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江苏省扬州中学2013届高三12月质量检测数学试题


扬州中学 2012-2013 学年度第一学期质量检测

高三数学试卷 2012.12
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A ? {2,3}, B ? {1, a}, 若A ? B ?{2}, 则A ? B ? 2.“ x ? 1 ” 是 “ ▲ .

1 ? 1” 的 x


>
条件.

3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 16





4.复数

i 在复平面内对应的点位于第 1? i
2



.象限.

5.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 x ?

y2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 3

▲ ▲

. . ▲ .

6. 若圆 x 2 ? y 2 ? 9 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 l 对称,则 l 的方程为 7.公差不为零的等差数列 {an } 的第二、三及第六项构成等比数列,则

a1 ? a 3 ? a 5 = a2 ? a4 ? a6

8.设 ? , ? 为使互不重合的平面, m, n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若m / / n, n ? ? , 则m / /? ③ 若? / / ? , m ? ? , n ? ?,则m / / n 其中正确命题的序号为 ▲ . ② 若m ? ? , n ? ? , m / / ?,n / / ?,则? / / ? ④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ;

? 2 x ? y ? 0, ? 9.若实数 x 、 y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 ? y ? ? x ? b, ?





10.已知函数 f ? x ? ? sin ?x ? 3cos ?x ? x ?R ? , f (? ) ? ?2 , f ? ? ? ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值为 正数 ? 的值为 ▲ .

? ,则 4

11.设 M 是 ?ABC 内一点, AB AC ? 2 3, ?BAC ? 30°,定义 f ( x) ? (m, n, p) ,其中 m, n, p 分 · 别是 ?MBC, ?MAC, ?MAB 的面积,若 f (Q ) ? ( , x, y ) ,则

??? ??? ? ?

1 2

1 4 ? 的最小值是 x y



.12. 已

x2 y 2 知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F , P 点在椭圆上,以 P 点为圆心的圆与 y 轴相切,且同时 a b

·1·

与 x 轴相切于椭圆的右焦点 F ,则椭圆
3 2

y2 x2 ? ? 1 的离心率为 a2 b2





13.若关于 x 的方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根可分别作为一个椭圆、双曲线、抛物线的离心率, 则

b 的取值范围为 a





y2 ? x 2 ? 1的焦点并且与椭圆相交于 P ,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 14. 已知直线 l 经过椭圆 2

x 轴相交于点 M ,则 ?MPQ 面积的最大值为
二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本题满分 14 分)





如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 ,点 D 是 AB 的中点, ⑴ 求证: 平面ACC1 ? 平面BCC1 ; ⑵ 求证: AC1 / / 平面CDB1

16. (本题满分 14 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边, cos A ? (1)求角 C 的值; (2)若 a ? 4 ,求△ABC 面积.

5 , tan B ? 3 . 5

17. (本题满分 15 分)
·2·

为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,采用了新工艺,把二氧化碳转化 为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨, 最多为 600 吨, 月处理成本 y(元) 与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为: y ? 氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才 能使该单位不亏损?

1 2 x ? 200 x ? 80000 ,且每处理一吨二 2

18. (本题满分 15 分) 在平面内,已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,椭圆的离心率为 , P 点是椭 2 a b 2

圆上任意一点, 且 PF ? PF2 ? 4 , 1 (1)求椭圆的标准方程; (2)以椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC ,这样的等腰直角三角形是 否存在?若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程?若不存在,请说明理由.

19. (本题满分 16 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 2 , S5 ? 15 ,数列 ?bn ? 满足:
·3·

b1 ?

1 1 , 2bn ?1 ? (1 ? )bn , 2 an

(1)求数列 {an } 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , cn ?

1 2 ? Tn ,证明: c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2 4Sn

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

x3 ? 2 x 2 ? 5 x ? t ex

(1)当 t ? 5 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若存在 t ?[0,1] ,使得对任意 x ? [?4, m] ,不等式 f ( x) ? x 成立,求整数 m 的最大值.

扬州中学 2012-2013 学年度第一学期质量检测

高三数学试卷(附加题部分)
(总分 40 分,加试时间 30 分钟) 1. (本题满分10分) 设矩阵 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到3倍,纵坐标伸长到2倍的伸压变换矩阵. (1)求逆矩阵 M (2)求椭圆
?1



x2 y 2 ? ? 1 在矩阵 M ?1 作用下变换得到的新曲线的方程. 9 4

·4·

2. (本题满分 10 分) 已知曲线 C : ?

