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2016年高中数学联赛四川预赛参考答案及评分细则 (1)


2016 年全国高中数学联赛(四川)初赛试题 参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的 评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参 考本评分标准适当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档

次. 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、A 2、D 3、C 4、C 5、A 6、B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、180 8、 ?

1 2

9、 4 3

10、

1 4
n

11、

3 2

12、2015

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = 2 + r ( r 为常数) , 记 bn = 2(1 + log 2 an ) (n ∈ N ) .
*

(1)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn ; (2)若对于任意的正整数 n ,都有 求实数 k 的最大值. 解: (1)由条件易知 a1 = 2 + r , a2 = S 2 ? S1 = 2, a3 = S3 ? S 2 = 4 , 又由 a2 = a1a3 得 r = ?1 .
2

1 + bn 1 + b1 1 + b2 ? ?" ? ≥ k n + 1 成立, b1 b2 bn

……5 分
n ?1

于是 S n = 2 ? 1 .故 an = 2
n 1 2

, bn = 2(1 + log 2 an ) = 2n , anbn = n ? 2 .
n n ?1

因此 Tn = 1× 2 + 2 × 2 + " + ( n ? 1) × 2

+ n × 2n

① ②

2Tn = 1× 22 + 2 × 23 + " + (n ? 1) × 2n + n × 2n +1
由①-②得: ?Tn = 2 + 2 + " + 2
1 2 n ?1

+ 2n ? n × 2n +1 ,故 Tn = (n ? 1) ? 2n +1 + 2 .
n +1

所以,数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn = (n ? 1) ? 2 (2) 因为 k ≤

+ 2 (n ∈ N* ) . ……10 分

1 + bn 1 1 + b1 1 + b2 1 1+ 2 1+ 4 1 + 2n ? ? ?" ? = ? ? ?" ? , b2 bn 4 2n n + 1 b1 n +1 2 1 1+ 2 1+ 4 1 + 2n ? ? ?" ? , 4 2n n +1 2
参考答案及评分标准 (第 1 页 共 4 页)

构造 f ( n) =



f (n + 1) n + 1 1 + 2(n + 1) 4n 2 + 12n + 9 = ? = > 1, f ( n) 4n 2 + 12n + 8 n + 2 2(n + 1)
3 2, 4

……15 分

于是 { f ( n)} 严格单增,则 f ( n) 的最小值为 f (1) = 即实数 k 的最大值是

3 2. 4

……20 分

14、已知 a 、 b 、 c 为正实数, 求证: abc ≥

a+b+c ≥ (a + b ? c)(b + c ? a)(c + a ? b) . 1 1 1 + + a 2 b2 c2 a+b+c 证明: (1)先证: abc ≥ 1 1 1 + + a 2 b2 c 2
等价于证明: ( ab) + (bc) + (ca ) ≥ abc(a + b + c) ,
2 2 2

令 x = ab, y = bc, z = ca , 由不等式 x + y + z ≥ xy + yz + zx 知结论成立.
2 2 2

……5 分

(2)再证: a + b + c ≥ ( a + b ? c)(b + c ? a )(c + a ? b) ?

? 1 1 1? + 2+ 2? 2 ?a b c ?

(*)

则 a + b ? c > 0, c + a ? b > 0 由于不等式是轮换对称的, 不妨设 a = max{a, b, c} , ①当 b + c ? a ≤ 0 时,结论显然成立; ②当 b + c ? a > 0 时,令 a = y + z , b = z + x, c = x + y , 则x=

1 1 1 (b + c ? a) , y = (c + a ? b) , z = (a + b ? c) , 2 2 2 故 x, y, z 均大于 0.

……10 分

不等式(*)变为: 2( x + y + z ) ≥ 8 xyz[

1 1 1 ] + + 2 2 ( y + z ) ( z + x) ( x + y )2
……15 分

只需证:

1 1 1 4 4 4 , + + ≥ + + 2 2 yz zx xy ( y + z ) ( z + x) ( x + y ) 2
2

注意到: ( y + z ) ≥ 4 yz ,则

4 1 , ≤ 2 ( y + z) yz
……20 分

同理:

4 1 4 1 .所以,原不等式成立. ≤ ≤ , 2 2 xy ( z + x) zx ( x + y )

参考答案及评分标准 (第 2 页 共 4 页)

15、已知抛物线 y2=2px 过定点 C(1,2),在抛物线上任取不同于点 C 的一点 A,直线 AC 与直线 y=x+3 交于点 P,过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 B. (1)求证:直线 AB 过定点; (2)求△ABC 面积的最小值. 解: (1)由抛物线 y2=2px 过定点 C(1,2), y A 可得抛物线方程为 y2=4x. 2 y C 设点 A 坐标为( 0 ,y0)( y0≠2), Q 4 O y ?2 x (x?1), 则直线 AC 的方程为 y?2= 02 B P y0 ?1 4 4 (x?1), 即 y ?2 = y0 + 2 与 y=x+3 联立解得 P 点坐标为( 所以 B 点坐标为(

? y0 ? 6 2 y0 ? 12 , ). y0 ? 2 y0 ? 2

……5 分

( y0 ? 6) 2 2 y0 ? 12 , ). ( y0 ? 2) 2 y0 ? 2 2 y0 ? 12 ),直线 AB 过定点 Q(3,2). y0 ? 2 y0 ?

