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浙江省杭州十四中2012届高三3月月考试题数学理


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2012 届杭州市第十四中学高三 3 月月考
数学(理科)试题(2012.3)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生

按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 柱体的体积公式

P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式

如果事件 A,B 相互独立,那么

P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k P ? k ? ? Cn pk ?1 ? p ? n n?k

1 V ? Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式

, ? k ? 0,1, 2,?, n ?

台体的体积公式

S ? 4πR 2

1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

?

?

球的体积公式

其中 S1 , S 2 分别表示台体的上底、下底面积, h 表示台体的高

V?

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1) 若 x∈R.则“(x-1)(x+3)<0”是“(x+1)(x-3)<0”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 z z (2) 设复数 z1=1+i,z2=1-i(i 是虚数单位) ,则 1 ? 2 = z 2 z1 (A) -i (B) i (C) 0 (D) 1 (3) 设 α,β,γ 是三个互不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是 (A) 若 α⊥ β,β⊥ γ,则 α⊥ γ (B) 若 α//β,m ? β,m//α,则 m//β (C) 若 α⊥ β,m⊥ α,则 m//β (D) 若 m//α,n//β,α⊥ β,则 m⊥ n (4) 若要得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象,只需将曲线 y= 2 sin2x 上所有的点

π 个单位 4 π (C) 向左平移 个单位 8
(A) 向左平移

(5) 设点 O 是边长为 1 的正△ABC 的中心(如图所示) ,则 (OA ? OB) ? (OA ? OC ) = A 1 1 (A) (B) ? 9 9
·1· B O (第 5 题) C

π 个单位 4 π (D) 向右平移 个单位 8? ??? ??? ??? ???? ? ?
(B) 向右平移

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(C)

1 6

(D) ?

1 6

·2·

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(6) 设某程序框图如图所示,则输出的 s 的值为 (A) 102 (B) 410 (C) 614 (D) 1638 (7) 设数列{an}, n}都是公差为 1 的等差数列, {b 其首项分别为 a1, 1. b 若 5,a1>b1(a1,b1,n∈ ,则数列 {abn } 的前 10 项的和等于 N*) (A) 55 (B) 70 (C) 85 (D) 100 2 2 (8) 若圆 C:x +y +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则 (a,b)向圆所作的切线长的最小值是 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (9) 有 9 名翻译人员,其中 6 人只能翻译英语,2 人只能翻译韩语,另 既可翻译英语也可翻译韩语.从中选出 5 人分别接待 5 个外国旅游 中两个旅游团需要韩语翻译,另外三个需要英语翻译,则不同的选 数为 (A) 900 (B) 800 (C) 600 (D) 500 (10) 设 P(x,y),Q(x′,y′) 是椭圆

a1+b1=





(第 6 题)

外 1 人 团,其 派方法

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上的两点,则下列四个结论: a 2 b2
2

① a2+b2≥(x+y)2;② 其中正确的个数为 (A) 1 个 (C) 3 个

a2 b2 1 1 ?1 1? xx? yy ? ? 2 ? ? ? ? ;③ 2 ? 2 ? 4 ;④ 2 ? 2 ? 1 . 2 x y a b? x y a b ?

(B) 2 个 (D) 4 个 ks5u

非选择题部分 (共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. (11) 若 (2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则 a2+a3=____. (12) 如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, 则该几何体的体积是____. 1 cos 2? ? π? (13) 若 sinα= +cosα( ? ? ? 0, ? ) ,则 的值为 ____. π? 2 ? ? 2? sin ? ?
? ? ? 4?

(14) 设袋中有大小质地均相同的 4 个红球与 2 个白球.若从中 的依次取出一个球, 6 次取球中取出红球的次数为 ξ, 记 则 望 Eξ=____. ?x ? 3y ? 0 ? 2 2 (15) 若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 0 ,则 x +y 的最 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ? ____. (16) 设双曲线

有放回 ξ 的期

(第 12 题)

大值是

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,两曲线的一个交点为 a2 b2 P.若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为____.
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1 ?1 ? ln x (17) 设存在实数 x ? ? ,3 ? ,使不等式 t ? ? x ? e 成立,则实数 t 的取值范围为____. 2 ? x ?
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

π? π? ? ? (18)(本题满分 14 分)已知函数 f (x)= 3 sinωx+ cos ? ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? ? 1 (ω>0,x∈ , R) 3? 3? ? ? 且函数 f (x) 的最小正周期为 π. (Ⅰ )求函数 f (x) 的解析式; ??? ??? 3 3 ? ? (Ⅱ )在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 f (B)=1, BA ? BC ? , 2 且 a+c=4,试求 b2 的值.
(19)(本题满分 14 分)设数列 {an} 中,a1=a,an+1+2an=2n 1(n∈ . N*) (Ⅰ )若 a1,a2,a3 成等差数列,求实数 a 的值; (Ⅱ)试问数列 {an} 能为等比数列吗?若能,试写出它的充要条件并加以证明;若不能,请说 明理由. (20)(本题满分 14 分)若将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个直二面角,且 EA⊥ 平面 ABD,AE=a(如图) . (Ⅰ )若 a ? 2 2 ,求证:AB//平面 CDE;ks5u (Ⅱ )求实数 a 的值,使得二面角 A-EC-D 的大小为 60° .
E


C A D

B
2

(第 20 题)
2

(21)(本题满分 15 分)已知椭圆 C:

x y 1 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 2 a b 2 的短半轴为半径的圆与直线 x-y+ 6 =0 相切.又设 P(4,0),A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的 任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; ??? ??? ? ? (III)求 OB ? OE 的取值范围.