? x ? 3cos ? ,直线 l : ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 12 ? y ? 2sin ?

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值。

3. (本题满分 10 分) 如图,已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=2,OB=3,OC=4,E 是 OC 的中 点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-BE-C 的余弦值.

4. (本题满分 10 分) 设二项展开式 Cn ? ( 3 ? 1)2n?1 (n ?N* ) 的整数部分为 An ,小数部分为 Bn . (1)计算 C1 B1 , C2 B2 的值;
·5·

(2)求 C n Bn .

扬州中学高三数学试卷答案 2012.12
1. ?1, 2,3? 6.. y ? x ? 2 2.充分不必要 7. 3. y ? ?2 x 8.④ 4.二 9. 5. 4 10. 2

3 5

9 4

11.1812.

5- 1 2

13. ( ?2, ? ]

1 2

14.

3 6 8
C1 A1 E B

15.证明:⑴∵ ?ABC 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , ∴ AC ? BC 又在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面ABC ∴ AC ? CC1 且 BC ? CC1 ? C , BC,CC1 ? 平面BCC1B1 ∴ AC ? 平面BCC1 而 AC ? 平面ACC1 , ∴ 平面ACC1 ? 平面BCC1 ……7 分
A C D B
1

⑵、设 CB1 与 C1B 的交点为 E ,连结 DE , ∵ D 是 AB 的中点, E 是 BC1 的中点, ∴ DE / / AC1 , ∵ DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , ∴ AC1 / / 平面CDB1 . 16.解: (1)由 cos A ? ……………14 分

5 2 5 得 sin A ? ,? tan A ? 2 , 5 5
tan A ? tan B ? 1, 1 ? tan A tan B
·6·

tan C ? ? tan( A ? B) ? ?

又 0 ? C ? ? ,∴ (2)由

C?

?
4



7分

a c sin C ? ? a ? 10 , 可得, c ? sin A sin C sin A

由 tan B ? 3 得, sin B ?

3 , 10
14 分

所以,△ABC 面积是

1 ac sin B ? 6 2

17. 解: (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

y 1 80000 ? x? ? 200 x 2 x

?2

1 80000 1 80000 ,即 x ? 400 时, x? ? 200 ? 200 ,当且仅当 x ? 2 x 2 x

才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元.…………………7 分 (2)设该单位每月获利为 S , 则 S ? 100 x ? y ? 100 x ? ( x ? 200 x ? 80000) ? ?
2

1 2

1 2 x ? 300 x ? 80000 2

1 ? ? ( x ? 300) 2 ? 35000 2
因为 400 ? x ? 600 ,所以当 x ? 400 时, S 有最大值 ?40000 . 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损.…………15 分 18 . 解 :

? 2a ? 4 ?a ? 2 ? ? (1)由题意得 ? c 3 ,? ? ?c ? 3 ? ? ? 2 ?a

?b ? 1

? 方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 1

---------------------5 分

(2)设 BA 的直线方程为设 y ? kx ? 1 , (不妨设 k ? 0 )
? y ? kx ? 1 ?8k ? 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 , ? x1 ? 0, x2 ? 2 4k ? 1 ?1 ? ? ?4 1

----------------------7 分

? A(

?8k ?8k 2 , 2 ? 1) 4k 2 ? 1 4k ? 1
?8k 2 ?8k 2 8k ) ? ( 2 )2 ? 2 k 2 ?1 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1
·7·

? AB ? (

? BC ?

8 k 2 ?1 k2 ? 4

由 AB ? BC 得 k (k 2 ? 4) ? 4k 2 ? 1 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 3k ? 1) ? 0 ,即 k ? 1 或 k ? 所以,存在 3 个等腰直角三角形。 直角边所在直线方程为 y ? ? x ? 1, y ? 注:求出 y ? ? x ? 1 的给 2 分 19. 解: (1)由题意得 ? 由 2bn ?1 ? (1 ?

3? 5 2

?3 ? 5 ?3 ? 5 x ? 1, y ? x ?1 2 2

………15 分

? a1 ? 1 ?a1 ? d ? 3 ,解得 ? ?d ? 1 ?5a1 ? 10d ? 15

∴ an ? n

…………………3 分

b 1 b 1 )bn ,得 n ?1 ? ? n , n ?1 2 n an

∴数列 { ∴

bn 1 1 } 是等比数列,其中首项 b1 ? ,公比 q ? , 2 n 2
……………………6 分

bn 1 n ? ( ) n , 即bn ? n . n 2 2

注:也可以累乘处理 (2) Tn ?