2 当 y0 =12 时,A 坐标为(3,y0),B 点坐标为(3,

2 y0 ? 12 ( y ? 6) y y2 y0 ? 2 2 (x? 0 ), 当 y0 ≠12 时, ≠ 0 ,直线 AB 的方程为 y? y0= 2 2 2 y0 ( y0 ? 6) ( y0 ? 2) 4 4 ? 4 ( y0 ? 2) 2
2 0 2 2 ( y0 ? 2) y0 ( y0 ? 2) 2 (4 x ? ), y ) , (或: y ? y = ( x ? ) 0 0 2 2 4 y0 ? 12 y0 ?3 4 易得,直线 AB 也过定点 Q(3,2). ……10 分 2 2 法 2:由抛物线 y =2px 过定点 C(1,2),可得抛物线方程为 y =4x. 设直线 AB 的方程为 x=my+a,与抛物线方程联立得,y2?4my?4a=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=?4a, P 点坐标为 B(y2?3,y2),因为 AP 过定点 C, y ?2 y ?2 = 1 所以 2 ,又 x1=my1+a, y2 ? 3 ? 1 x1 ? 1 所以(m?1)y1y2?(2m?4)y1+(a+1)y2?2a?6=0. ……5 分 将 y1y2=?4a,y2=4m?y1 代入上式,得(?2m+3?a)y1+(2a+4m?6)=0. 即(?2m+3?a)(y1?2)=0. 因此式对任意 y1≠2 都成立,所以?2m+3?a=0,即 3=2m+a, 因此直线 x=my+a 过定点 Q(3,2). ……10 分 (2)由(1)可设直线 AB 的方程为 x?3=m(y?2), 与抛物线方程联立得 y2?4my+4(2m?3)=0.则 y1+y2=4m,y1y2=4(2m?3), 1 S△ABC= |CQ|?|y1?y2|=|y1?y2|= ( y1 + y2 ) 2 ? 4 y1 y2 =4 (m ? 1) 2 + 2 . 2 所以当 m=1 时,△ABC 面积的最小值为 4 2 . ……20 分

化简得,y? y0=

参考答案及评分标准 (第 3 页 共 4 页)

16、已知 a 为实数,函数 f(x)=|x2?ax|?lnx,请讨论函数 f(x)的单调性. 解:由条件知函数 f ( x) 的定义域为 (0, +∞) . (1) 若 a≤0,则 f(x)= x2?ax?lnx, 于是 f ′( x) = 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 = ,令 f ′( x) = 0 ,得 x x

x1 =

a ? a2 + 8 a + a2 + 8 >0. < 0 , x2 = 4 4

所以, f ( x) 在(0,

a + a2 + 8 a + a2 + 8 )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增.……5 分 4 4 2 ? ? x ? ax ? ln x ,当x ≥ a 时 (2)若 a>0,则 f(x)= ? 2 , ? ?? x + ax ? ln x ,当0<x<a 时

① 先讨论 g(x)=x2?ax?lnx (x≥a)的单调性.

g′ (x)=2x?a?


1 2 x 2 ? ax ? 1 a + a2 + 8 = .令 g′ (x)=0,得 x= >0, x 4 x

a + a2 + 8 >a,即 a<1 时, 4

g(x)在(a,


a + a2 + 8 a + a2 + 8 )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增; 4 4

a + a2 + 8 ≤a,即 a≥1 时,g(x)在(a,+∞)上单调递增. 4 ② 再讨论当 a>0 时,h(x)=?x2+ax?lnx (0<x<a)的单调性. 1 ?2 x 2 + ax ? 1 h′ (x)=?2x+a? = . x x

……10 分

当Δ=a2?8≤0,即 0<a≤ 2 2 时,h′ (x)≤0,h(x)在(0, a)上单调递减; 当Δ=a2?8>0,即 a> 2 2 时, 令 h′(x)= 0,得 0 < x1 = 所以 h(x)在(0, 在( 综上可得: ① 当 a<1 时,f(x)在(0,
a + a2 + 8 a + a2 + 8 )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增; 4 4 a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 ),( ,a)上单调递减, 4 4 a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 <a, 0 < x2 = <a, 4 4

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 ),( ,a)上单调递减, 4 4

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 , )上单调递增. 4 4

……15 分

② 当 1≤a≤ 2 2 时,f(x)在(0, a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增; ③ 当 a> 2 2 时,f(x)在(0, 在(

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 , ),(a,+∞)上单调递增. 4 4

……20 分

参考答案及评分标准 (第 4 页 共 4 页)


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