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四川省新津中学2013届高三一诊模拟考试数学(理)试题(二)


高 2013 届“一诊”模拟试题二理科数学试题 一、选择题:每题 5 分,共 50 分. 1、下列函数是偶函数的是() (A) y ? x (B) y ? 2 x ? 3 (C) y ? x
2

?

1 2

(D) y ? x2 , x ? [0,1]

2、函数 y ? lg x ?



9 的零点所在的大致区间是() x

(A) (6,7) (B) (7,8) (C) (8,9) (D) (9,10) 3、下列结论正确的是() 1 (A)当 x ? 0且x ? 1 时, lg x ? 1 ? 2 (B) 当x ? 2时, x ? 的最小值为 2 x lg x (C)当 x ? 0 时,

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值为 2 (D)当 0 ? x ? 2 时, x ?

1 有最大值. x

4、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为1 , 等腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的表面积是( ) (A) ( 5 ? 2)? (B) (2 5 ? 2)? (C) 4 ? 2? (D) ( 5 ? 3)?

5、已知定义在区间 (0,

?
2

) 上的函数 y ? 3 sin x 的图象与函数 y ? cos x 的图象的交点为 P ,

过 P 作 PP ? x 轴于点 P ,直线 PP 与 y ? tan x 1 1 1 的图象交于点 P ,则线段 PP 的长为() 1 2 2

(A) 3 (B)

2 3 3 (C) (D) 2 3 2

6、如图,若程序框图输出的S是126, 则判断框①中应为 () (A) n ? 5? (B) n ? 6 ? (C) n ? 7 ? (D) n ? 8? 7、某学习小组共 12 人,其中有五名是“三好学生” , 现从该小组中任选 5 人参加竞赛, ? 表示这 5 人中 用 “三好学生”的人数,则下列概率中等于 C7 +C5C7 的是() 5 C12 (A) P ?? ? 1? (B) P(? ? 1) (C) P(? ? 1) (D) P(? ? 2)
5 1 4

8、如右图,在 ?ABC 中, AN ?

????

??? ? ??? 2 ???? ? 1 ???? NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 3 9

m 的值为(
(A)

) (D) 3

1 1 (B) (C) 1 9 3

9、现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不 能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为( ) (A)232 (B)252 (C)472 (D)484 10、给出若干数字按下图所示排成倒三角形, 其中第一行各数依次是 1 , 2 , 3 , … , 2011, 从第二行起每个数分别等于上一行左、右 两数之和,最后一行只有一个数 M, 则这个数 M 是() 2009 2010 (A) 2012 ? 2 (B) 2011? 2 2011 2007 (C) 2010 ? 2 (D) 2010 ? 2 二、填空题:每题 5 分,共 25 分. 11、已知 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? i 5 ? i 6 ? ______. 12、在 ?ABC 中,若 ?B ?

1 3

2 5 8

3 ..... 2009 2010 ..... ..... ..... M 4019 8040

2011

4021

?
4

,b ?

2a ,则 ?C ? .

13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和 一个最低分后,甲、乙两名选手得分的 平均数分别为 a1 、 a2 ,则 a1 、 a2 的 大小关系是_____________. (填 a1 ? a2 , a2 ? a1 , a1 ? a2 之一). 14.函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | ax | ,若存在三个互不相等的实数 x1 , x2 , x3 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则实数 a ? . 15.已知数列 A : a1 , a2 ,..., an (0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 3) 具有性质 P:对任意 i, j (1 ? i ? j ? n) ,

a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项,现给出以下四个命题:
①数列 0,1,3 具有性质 P;②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1 ? 0 ; ④若数列 a1 , a2 , a3 (0 ? a1 ? a2 ? a3 ) 具有性质 P,则 a1 ? a3 ? 2a2 . 其中真命题的序号是 .(填上所有正确命题的序号)

高 2013 届“一诊”模拟试题二理科数学试题答题卷 二、填空题: 11、 ;12、 ;13、 ;14、 ;15、 . 三、解答题:共 6 个小题,满分 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知 sin( A ? ) ? (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

π 4

? ? 7 2 , A ? ( , ). 4 2 10

5 sin A sin x 的值域. 2

17.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? BC , D 为 AC 的中点, AA1 ? AB ? 2 .
(I)求证:

A1

A

AB1 //平面 BC1D ;
B1 C1 C

D B

(II)若四棱锥 B ? DAAC1 的体积为 3 , 1 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? b 1 ? x 2 ( x ? 0 )的图象经过两点 A(0,1) 和

B( 3,2 ? 3) .
(I)求 f ( x) 的表达式及值域; (II)给出两个命题 p : f (m2 ? m) ? f (3m ? 4) 和 q : log2 (m ? 1) ? 1 .问是否存在实数 m ,使得 复合命题“ p 且 q ”为真命题?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

19.(本小题满分 12 分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为 15000 元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数不超过 35 人时,飞机票每张 ... 收费 800 元;若旅行团的人数多于 35 人时,则予以优惠,每多 1 人,每个人的机票费减少 10 元,但 .. ... 旅行团的人数最多不超过 60 人.设旅行团的人数为 x 人,飞机票价格为 y 元,旅行社的利润为 Q 元. (I)写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (II)当旅行团人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.

2 20.(本小题满分 13 分)已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项的和为 Sn ,数列 an 的前 n 项的和为

? ?

Tn ,且 ? Sn ? 2 ? ? 3Tn ? 4, n ? N * .
2

(I)证明数列 ?an ?是等比数列,并写出通项公式; (II)若 Sn 2 ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;
*

(III)若 an , 2x an?1, 2 y an?2 成等差数列,求正整数 x, y 的值.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? kx , x ? R . (I)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (II)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (III)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) L F (n) ? (e
n ?1

? 2) ( n ? N * ).

n 2

2013 届高三“一诊”模拟试题二理科试题参考答案 一、选择题:BDDAC BBACA 二、填空题:11、 i ;12、 7? ;13、 a2 ? a1 ;14、 ?2 ;15、①③④

12

三、解答题: 16、解: (Ⅰ)因为

π π π π 3π π 7 2 ? A ? ,且 sin( A ? ) ? ,所以 ? A ? ? , 4 2 2 4 4 4 10

π π π π π π π 2 .因为 cos A ? cos[( A ? ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin cos( A ? ) ? ? 4 4 4 4 4 4 4 10

??

2 2 7 2 2 3 3 ? ? ? ? .所以 cos A ? .????6 分 5 10 2 10 2 5
4 . 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 f ( x) ? cos 2 x ?

5 1 3 sin A sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 2 2 2 1 3 因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ? 时, f ( x) 取最大值 ; 2 2
当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x) 的值域为 [ ?3, ] . 17、解: (I)略;???4 分 (II)过 B 作 BE ? AC 于 E ,则 BE ? 面 AAC1C ,设 BC ? x ,则 AC ? 1 从而体积 V ?

3 2

????????12 分

x2 ? 4 ,

1 1 ? ( AD ? A1C1 ) ? AA1 ? BE ? 3 ,解得 x ? 3 . ???6 分 3 2

建系或直接作角得 tan ? ?

13 .???12 分 3

18、解: (I)由 f (0) ? 1 , f ( 3) ? 2 ? 3 ,可得 a ? ?1, b ? 1 ,???2 分 故 f ( x) ? 1 ? x2 ? x ( x ? 0) , 由于 f ( x) ?
1 1 ? x2 ? x

在 [0, ??) 上递减,所以 f ( x) 的值域为 (0,1] .???6 分

(II)复合命题“ p 且 q ”为真命题,即 p, q 同为真命题。???7 分

? f ?x ? 在 [0, ??) 上递减,
故 p 真 ? m ? m ? 3m ? 4 ? 0 ? m ?
2

4 且 m ? 2 ;???9 分 3

q 真 ? 0 ? m ? 1 ? 2 ? 1 ? m ? 3 ,???11 分
4 故存在 m?[ , 2) ? (2,3) 满足复合命题 p 且 q 为真命题。???12 分 3

19、解: (I)依题意得,当 1 ? x ? 35 时, y ? 800 ; 当 35 ? x ? 60 时, y ? 800 ? 10( x ? 35) ? ?10 x ? 1150 ;

(1 ?800       ? x ? 35且x ? N ) ?????4 分 ?y ? ? (35 ??10 x ? 1150     ? x ? 60且x ? N )
(II)设利润为 Q ,则

(1 ?800 x ? 15000    ? x ? 35且x ? N) ?6 分 Q ? y ? x ? 15000 ? ? 2 ?10 x ? 11500 x ? 15000  (35 ? x ? 60且x ? N ) ?
当 1 ? x ? 35且x ? N 时, Qmax ? 800 ? 35 ?15000 ? 13000 , 当 35 ? x ? 60 时,

Q ? ?10 x 2 ? 1150 x ? 15000 ? ?10( x ?

