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汕头市东厦中学2013届高三理科数学第三次质量检测


汕头市东厦中学 2013 届高三理科数学第三次质量检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分 钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.设全集 U ? R, A ? {x | x(? x ? 3) ? 0}, B ? {x | y ? ln(? x ?

1)}, 则 右图中阴影部分表示的集合为( A. {x | x ? 0} C. {x | ?3 ? x ? ?1} )

B. {x | ?3 ? x ? 0} D. {x | x ? ?1}

2. 0 ? x ? 5 是不等式 | x ? 4 |? 4 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.-1

3.若复数(a 2 - 4a+3)+(a -1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A.1 B.3 C.1 或 3

4.函数 f ( x) ? 2 x ? 6 ? ln x 的零点一定位于下列哪个区间 A. (1, 2) B. (2,3) C. ? 3, 4 ? D.

? 4,5?

5.已知点 P (sin ? – cos ? ,tan ? )在第一象限,则在[0,2 ? ]内 ? 的取值范围是

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? C. ( , ) ? ( , ) 2 4 4 2
A. (

? 3?
,

) ? (? ,

B. (

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? ? 3? D. ( , ) ? ( , ? )
4 2 4

? ?

6.偶函数 f ( x)(x ? R) 满足: f (?4) ? f (1) ? 0 ,且在区间[0,3]与 [3,??) 上分别递减和 递增,则不等式 x f ( x) ? 0 的解集为
3

A. (??,?4) ? (4,??)
1

B. (?4,?1) ? (1,4)

C. (??,?4) ? (?1,0)

D. (??,?4) ? (?1,0) ? (1,4)

7.f (x) 是定义在 (0,??) 上的非负可导函数, 且满足 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 对任意正数 a, b , 若 a ? b ,则必有( A. af (b) ? bf (a) C. af (a) ? f (b) ) B. bf (a) ? af (b) D. bf (b) ? f (a)
y 2 A

8.函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,点 A 坐标 为(1,2),点 B 坐标为(3,0).定义函数 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? 1) . 则函数 g(x)最大值为( A.0 B.2 ) C.1 D.4

B o 1 3 x

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

?

2 0

4 ? x 2 dx =

?0 ? x ? 2 ? 2 2 10.若 x、y 满足 ?0 ? y ? 2, 则? x ? 1) ? ( y ? 1) 的取值范围是 ?x ? y ? 1 ?



? 11.已知向量 a, b 的夹角为 60 ,且 a ? 2, b ? 1,则 a ? 2b ? _________ ;向量 a 与

向量 a ? 2b 的夹角的大小为_________. 12.设函数 f ( x)在(??,??)上满足f ( x) ? f (4 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间 [0, 7]上, 只有 f (1) ? f (3) ? 0 , 则函数 f (x) 的最小正周期为 在闭区间[-2005,2005]上有 13.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,过圆 ? ? 6cos? 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 14.(不等式选讲选做题) . 个根。 , 方程 f ( x) ? 0

2

函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的最大值是 15.(几何证明选讲选做题)

_.
C B O

如图,已知圆 O 的半径为 2,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC , 圆心 O 到 AC 的距离为 3 , AB ? 3 ,则切线 AD 的长为 . A

D

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 16.(本小题满分 12 分) 一盒中装有 20 个大小相同的弹子球,其中红球 10 个,白球 6 个,黄球 4 个,一小孩 随手拿出 4 个,求至少有 3 个红球的概率.

17.(本小题满分 12 分) 设向量 m ? (cos? ,sin ? ) , n ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos? ) , ? ? (? ? ,?? ) , 若 m ? n ? 1,求: (1) sin(? ?

??

?

3 2

?? ?

?
4

) 的值;

(2) cos( ? ?

