, 最大利润是 15 万元.????12 分 19.【解析】 : (1) 证明:

AB为圆O直径 ? ∥ CD ,????2 分 BC CD DA ?? CD ?? DA ?? 2 4 且 AB∥ ? ? BC BC ? CD ? DA?

则 CD 平行且等于 BO ,即四边形 OBCD 为平行四边形,所以 BC // OD .

AO ? BO ? ? ? ? OM // PB ? OD // 平面PBC ? AM ? PM ? ?? ? ? 平面ODM // 平面PBC OM // 平面PBC ? ? ?????????????????????????BC // OD ?

?

OD // 平面PBC ? ? ? 平面ODM // 平面PBC ????6 分 OM // 平面PBC ?
(2) 『解法 1』 : 延长 AD 、 连结 PE , 则 PBC ? 平面 PAD ? PE , 易证△ PBE 与△ PAE BC 交于点 E , 数学(理) 第 9 页(共 16 页)

全等, 过 A 作 AQ ? PE 于 Q , 连 BQ , 则B Q ? P E 为所求角或其补角.

, 由二面角定义可知, 平面角 ?AQB

易 求 PE ? 8 , 又 AE ? 8 , PA ? 4 2 , 由 面 积 桥 求 得 AQ ? 2 7 ? BQ , 所 以

cos ?AQB ?

28 ? 28 ? 64 1 ?? ?0 7 2? 2 7 ? 2 7

所以所求角为 ? ? ?AQB ,所以 cos(? ? ?AQB) ?

1 7
1 7

因此平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为 『解法 2』 :

以 O 为原点, BA 方向为 x 轴,以平面 ABCD 内过 O 点且垂直于 AB 方向为 y 轴 以

OP 方向为 z 轴,建立如图所示空间直角坐标系.
则 P(0,0, 4) , B(?4, 0, 0) , A(4,0,0) ,

C (?2, ?2 3, 0) , D(2, ?2 3, 0) ,????8 分 ??? ? ??? ? 所以 PB ? (?4, 0, ?4) , BC ? (2, ?2 3, 0) ,
可求得平面 PBC 的法向量为 n1 ? ( 3,1, ? 3) 又 PA ? (4, 0, ?4) , AD ? (?2, ?2 3, 0) , 可求得平面 PAD 的法向量为 n2 ? ( 3, ?1, 3) 则 cos ? ?

z
P

??

M
C B O D A

y

??? ?

????

?? ?

x

| 3 ? 3 ? 1? (?1) ? (? 3) ? 3 | 1 ? , 7 3 ?1? 3 ? 3 ?1? 3

因此平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为 20【解析】: (1) 『解法 1』 :

1 . 7

????12 分

数学(理) 第 10 页(共 16 页)

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ? (Ⅰ)由题意,得 ? 4 ,???????????????2 分 40 ? ? 1 ? 2 9b 2 ?a
2 ? ?a ? 9 解得 ? ???????????????4 分 2 ? ?b ? 8

∴椭圆方程为 『解法 2』 :

x2 y2 ? ? 1 .???????????????5 分 9 8

?右焦点为 F2 (1, 0) ,? c ? 1
左焦点为 F1 (?1,0) ,点 H (2,

2 10 ) 在椭圆上 3
2 10 2 2 10 2 ) ? (2 ? 1) 2 ? ( ) ?6 3 3

2a ? HF1 ? HF2 ? (2 ? 1) 2 ? (
所以 a ? 3 , b ? 2 2 所以椭圆方程为 (2) 『解法 1』 :

x2 y 2 ? ? 1 ??????????5 分 9 8

由题意,设 PQ 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ∵ PQ 与圆 x ? y ? 8 相切
2 2



|m| 1? k
2

? 2 2 ,即 m ? 2 2 1 ? k 2 ??????????6 分

? y ? k x? m ? 2 2 2 由 ? x2 x2 ,得 (8 ? 9k ) x ? 18kmx ? 9m ? 72 ? 0 ?????7 分 ?1 ? ? 8 ?9
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

