16.4组合

复 习

（1）一个排列的定义 一般地说，从n个不同元素中，任取m个（m≤n）元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

· · · · ·

（2）排列数的定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的 个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 记作 （3）排列数公式

n! ? ?n ? m ? !

观 察 与 思 考

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要 多少种不同的飞机票？并写出所有的排列. 2.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以得多 少个差？写出所有的等式. 3.在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有 多少种不同的飞机票价？ 4.有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和的 个数是多少 ？

思考： 题1与题3这两个题目结果是否一样? 为什么？ 结果不一样。 飞机票的种数与起点站、终点站有关，也就是与顺 序有关。 但飞机票价只与起点和终点站之间的距离有关， 也就是与顺序无关。

观 察 与 思 考

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需 要多少种不同的飞机票？并写出所有的排列. 2.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以得多 少个差？写出所有的等式.

3.在北京、上海、广州三个民航2站之间的直达航线，有 多少种不同的飞机票价？ 4.有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和个数 是多少 ？ 3个

思考： 题2与题4这两个题目结果是否一样?
结果不一样。

为什么？

两个数的差与减数、被减数有关，也就是与两个数 的顺序有关。
但两个数的和只与两个数的大小有关，而与两个 数的顺序无关。

3.在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线， 有多少种不同的飞机票价？ 4.有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和个数是多少 ？ 思考： 3、4两个问题的共同点是什么？ 从三个不同的元素中任取两个，不管怎样的顺序并成 一组，求一共有多少个不同的组。 一个组合的概念 一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 组合数的概念 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

记作

Cm n

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需 要多少种不同的飞机票？并写出所有的排列. 2.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以得多 少个差？写出所有的等式.

3.在北京、上海、广州三个民航2站之间的直达航线，有 多少种不同的飞机票价？
4.有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和个数 是多少 ？ 思考: 考虑一个排列和一个组合的共同点与不同点 是什么？ 共同点： 都是从n个不同元素中取出m（m≤n）元素 不同点： 排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关

练习:

判断下面的问题中，哪一问是排列问题？ 哪一问是组合问题？

1、一条铁路线上有5个火车站：

①需准备多少种不同的普通客车票?
② 有多少种票价不同的普通客车票?

排列问题 组合问题

2、平面上有5个点（无三点共线）
①过任意两点可连多少条线段？ ②以其中任意一个点为端点过另外一点 组合问题

可做多少条射线？

排列问题

3、某班45个同学：
①选出5人来组成班委会，共有多少种选法？ 组合问题

② 选出5人来来分别担任正、副班长、学习委员、
宣传委员、体育委员，有多少种不同的选法? 排列问题

4.某班某小组五名同学在暑假里互相都通信一次, 打电话 一次，通信的封数与打电话的次数是否相等？

答:

不相等. 通信封数与顺序有关, 而打电话的次数与顺序无关.

组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数，可以分为以下2步：
n 个不同元素中取出 m个元素 第1步，先求出从这 m Cn 的组合数 ．

第2步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数
m m m P ? C ? P 根据分步计数原理，得到： n n m

m P． m

m P n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? m n 因此： Cn ? m ? Pm m! * m 、 n ? N 这里 ，且 m ? n ，这个公式叫做组合

数公式．

Pn ? Cn ? Pm
组合数公式:
m m

m

m

m

Cn

Pn n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? ? ? m m! Pm

Cn

m

n! ? m!?n ? m ? ! 我们规定：Cn 0 ? 1.

例题分析
例1计算：⑴

C

4 7
3

⑵

C
2

7 10

?3?已知Cn
m n

?P n , 求n

m ? 1 m?1 例2 求证 : C ? ? Cn . n?m

提出问题

1、从5个不同颜色的球中
(1)任取3个球有多少种不同的取法？ (2)任取2个球有多少种不同的取法？

3 C5 2 C5 =

= 10 10
2

C5 = C 5
7 10

3

3 2. 计算：C 10

7 C10

C

3 10

?C

Cn ? Cn

m

n-m

?