7 ? ) 的值. 12
P

18.(本小题满分 14 分) 四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形, 且与底面垂直,底面 ABCD 是∠ADC ? 60? 的菱形, M 为 PB 的中点,Q 为 CD 的中点. (1) 求证:PA⊥CD; (2) 求 AQ 与平面 CDM 所成的角. D A Q
第 18 题图

M C B

19.(本小题满分 14 分)
3

设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b( x ?R) ,其中 a,b ? R . (Ⅰ)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a?? ?2, ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ??11? 上恒成立,求 b 的取值范围 2? ,

20.(本小题满分 14 分) 据调查,某地区 100 万从事传统农业的农民,人均收入 3000 元,为了增加农民的收入, 当地政府积极引进资金,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地 部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有 x (x >0)万人进企业工作,那么剩下从事 传统农业的农民的人均收入有望提高 2x %,而进入企业工作的农民的人均收入为 3000a 元 (a >0). (1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的 所有农民的年总收入,试求 x 的取值范围; (2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时) ,能使这 100 万农民 的人均年收入达到最大.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 ( a , b 为实数), x ? R , F ( x) ? ?
2

( x ? 0) ? f ( x) . ? ? f ( x) ( x ? 0)

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f ( x ) 的值域为 [0, ? ?) ,求 f (x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x ?[?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取 值范围; (3)设 m ? n ? 0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f ( x ) 为偶函数,判断 F (m) + F ( n) 能否大于零.

4

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答案
一、选择题: 1 C 2 A 3 4 B 5 B 6 D 7 A 8

B

C

二、填空题: 9.

?

10. ? ,? 2 14. 2.

?1 ? ?2 ?

11. 2 3

?
6

12. 10 、 802

13. ? cos? ? 3 . 三、解答题:

15. 15 .

16.恰有 3 个红球的概率 P ? 1

3 4 C10C10 80 ……5 分 ? 4 C20 323

有 4 个红球的概率 P2 ?

4 C10 14 ……9 分 ? 4 C20 323

至少有 3 个红球的概率 P ? P ? P2 ? 1

94 ……11 分 答:……12 分 323

17.解: (1)依题意, m ? n ? cos? (2 2 ? sin ? ) ? sin ? (2 2 ? cos? )

?? ?

? ? 2 2(sin ? ? cos? ) …3 分 ? 4sin(? ? ) …5 分 4 ?? ? ? 1 又 m?n ?1 ∴ sin(? ? ) ? ……………6 分 4 4 3 ? 5 3 (2)由于 ? ? (? ? ,?? ) ,则 ? ? ? (? ? ,? ? ) ……7 分 2 4 4 4
结合 sin(? ?

?
4

)?

1 ? 15 ,可得 cos(? ? ) ? ? ……9 分 4 4 4

则 cos(? ?

7 1 1 15 1 1 3 3 ? 15 ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? (? …12 分 )? ? ? ?? 12 4 3 4 2 4 2 8

18.解:(1)连结 PQ,AQ. ∵△PCD 为正三角形, ∴PQ⊥CD. ∵底面 ABCD 是∠ADC ? 60? 的菱形,

5

P
∴AQ⊥CD. ∴CD⊥平面 PAQ.
……4

分 ∴PA⊥CD.

(2)设平面 CDM 交 PA 于 N,∵CD//AB, ∴CD//平面 PAB. ∴CD//MN.由于 M 为 PB 的中点,∴N 为 PA 的中点. 又 PD=CD=AD,∴DN⊥PA. ∴PA⊥平面 CDM.
………………8

E F
D

C G
B

由(1)可知 PA⊥CD, 分

M A

?

∴平面 CDM⊥平面 PAB. ∵PA⊥平面 CDM,联接 QN、QA,则 ?AQN 为 AQ 与平面 CDM 所成的角. P 在 Rt?PMA 中,AM=PM= 3 , ∴AP= 6 ,∴AN=
…10



6 AN 2 ,sin?AQN= = . AQ 2 2
D A

N Q
第 17 题图

M C B

∴?AQN =45°.…………14 分 (2)另解(用空间向量解) : 由(1)可知 PQ⊥CD,AQ⊥CD. 又由侧面 PDC⊥底面 ABCD,得 PQ⊥AQ. 因此可以如图建立空间直角坐标系 Q ? xyz .

……………6



易知 P(0 , 0 , 3 )、A( 3 , 0 , 0)、B( 3 , 2 , 0)、 C(0 , 1 , 0) 、D(0 , ?1 , 0).
………7



①由 PA =( 3 , 0 , ? 3 ) CD =(0 , ?2 , 0) , ,得 PA ? CD =0. ∴PA⊥CD.…………………9 分

3 3 3 3 ,1,? ) CM =( , ,0,? ) ,得 PA ? CM =0. 2 2 2 2 ∴PA⊥CM .……………10 分 z ∴PA⊥平面 CDM,即平面 CDM⊥平面 PAB. P
②由 M( 从而 PA 就是平面 CDM 的法向量.……12 分 设 AQ 与平面所成的角为 ? , 则 sin? =|cos< QA , PA >|= | N M Q A x C

3 3? 6

|?