9m 2 ? 72 ? 18km x x ? , ????8 分 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

2 2 2 ∴ | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 | ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

数学(理) 第 11 页(共 16 页)

? 1? k 2 (

? 18k m 2 9m 2 ? 72 ) ? 4 ? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

? 1? k 2

4 ? 9 ? 8(9k 2 ? m 2 ? 8) (8 ? 9k 2 ) 2

m ?12 2 | k | ? 6km 2 2 ????10 分 ? ? 2 8 ? 9k 8 ? 9k 2
又 PF2
2

? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ?
2 2

x12 1 ) ? ( x1 ? 9) 2 9 9

1 1 ? PF2 ? (9 ? x1 ) ? 3 ? x1 3 3 1 1 同理 QF2 ? (9 ? x2 ) ? 3 ? x2 3 3 1 6km ∴ | F2 P | ? | F2Q |? 6 ? ( x1 ? x2 ) ? 6 ? ????11 分 3 8 ? 9k 2 6km 6km ∴ | F2 P | ? | F2Q | ? | PQ |? 6 ? ? ? 6 (定值)????12 分 2 8 ? 9k 8 ? 9k 2
『解法 2』 : 设 P?x1 , y1 ? , Q( x2 , y2 ) ,
2 2

x12 y12 ? ?1 9 8
2

?x

1

? 3? x12 1 ) ? ( x1 ? 9) 2 9 9

PF2 ? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ?

1 1 ? PF2 ? (9 ? x1 ) ? 3 ? x1 ????????????8 分 3 3 OM , OP 连接 ,由相切条件知:
PM ?| OP |2 ? | OM |2 ? x12 ? y12 ? 8 ? x12 ? 8(1 ?
2

x12 1 ) ? 8 ? x12 9 9

1 ? PM ? x1 3

1 1 ? PF2 ? PM ? 3 ? x1 ? x1 ? 3 ????????????10 分 3 3 1 1 同理可求? QF2 ? QM ? 3 ? x2 ? x2 ? 3 3 3 所以 F2 P ? F2Q ? PQ ? 3 ? 3 ? 6 为定值.????????????12 分
21【解析】 数学(理) 第 12 页(共 16 页)

(1)定义域为 (0, ??)

f ?( x) ? ln x ? x ?

1 ? 1 ? ln x x

1 1 1 1 ∴ x ? ;令 f ?( x) ? 0 则 ln x ? ?1 ? ln ∴0 ? x ? e e e e 1 1 ∴ f ( x) 的单调增区间是 ( , ??) ,单调减区间是 (0, ) e e 1 1 1 1 f ( x) 极小值 ? f ( ) ? ln ? ? , f ( x) 无极大值 e e e e
令 f ?( x) ? 0 则 ln x ? ?1 ? ln (2)证明:不妨设 x1 ? x2 ,

k AB ? f ?(

x ln x2 ? x1 ln x1 x ?x x1 ? x2 ? ln 1 2 ? 1 )? 2 x2 ? x1 2 2

x2 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ln
x2 ln

x1 ? x2 x ?x ? x1 ln 1 2 ? x2 ? x1 2 2

2 x2 2 x1 ? x1 ln ? x2 ? x1 x1 ? x2 x1 ? x2

x2 x x1 x 2 ? ln ? 2 ?1 两边同除以 x1 得, 2 ln x x x1 1 ? 2 1 ? 2 x1 1 x1 x1 2?