(22)(本题满分 15 分)设函数 f (x)=ax-lnx-3(a∈ ,g(x)=xe1 x. R) (Ⅰ )若函数 g(x) 的图象在点 (0,0) 处的切线也恰为 f (x) 图象的一条切线,求实数 a 的值; - (Ⅱ )是否存在实数 a,对任意的 x∈ (0,e],都有唯一的 x0∈ 4,e],使得 f (x0)=g(x) 成 立 . 若 [e 存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 注:e 是自然对数的底数.

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三月考参考答案 DCBCD BCCAD 8. D. an ? an?1 ? n ? 2 ( n ? 2 ) an ? 5 ? , 11. 40 12.

(n ? 6)(n ? 1) 2
14.4

2011 , a2012 -5=1009× 16. y ? ? 3x 17.t ?

3 ? 6

13.?

14 2

15.5

1 3

π? ? 18.解: (1) f ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 1 ? 2sin ? ? x ? ? ? 1 ,3 分 6? ? 又 T ? π ,? ? ? 2 , 5 分 π? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 ; 6 分 6? ?
π? π? π π ? ? (2) f ? B ? ? 2sin ? 2 B ? ? ? 1 ? 1,? sin ? 2 B ? ? ? 1 ,?2B ? ? 2k? ? , ? k ? Z? , 6? 6? 6 2 ? ?

π π 9分 ? k ? Z? ,又 B 是 ?ABC 的内角,? B ? ; 6 6 ??? ??? ? ? 3 3 而 BA ? BC ? ca cos B ? ,? ac ? 3 , 11 分 2 又 a ? c ? 4 ,? a 2 ? c 2 ? 10 ,ks5u ?b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ? 10 ? 3 3 . 14 分 19. 解(Ⅰ a1 ? a, a2 ? ?2a ? 4, a3 ? 4a , ) 8 因为 2a2 ? a1 ? a3 ,所以 2(?2a ? 4) ? a ? 4a ,得 a ? 4分 9 a a (Ⅱ )方法一:因为 an?1 ? 2an ? 2n?1 (n ? N * ) ,所以 n?1 ? n ? 1 , n ?1 2 2n a a 1 1 得: n?1 ? ? ?( n ? ) , n ?1 2 2 2n 2
解得 B ? k? ? 当 a ? 1 时, an ? 2n ,显然成立;

1? a 1 a 1 ?a 当 a ? 1 时, ? n ? ? 是以 1 ? ? ? 为首项,-1 为公比的等比数列, n 2? 2 2 2 2 ?2
所以

an 1 a 1 1 a 1 ? ? ( ? ) ? (?1)n?1 ,得: an ? 2n [ ? ( ? ) ? (?1)n?1 ] n 2 2 2 2 2 2 2 a 1 1 a 1 n ?1 1 n 2 [ ? ( ? ) ? (?1) ] ? ( ? ) ? (?1) n an ?1 2 2 2 ? ? 2? 2 2 2 a 1 1 a 1 an n 1 n ?1 2 [ ? ( ? ) ? (?1) ] ? ( ? ) ? (?1) n ?1 2 2 2 2 2 2 a a ?an ? 为等比数列 ? n ?1 为常数,易得当且仅当 a ? 1 时, n?1 ? 2 为常数。 an an

方法二:因为 an?1 ? 2an ? 2n?1 (n ? N * ) ,所以 an?1 ? 2n ? ?2(an ? 2n?1 ) , 即

an ?1 ? 2n ? ?2 ,故 an ? 2n?1 是以 a1 ? 20 ? a ? 1 为首项,-2 为公比的成等比数列, an ? 2n ?1

?

?

所以 an ? 2n?1 ? (a ? 1)(?2)n?1 ,得: an ? (a ? 1)(?2)n?1 ? 2n?1 (下同解法一) 方法三:由前三项成等比得 a ? 1 ,进而猜测 a ? 1 ,对于所有情况都成立,再证明。 20.解: (1)如图建立空间指教坐标系,则
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A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, 2 2 ), ks5u ??? ? ???? ???? AB ? ? 2,0,0 ? , DE ? 0, ?2, 2 2 , DC ? 1, ?1, 2 2分 ?? ? 设平面 CDE 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,则有 ?2 y ? 2 2z ? 0, x ? y ? 2z ? 0 , ?? ? 取 z ? 2 时, n1 ? 0, 2, 2 4分 ??? ?? ? ? 7分 ? AB ? n1 ? 0 ,又 AB 不在平面 CDE 内,所以 AB // 平面 CDE ; (2)如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, a ), ???? ???? DE ? ? 0, ?2, a ? , DC ? 1, ?1, 2 , ?? ? 设平面 CDE 的一个法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则有

?