2 . 2

D

y B

∴AQ 与平面所成的角为 45°.…………14 分

第 18 题图

6

19.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 4 x3 ? 3ax2 ? 4 x ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) .

10 时, f ?( x) ? x(4 x2 ?10x ? 4) ? 2x(2 x ?1)( x ? 2) . 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2
当a ? ? 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(?∞, 0)

0
0
极小值

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? 2 ? ,? ?2 ?

2

(2,∞) ?

?


?


0
极大值

?


0
极小值

?


所以 f ( x ) 在 ? 0, ? , (2,∞) 内是增函数,在 (?∞, , ? ,? 内是减函数. ? 0) 2
2 (Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根. 2 2 为使 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,即有 ? ? 9a ? 64 ≤ 0 .

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

解此不等式,得 ? ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? , ? . 3 3
2 2 (Ⅲ)解:由条件 a?? ?2, 可知 ? ? 9a ? 64 ? 0 ,从而 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立. 2?

8 3

8 3

? 8 8? ? ?

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x ) 在 ??11? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. , 为使对任意的 a?? ?2, ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ??11? 上恒成立,当且仅当 2? ,

? f (1) ≤1, ? ? f (?1) ≤1,

即?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

在 a?? ?2, 上恒成立.所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 2?

7

20.解: (I)由题意得:(100-x)·3000 · (1+2x%) ≥100× 3000,…3 分 即 x -50x≤0,解得 0≤x≤50,……5 分
2

又∵x>0

∴0<x≤50;………7 分

(II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元, 则 y= (100-x)× 3000× (1+2x%)+3000ax -60x +3000(a+1)x+300000 = 100 100 (0<x≤50) ……9 分
2

3 2 2 即 y=- [x-25(a+1)] +3000+475(a+1) 5

(i)当 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,当 x=25(a+1)时,y 最大;…………11 分 (ii)当 25(a+1)>50,即 a >1,函数 y 在(0,50]单调递增, ∴当 x=50 时,y 取最大值…13 分 答:在 0<a≤1 时,安排 25(a+1)万人进入企业工作,在 a>1 时安排 50 万人进入企业 工作,才能使这 100 万人的人均年收入最大.………14 分 解:(1)∵ f (?1) ? 0 ,∴ a ? b ? 1 ? 0 ,……………………(1 分) 又 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,∴ ?

?a ? 0
2 ?? ? b ? 4a ? 0

-………………(2 分) ,

∴ b 2 ? 4(b ? 1) ? 0 ,∴ b ? 2, a ? 1 ………………(3 分). ∴ f ( x) ? x ? 2x ? 1 ? ( x ? 1) . ………………(4 分)
2 2

(2) g ( x) ? f ( x) ? kx ? x ? 2x ? 1 ? kx ? x ? (2 ? k ) x ? 1 ………………(5 分)
2 2

? (x ?

2?k 2 (2 ? k ) 2 k?2 k?2 ? 2或 ? ?2 时, ) ?1? , 当 ……… (7 分) 2 2 2 4
2

即 k ? 6 或 k ? ?2 时, g( x ) 是单调函数.…………………………(8 分) (3) ∵ f (x ) 是偶函数,∴ f ( x) ? ax ? 1, …………………………(9 分)

? 2 ?ax ? 1 ( x ? 0) F ( x) ? ? ………………………………(10 分) , ?? ax2 ? 1 ( x ? 0) ?
∵ m ? n ? 0, 设 m ? n , 则 n ? 0 .又 m ? n ? 0, m ? ?n ? 0, ∴ | m | ? | ?n | ,------(12 分)

F (m) + F (n) ? f (m) ? f (n) ? (am2 ? 1) ? an2 ? 1 ? a(m2 ? n 2 ) ? 0 ,
∴ F (m) + F (n) 能大于零. …………………………(14 分)

8


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