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第4课时 复合函数


第 4 课时 复合函数
教学目标:
使学生掌握与复合函数有关的各类问题.

教学重点:
复合的含义.

教学难点:
复合函数的讨论.

教学过程:
[例 1]已知 f(x)=x2-x+7,求 f(2x-1) 解:f(2x-1)=(2x-1)2-(2x-1)+7 =4x2-

6x+9 [例 2]已知 f(x+1)=x2+3x+4,求 f(x) 解法一:令 t=x+1,则 x=t-1 有:f(t)=(t-1)2+3(t-1)+4 =t2+t+2 即:f(x)=x2+x+2 解法二:f(x+1)=(x+1)2+x+3 =(x+1)2+(x+1)+2 2 ∴ f(x)=x +x+2 练习: 1 1 1.已知 f(x+ )=x2+ 2 ,求 f(x) x x 2.已知 f(x-1)=x2-3x+4,求 f(2x-3) [例 3](1)已知函数 f(x)的定义域为(0,1),求 f(x2)的定义域. (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),求 f(x)的定义域. (3)已知函数 f(x+1)的定义域为[-2,3],求 f(2x2-2)的定义域. 分析:(1)求函数定义域就是求自变量 x 的取值范围,求 f(x2)的定义域就是求 x 的范围, 而不是求 x2 的范围,这里 x 与 x2 的地位相同,所满足的条件一样. (2)应由 0<x<1 确定出 2x+1 的范围,即为函数 f(x)的定义域. (3)应由-2≤x≤3 确定出 x+1 的范围,求出函数 f(x)的定义域进而再求 f(2x2-2)的 定义域.它是(1)与(2)的综合应用. 解:(1)∵f(x)的定义域为(0,1) ∴要使 f(x2)有意义,须使 0<x2<1,即-1<x<0 或 0<x<1∴函数 f(x2)的定义域为 {x|-1<x<0 或 0<x<1} (2)∵f(2x+1)的定义域为(0,1) ,即其中的函数自变量 x 的取值范围是 0<x<1,令 t =2x+1,∴1<t<3,∴f(t)的定义域为 1<x<3 ∴函数 f(x)的定义域为{x|1<x<3} (3)∵f(x+1)的定义域为-2≤x≤3,∴-2≤x≤3 令 t=x+1,∴-1≤t≤4 ∴f(t)的定义域为-1≤t≤4 即 f(x)的定义域为-1≤x≤4,要使 f(2x2-2)有意义,须使-1≤2x2-2≤4,

∴- 3 ≤x≤-

2 2 或 ≤x≤ 3 2 2 2 2 或 ≤x≤ 3 } 2 2

函数 f(2x2-2)的定义域为{x|- 3 ≤x≤-

评述: (1)对于复合函数 f [g(x)]而言,如果函数 f(x)的定义域为 A,则 f [g(x)] 的定义域是使得函数g(x)∈A 的 x 取值范围. (2)如果 f [g(x)]的定义域为 A,则函数 f(x)的定义域是函数g(x)的值域.
?2x-1 x≥0 [例 4]已知 f(x)=? ,求 f(x2-1) ?-x+3 x<0 ?2(x2-1)-1 x2-1≥0 解:f(x2-1)=? 2 2 ?-(x -1)+3 x -1<0 ?2x2-3 =? 2 ?-x +4

x≥1或x≤-1 -1<x<1

[例 5]已知 f(f(x) )=2x-1,求一次函数 f(x) 解:设 f(x)=kx+b,则: f(f(x) )=k f(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=2x-1
?k2=2 ∴? ?kb+b=-1

得:k= 2 ,b=1- 2 或 k=- 2 ,b= 2 +1

∴f(x)= 2 x+1- 2 或 f(x)=- 2 x+ 2 +1 [例 6]已知函数满足 2f(x)+f( 解:令 t= 1 )=x,求 f(x) x

1 1 1 ,则有 2f( )+f(t)= x t t 1 1 )+f(x)= x x

即:2f(

2x2-1 ∴f(x)= 3x 课后作业: 1.已知 f( x +1)=x+2 x ,求 f(x)的解析式. 分析:此题目中的“f”这种对应法则,需要从题给条件中找出来,这就要有整体思想的应用 . 即:求出 f 及其定义域. 解:设 t= x +1≥1,则 x =t-1, ∴x=(t-1)2 ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1) ∴f(x)=x2-1(x≥1) 2. (1)已知函数 y=f(x)的定义域为[0,1],求 f(x-1)的定义域. 解:∵f(x)中 0≤x≤1 ∴0≤x-1≤1,即 1≤x≤2 (2)已知函数 y=f(x-1)的定义域为[0,1],求 f(x)的定义域. 解:函数 y=f(x-1)中 0≤x≤1 ∴-1≤x-1≤0

即:y=f(x)的定义域为[-1,0] (3)已知函数 y=f(x-2)的定义域为[1,2],求 y=f(x+3)的定义域. 3.已知函数 f(x)是一次函数,且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解 析式. 解:设 f(x)=ax+b 则 3f(x+1)-2f(x-1) =3ax+3a+2b+2a-2b=ax+b+5a=2x+17 ∴a=2,b=7 ∴f(x)=2x+7


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