x2 2t 2 ? ln ? t ?1 ? t ,则 t ? 1,即证: t ln x1 1? t 1? t

令 g (t ) ? t ln

2t 2 ? ln ? t ?1 1? t 1? t

g ?(t ) ? ln


2t 1? t 2 1? t 2 2t 1 ? t t ?1 t ?1 ?t? ? ? ? ? 1 ? ln ? ? ln(1 ? )? 2 2 1? t 2t (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 1? t 1? t t ?1 t ?1

t ?1 ? x( x ? 0) , h( x) ? ln(1 ? x) ? x t ?1 1 ?x h?( x) ? ?1 ? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 上单调递减,所以 h( x) ? h(0) ? 0 1? x 1? x t ?1 t ?1 即 ln(1 ? x) ? x ,即 g ?(t ) ? ln(1 ? )? ? 0 恒成立 t ?1 t ?1
数学(理) 第 13 页(共 16 页)

∴ g (t ) 在 (1, ??) 上是减函数,所以 g (t ) ? g (1) ? 0

2t 2 ? ln ? t ? 1 得证 1? t 1? t x ? x2 所以 k AB ? f ?( 1 ) 成立 2
∴ t ln 22.【解析】 : (1)证明:连结 DB ,∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ ?ADB ? 90 ,
?

A

在 Rt ?ABD 和 Rt ?AFG 中, ?ABD ? ?AFE 又∵ ?ABD ? ?ACD ∴ ?ACD ? ?AFE ∴ C, D, E, F 四点共圆。 (2)∵ C, D, E, F 四点共圆,∴ GE ? GF ? GC ? GD ∵ GH 是 圆 O 的 切 线 , ∴ GH ? GC ? GD
2

D

O

C

B

H


F E G

GH 2 ? GE ? GF
又因为 GH ? 6, GE ? 4 ∴ GF ? 9 ∴ EF ? GF ? GE ? 5 22.【解析】 : (1)因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) 6 所以 ? ? 4 ? sin(? ?
2
2 2 2

?

?
6

) ? 4? (

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2

又 ? ? x ? y , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 所以 x ? y ? 2 3 y ? 2 x
2 2

所以圆 C 的普通方程 x ? y ?2 x ? 2 3 y ? 0
2 2

(2) 『解法 1』 : 设 z ? 3x ? y 数学(理) 第 14 页(共 16 页)

由圆 C 的方程 x ? y ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4
2 2
2 2

所以圆 C 的圆心是 ( ?1, 3) ,半径是 2
? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 代入 z ? 3x ? y 得 z ? ?t 将? ? y ? 3? 1t ? ? 2

又直线 l 过 C (?1, 3) ,圆 C 的半径是 2 ,所以 ?2 ? t ? 2 所以 ?2 ? ?t ? 2 即 3 x ? y 的取值范围是 [?2, 2] 『解法 2』 : 直线 l 的参数方程化成普通方程为: x ? 3 y ? 2 ????6 分 由?

? ?x ? 3 y ? 2
2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 3 ) ? 4



解得 P 1 (?1 ? 3 , 3 ? 1) , P2 (?1 ? 3 , 3 ? 1) ????8 分 ∵ P( x, y) 是直线 l 与圆面 ? ? 4sin(? ? ) 的公共点, 6 ∴点 P 在线段 P1 P2 上, ∴ 3 x ? y 的最大值是 3 (?1 ? 3 ) ? ( 3 ? 1) ? 2 , 最小值是 3 (?1 ? 3 ) ? ( 3 ? 1) ? ?2 ∴ 3 x ? y 的取值范围是 [?2,2] ????10 分 24.【解析】 : 由题意可得 | x ? 2a |? 1 可化为 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1,

?

? 2a ? 1 ? 1 ,解得 a ? 1 . ? ?2 a ? 1 ? 3

数学(理) 第 15 页(共 16 页)

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ?| x ? 2a | ? x ? ? 所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 最小值为 2a , 根据题意可得 2a ? 3 ,即 a ?

?2 x ? 2 a , x ? 2 a , x ? 2a ? 2a,

3? 3 ? ,所以 a 的取值范围为 ? ? ?, ? 2? 2 ?

数学(理) 第 16 页(共 16 页)


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