115 2 36125 ) ? , 2 2

又? x ? N ? 当 x ? 57或58 时, Qmax ? 18060 ? 13000 , 答:当旅游团人数为 57或58 人时,旅行社可获得最大利润 18060 元。 ??12 分 20、解. (I)当 n ? 1 时,由 (a1 ? 2)2 ? 3a12 ? 4 ,解得 a1 ? 1 , 当 n ? 2 时,由 (1 ? a2 ? 2)2 ? 3(1 ? a22 ) ? 4 ,解得 a2 ?

1 ;???2 分 2

由 (S n ? 2) 2 ? 3Tn ? 4 ,知 (S n?1 ? 2) 2 ? 3Tn?1 ? 4 ,两式相减得
2 (S n?1 ? S n )(S n?1 ? S n ? 4) ? 3an?1 ? 0 ,即 (S n?1 ? S n ? 4) ? 3an?1 ? 0 ,

1 an ,(n ≥ 2) ,?4 分 2 1 a 1 1 又 a 2 ? a1 ,所以 n ?1 ? , ( n ≥ 1) ,所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 的等比数列, an 2 2 2
亦即 2S n?1 ? S n ? 2 ,从而 2Sn ? Sn?1 ? 2,(n ≥ 2) ,再次相减得 an?1 ? 其通项公式为 a n ?

1 2 n ?1

n ? N* .???????????????5 分
n

n ?1? ?1? 1? ? ? n 1? ? ? n ? 2 ? ? 2?1 ? ? 1 ? ? , ? 4 ? ? 4 ?1 ? ? 1 ? ? ,??7 分 (2)由(1)可得 S n ? ? ? ? ? Tn ? ? ? ? ? 1 1 3? ?4? ? ? ?2? ? ? ? ? ? 1? 1? 4 2

若 S n ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,只需 ? ?
2
*

Sn Tn

2

?1? 1? ? ? 6 2 * 对 n ? N 恒成立, ? 3 ? ?n ? 3 ? n 2 ?1 ?1? 1? ? ? ?2?

n

6 ? 3 对 n ? N * 恒成立,所以 ? ≥ 3 ,即 ? 的最小值为 3;????10 分 2 ?1 1 2x 2y (3)若 an ,2 x an?1 ,2 y an?2 成等差数列,其中 x, y 为正整数,则 n ?1 , n , n ?1 成等差数列, 2 2 2 2 x ? 1 ? 2 y ? 2 ,当 y ? 2 时,等式右边为大于 2 的奇数,等式左边是偶数或 1,等式不能成立, 整理得 所以满足条件的 x, y 值为 x ? 1, y ? 2 .????????????????13 分
因为 3 ?
n

21、解: (I)当 k ? e 时, f ?( x) ? e x ? e ,故 f ( x) 的单增区间是 (1, ??) ,单减区间是 (??,1) 。 (II) f (| x |) ? 0 恒成立等价于 x ? 0 时 f ( x) ? 0 恒成立。由 f ?( x) ? e x ? k 知 f ( x) 在 (??, ln k ) 上单减,在 (ln k , ??) 上单增。当 k ? (0,1] 时, ln k ? 0 ,故 f ( x) ? f (0) ? 1满足题意。当 k ? 1 时, ln k ? 0 ,所以 f ( x) ? f (ln k ) ? k ? k ln k ? 0 ,解得 1 ? k ? e 。综上所述, k 的范围是 (0, e) 。 (III) F ( x) ? e x ? e? x , 所以 F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x ? x ? e? ( x ? x ) ? e x ? x ? e x ? x ? e x ? x ? e? ( x ? x ) ? 2 ? e x ? x ? 2 , 从而 F (k ) F (n ? k ? 1) ? en ?1 ? 2 ( k ? 1, 2, L , n ) 。所以 [ F (1) F (2) L F (n)]2 ? (en ?1 ? 2) n ,
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

即 F (1) F (2) L F (n) ? (e n ?1 ? 2) 2 。

n


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