1 2 3 n 1 1 2 3 (n ? 1) n ? 2 ? 3 ? ? ? n ①, Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 1 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? n ? 1? n ? 2 ∴②-①得: Tn ? ? ? ? ?? ? n ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2
∴ Tn ? 2 ? ∴ cn ?

n?2 2n

………………9 分

2 ? Tn n?2 1 1 ? ? ? n ?1 n 4Sn n(n ? 1)2 n ? 2 (n ? 1) ? 2n ?1
1 1 1 ? ? 1 n ?1 1? 2 (n ? 1) ? 2 2
……………………16 分

∴ c1 ? c2 ? ? ? cn ?

20. 解: (1)当 t ? 5 时, f ( x) ? 其中 x ? x ? 1 ? 0 ,
2

x3 ? 2 x 2 ? 5 x ? t ? x( x 2 ? x ? 1) ,∴ f '( x) ? , ex ex

x

(??, 0)

(0, ??)
·8·

f '( x) f ( x) (0, ??)

?
?

?
?
所 以 , 增 区 间 为 (?? , 0 , 减 区 间 为 )

……………………6 分

综上得: m ? 0

……………………16 分

·9·

附加题答案:
?1 ?3 ?1 1.解: (1) M ? ? ?0 ? ?
2

? 0? ?, 1? 2? ?
2

…………5 分

?1 ?3 x y ? ? 1 上的一点 P( x0 , y0 ) ,它在矩阵 M ?1 ? ? (2)任意选取椭圆 9 4 ?0 ? ?
' ' P '( x0 , y0 ) ,

? 0? ? 对应的变换下变为 1? 2? ?

?1 ?3 则有 ? ?0 ? ?

? 0? ' ' ? x0 ? 3 x0 ? x0 ? ? x0 ? ? ? ? ' ? ,故 ? ? ' 1 ? ? y0 ? ? y0 ? ? y0 ? 2 y0 ? ? ? 2? ?

又因为点 P 在椭圆

x2 y2 9 x' 2 4 y ' 2 x2 y 2 ' ' ? ? 1 上,所以 0 ? 0 ? 1 ,即有 0 ? 0 ? 1 ,因此 x02 ? y02 ? 1 9 4 9 4 9 4
…………10分 …………5 分

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x2 ? y 2 ? 1 从而椭圆 9 4
2.解: (1) x ? 2 y ? 12 ? 0 (2)设椭圆的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? , ? y ? 2sin ?
?
3 4 5 5cos(? ? ? ) ? 12 (其中, cos ? ? ,sin ? ? ) 5 5 5

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 12 5

当 cos(? ? ? ) ? 1时, d min ?

7 5 5

…………10 分

3. 解: (I)以 O 为原点,OB,OC,OA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,2) ,B(3,0,0) ,C(0,4,0) ,E(0,2,0) . ??? ? ???? BE ? ? 3,,), ? 0,, 2) ( 2 0 AC ( 4 ?

??? ???? ? 所以,cos< EB, AC > ?

8 13 ? 20

?

4 65

?

4 65 . 65

……………………3 分

由于异面直线 BE 与 AC 所成的角是锐角,

·10·

所以,异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值是

4 65 . 65

……………………5 分

??? ? ??? ? (II) AB ? (3,, 2) , AE ? (0,, 2) , 0 ? 2 ?
设平面 ABE 的法向量为 n1 ? ( x,y,z ) ,

??? ? ??? ? ? 3x ? 2 z ? 0, 则由 n1 ? AB , n1 ? AE ,得 ? , ?2 y ? 2 z ? 0.
取 n1 ? (2,, , 3 3) 又因为 OA ? 面OBC 所以平面 BEC 的一个法向量为 n2=(0,0,1) , 所以 cos ? n1,n2 ??

n1 ? n2 3 3 22 ? ? . ……………………8 分 | n1 | ? | n2 | 22 22

由于二面角 A-BE-C 的平面角是 n1 与 n2 的夹角的补角, 所以,二面角 A-BE-C 的余弦值是 ?
3 22 .……………………10 分 22

·11·


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