?

?

?

?

?

?

?

?2 y ? az ? 0, x ? y ? 2z ? 0 , ?? ? 取 z ? 2 时, n2 ? a ? 2 2, a, 2 9分 ?? ? 又平面 AEC 的一个法向量为 n3 ? ? ?1,1,0? , 10 分 ?? ?? ? ? n2 ? n3 1 因为二面角 A ? EC ? D 的大小为 60? ,? ?? ?? ? , ? ? n2 n3 2

?

?

即 a2 ? 2 xa ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 ? 2 又 a ? 0 ,所以 a ? 2 ? 2 . 注:几何解法相应给分. 21.解: (1)由题意知 e ? 15 分

14 分

c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b2 , ? ,? e 2 ? 2 ? a a2 4 a 2 3 x2 y2 6 ?1 ? 3 ,? a 2 ? 4, b2 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 ? 又b ? 3 分 ks5u 4 3 1?1 (2)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ? x ? 4?? k ? 0? ,

? y ? k ? x ? 4? 由? 2 ,德 4k 2 ? 3 x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ① 3x ? 4 y 2 ? 12 ? 32k 2 64k 2 ? 12 , x1 x2 ? 设点 B ? x1 , y2 ? , E ? x2 , y2 ? ,得 x1 ? x2 ? 2 5分 4k ? 3 4k 2 ? 3

?

?

?? ? ? 32k 2 ? ? 4 ? 4k 2 ? 3?? 64k 2 ? 12 ? ? 0 ,即 0 ? k 2 ?
2

又 A? x1 , ? y1 ? ,直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?

y2 ? x2 ? x1 ? y2 ? y1

y2 ? y1 ? x ? x2 ? , x2 ? x1

1 , 4

6分 7分



将 y1 ? k ? x1 ? 4? , y2 ? k ? x2 ? 4? 代入整理得 x ? 由① 得,代入② 整理得 x ? 1 , 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ?1,0 ? ;

2 x1 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 8
11 分



9分

??? ??? ? ? (3)由(2)有 OB ? OE ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? 4k 2 ? x1 ? x2 ? ? 16k 2
·6·

100k 2 ? 12 87 ? 13 ? 15 分 ? 25 ? 2 ? ?4, ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k ? 3 ? 4? ? 22.解: (1)? g ' ? x ? ? ?1 ? x ? e1? x ,? g ' ? 0? ? e ,所以 g ? x ? 的图象在 ? 0,0 ? 处的切线方程是 y ? ex ; 2分 1 设 y ? ex 与 f ? x ? 的图象切于点 ? x0 , y0 ? ,而 f ' ? x ? ? a ? , x 1 ? a ? ? e 且 ax0 ? ln x0 ? 3 ? ex0 ,解得 a ? e 2 ? e ; 5 分 x0 ? ?
(2)? g ' ? x ? ? ?1 ? x ? e1? x ,? g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1,e? 上单调递减, 且 g ? 0? ? 0, g ?1? ? 1, g ? e ? ? e2?e ? ? 0,1? ,? g ? x ? ? ? 0,1? ; 立. 9分 8分

?k

2

? 1?? 64k 2 ? 12 ? ? 4k 2 ? 32k 2 ? 16k 2 ? 4k 2 ? 3?

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若令 m ? g ? x? ,则原命题等价于对于任意 m? ? 0,1? ,都有唯一的 x0 ? ?e?4 , e? ,使得 f ? x0 ? ? m 成 ? ?

1 1 而 f ' ? x ? ? a ? , x ? ?e?4 , e ? , ? ?e?1 , e4 ? ? ? ? x ? x ①当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ?e?4 , e ? 上单调递减,要满足条件,则必须有 ? ?
ks5u

f max ? f ? e?4 ? ? ae?4 ? 1 ? 1,且 fmin ? f ? e? ? ae ? 4 ? 0 ,无解,所以此时不存在满足条件的 a ;10 分

②当 0 ? a ? e?1 , f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ?e?4 , e ? 上单调递减,要满足条件,则必须有 ? ?

4 f max ? f ? e?4 ? ? ae?4 ? 1 ? 1,且 fmin ? f ? e? ? ae ? 4 ? 0 ,解得 0 ? a ? ,? 0 ? a ? e?1 ;11 分 e ? ?4 1 ? ?1 ? ?1 4 ③ e ? a ? e 时, f ? x ? 在区间 ? e , ? 上单调递减,在 ? ,e ? 上单调递增, 当 a? ? ?a ? 4 ?1? 又 f ? e?4 ? ? ae?4 ? 1 ? 1 ,要满足条件,则 f min ? f ? ? ? f ? e ? ? ae ? 4 ? 0 ,解得 a ? , e ?a? 4 ?e?4 ? a ? ; 12 分 e ④ a ? e 4 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ?e?4 , e ? 上单调递增, 当 ? ?
又 f min ? f e?4 ? ae?4 ? 1 ? 1 ,所以此时不存在 a 满足条件; 综上有 0 ? a ?

? ?

13 分

4 . e

15 分

·7·


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