性质1：

m Cn =

Cn

n-m

等式特点：等式两边下标相同， 上标之和等于下标．

探索：一个口袋内装有大小不相同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ C8=56
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 2 有多少种取法？ C7=21 （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 3 多少种取法？ C7=35
3

发现

3 2 3 C 8 = C7 + C 7

探索后的思考:
特例:
猜想:
3 2 3 C 8 = C7 + C 7
4 3 C10 = C9

?+?

+ C4 9

16 15 16 C49 + C49 = C ? 50

? m Cn+1 = C? + C n n
m m-1 Cn+1 = C n +

Cn

m

性质2:
说明：

C

m n?1

?Cn ?Cn .

m

m ?1

1. 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和， 等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相 同的一个组合数。 2. 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习 “二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

练习与巩固
例1、计算：（1）C100 （2）C2006
例2、(1)已知 C n = Cn ，求n的值
（2）已知 C18 = C18 ，求n的值
n 3n-6 13 7 98 2005

练习： 已知 C15 = C15 ，求x的值

x2

2x

例3、（1）求证：Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1 (2)求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值
2 2 2 2 2 2

m

m-1

m

m-1

练习：1、 C100－C99 =（ ）
11
9 10

90

89

C 99 C、 C99 D、 C100 B、 C100 A、

12

2、求 C ? 2C ? C 的值 7 7 x C = C + C 3、已知 12 11 11 , 求x的值
97 98 96 98 95 98
2

4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值

2

2

2

2

2

组合的应用

例1（1）平面内有10个点，以其中每两个为端点的线

段共有多少条? （2）平面内有10个点，以其中每两个为端点的有向 线段共有多少条?
解： 例2
2 10

有13个队参加篮球赛，比赛时先分成两组，第一 组7个队，第二组6个队。各组都进行单循环赛(即每队 都要与本组其它各队比赛一场)，然后由各组的前两名 共4个队进行单循环赛决出冠军、亚军，共需要比赛多 少场?

10 ? 9 2 (1)C ? ? 45. (2) P 10 ? 10 ? 9 ? 90. 1? 2

(C7 ? C ? C
2 2 6

2 4

? 21 ? 15 ? 6 ? 42)

例3 在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检 验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?

C

3 100

? 161700;

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

C C ? 9506;
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? ①C
1 2 2 98 3 100

1 2

2 98

C ?C C
2 2

1 98

C

?C

3 98

说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接 法求解。

练习：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；

(1)C C ? 36 (2)C C ? 126
3 2 3 9 0 5 3 9 1 4 1 9 1 4 3 9

(3)C C ? 126 (4)C C ? 378 2 3 1 4 0 5 (5)方法一：C3 C9 ? C3C9 ? C3 C9 ? 756 5 3 2 方法二：C12 ? C3 C9 ? 756 3 2 2 3 1 4 (6)方法一：C3 C9 ? C3 C9 ? C3C9 ? 666

方法二：C ? C C ? 666
5 12 0 3 5 9

说明：当至多(至少)中包括的情况很多时，用间接法比 直接法简单的多。

注意：对于排列组合的混合应用题，一般解法是先取后排。 例4 从6名男生和4名女生中，选出3名男生和3名女生，

排成一排，且男女生必须相间，有多少种不同的排法？

C6 ? C4 ? P3 ? P3 ? 2
练习1：某学习小组有8个同学，从男生中选出两人，女

3

3

3

3

生选一人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均 有一人参加，共有180种不同的选法，那么这个小组内 男、女生各有几名？
1 3 Cx ? C8? x ? P3 2

? 180

例5：9本不同的书分给3人，全部分完， （1）每人得3本，有几种不同的分法？

C9 ? C6 ? C3
1 C9

3

3

3

（2）甲得一本，乙得两本，丙得六本，有几种不同的分法？

? C8 ? C6
2 6

2

6

（3）一人一本，一人两本，一人六本，有几种不同的分法？
1 C9

? C8 ? C6
2 2

3 ?P 3

（4）一人得5本，另两人一人2本，有几种不同的分法？

C9

5

C4 ? C2 2 P2
2

?P 3

3

练习： 平面内有 10 个点，其中 有某4个点在一条直线上，此外 没有3个点在一条直线上。 （1）可以确定多少条直线？
（2）可以确定多少个三角形？ （3）可以确定多少个四边形？