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高一数学必修4第一章(第11课时)三角函数的诱导公式(三)


苏教版必修 4 第一章 三角函数(第 11 课时)

江苏省西亭高级中学2013-7-9



题:1.2.3

正弦、余弦的诱导公式(三)

教学目的: 能熟练掌握诱导公式一至五,并运用求任意角的三角函数值,同时 学会关于 90? k ± ?, 270? ± ?四套诱导公式,并

能应用,进 行简单的三角函数式的化简及论证。 教学重点:诱导公式 教学难点:诱导公式的灵活应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 诱导公式一(其中 k ? Z ): 用弧度制可写成

sin(? ? k ? 360?) ? sin ? cos(? ? k ? 360?) ? cos? tan( ? k ? 360?) ? tan? ?
公式二:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? 2k? ) ? tan? ?
用弧度制可表示如下:

sin(180? ? ?) -sin? ? cos(180? ? ?) -cos? ? tan( ? ? ?) tan? 180 ? ? 公式三: sin(??) -sin? cos(??) cos? ? tan(??) ?tan? ?
公式四:

sin(? ? ?) -sin? ? cos(? ? ?) -cos? ? tan( ? ?) tan? ? ?

用弧度制可表示如下:

sin(180? ? ?) sin? ? cos(180? ? ?) -cos? ? tan( ? ? ?) ?tan? 180 ?
公式五:

sin(? ? ?) sin? ? cos(? ? ?) -cos? ? tan( ? ?) ?tan? ? ?
用弧度制可表示如下:

sin(360? ? ?) -sin? ? cos(360? ? ?) cos? ? tan( ? ? ?) ?tan? 360 ?

sin(2? ? ?) -sin? ? cos(2? ? ?) cos? ? tan(2? ? ?) ?tan? ?

1.2.3 正弦、余弦的诱导公式(三)第1页(共4页)

苏教版必修 4 第一章 三角函数(第 11 课时)

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二、讲解新课: 诱导公式 6: sin(90? ??) = cos?, tan(90? ??) = cot?, sec(90? ??) = csc?, 诱导公式 7:

cos(90? ??) = sin?. cot(90? ??) = tan?. csc(90? ??) = sec?

P

?

sin(90? +?) = cos?, cos(90? +?) = ?sin?. tan(90? +?) = ?cot?, cot(90? +?) = ?tan?. sec(90? +?) = ?csc?, csc(90?+?) = sec? 如图所示 sin(90? +?) = M’P’ = OM = cos?

M M' O P'

cos(90? +?) = OM’ = PM = ?MP = ?sin? 或由 6 式:sin(90? +?) = sin[180?? (90? ??)] = sin(90? ??) = cos? cos(90? +?) = cos[180?? (90? ??)] = ?sin(90? ??) = ?cos? 诱导公式 8: sin(270? ??) = ?cos?, cos(270? ??) = ?sin?. tan(270? ??) = cot?, cot(270? ??) = tan?. sec(270? ??) = ?csc?, csc(270???) = sec? 诱导公式 9: sin(270? +?) = ?cos?, cos(270? +?) = sin?. tan(270? +?) = ?cot?, cot(270? +?) = ?tan?. sec(270? +?) = csc?, csc(270?+?) = ?sec? 三、讲解范例:

? 3? ? sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) sin(4k? ? ? ) sin( ? ? ) 2 2 2 例 1 求证: ? ? tan(2k? ? ? ) ? cot(?k? ? ? ) cos(5? ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 cos ? ? sin ? sin ? cos ? 证: 左边 ? ? ? tan ? ? cot ? cos ? ? sin ? ?s i n cos ? ? s i n cos ? ? 右边 ? ? ?cos ?s i n ? ? cos ?s i n ? ?
左边 = 右边 例 2 求 cos 2 ( ∴等式成立

? ? ? ?) ? cos 2 ( ? ?)的值。 4 4

? ? ? ? ? ? ( ? ? )] ? cos 2 ( ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ) ? cos 2 ( ? ? ) ? 1 2 4 4 4 4 1 例 3 已知 sin ? ? , sin( ? ? ?) ? 1, 求 sin( 2? ? ?) 3
解: 原式 ? cos 2 [

1.2.3 正弦、余弦的诱导公式(三)第2页(共4页)

苏教版必修 4 第一章 三角函数(第 11 课时)

江苏省西亭高级中学2013-7-9

解:? sin(? ? ? ) ? 1

? ? ? ? ? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

从而 sin( 2? ? ?) ? sin[ 2(2k? ? 例 4 若 f (cosx) ? cos17x, 解:

? 1 ) ? ?] ? sin( 4k? ? ? ? ?) ? sin ? ? 2 3

求 f (sin x)

f (sin x) ? f [cos(90? ? x)] ? cos[17(90? ? x)]

? cos(4 ? 360? ? 90? ?17x) ? cos(90? ?17) ? sin 17x
四、课堂练习: 1.计算:sin315??sin(?480?)+cos(?330?) 解:原式 = sin(360??45?) + sin(360?+120?) + cos(?360?+30?) = ?sin45? + sin60? + cos30? = 3 ?

2 2

2.已知 cos( ? ?) ?

? 6

3 5? ,求 cos( ? ?)的值。 3 6

解: cos(

5? 5? ? 3 ? ?) ? ? cos[? ? ( ? ?)] ? ? cos( ? ?) ? ? 6 6 6 3
cos(k? ? ?) cos(k? ? ?) ? ?1, k ? Z sin[(k ? 1)? ? ?] cos[(k ? 1)? ? ?]
则:

3.求证:

证:若 k 是偶数,即 k = 2 n (n?Z)

左边 ?

cos(2n? ? ? ) cos(2n? ? ? ) ?si n c o? ? s ? ? ?1 sin[2n? ? (? ? ? )]cos[2n? ? (? ? ? )] ? s i n (? c o ? ) ? s
则:

若 k 是奇数,即 k = 2 n + 1 (n?Z)

左边 ?

cos[2n? ? (? ? ?)]cos[2n? ? (? ? ?)] sin ?(? cos?) ? ? ?1 sin[2(n ? 1)? ? ?)]cos[2(n ? 1)? ? ?)] sin ? cos?

∴原式成立 4.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

1.2.3 正弦、余弦的诱导公式(三)第3页(共4页)

苏教版必修 4 第一章 三角函数(第 11 课时)

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解: ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴

∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且 cos? ? 0

原式 ?

sin ? ? 5 cos ? ? 2 cos ? ? 5 cos ? 3 cos ? 3 ? ? ?? ? 2 cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 4 cos ? 4
2

5.已知 tan( ? ? ) ? a , | cos(? ? ? ) |? ? cos? , ?



1 cos(? ? ? )

的值。

解:由题设: tan? ? ?a 2 ? 0, | cos? |? ? cos?, 即cos? ? 0 由此:当 a ? 0 时,tan? < 0, cos? < 0, ?为第二象限角,

?原式 ? ?

1 ? ? sec ? ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? a 4 cos ?
? = k?, ∴cos? = ±1,

当 a = 0 时,tan? = 0, ∵ cos ? ? 0 ∴cos? = ?1 ,

? 原式 ? ?

1 ? 1 ? 1 ? a 4 (a ? 0) cos ?

综上所述:

1 ? 1? a2 cos(? ? ?)

6.若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。 解:原方程变形为:2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0 ∴ a ? 2 sin x ? sin x ? 2 ? 2(sin x ? ) ?
2 2

1 4

17 8

∵? 1≤sinx≤1

a ∴ 当sin x ? ? 时, min ? ?
∴a 的取值范围是[ ?

1 4

17 ; 当sin x ? 1 时,max ? 1 a 8

17 , 1] 8

五、回顾小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤:1?用“? ?”公式化为正角的三角 函数;2?用“2k? + ?”公式化为[0,2?]角的三角函数;3?用“?±?”或“2? ? ?” 公式化为锐角的三角函数 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:

1.2.3 正弦、余弦的诱导公式(三)第4页(共4页)


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