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2006年广州市高二数学竞赛试卷(含答案)


2006 年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试卷
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分. (1)F1 , F2 是椭圆 C : (A) 1 个

x2 y 2 ? ? 1 的焦点, 在 C 上满足 PF1 ? PF2 的点 P 的个数为 ( 8 4
(B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

)<

br />
(2) 已知实数集合 A 满足条件: 若a? A , 则 (A) 1 (B) ?1 (C)

1? a ? A, 则 A 中所有元素的乘积的值为 ( ) 1? a
(D) 与 a 的取值有关

?1
2

(3)若 ?ABC 的三边长 a 、b 、 c 满足 a ? a ? 2b ? 2c ? 0 且 a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,则它 的最大内角的度数是( (A) 150
?


?

(B) 135

(C)

12? 0

(D)

90?

( 4 )已知定点 A ? 7,8? 和抛物线 y 2 ? 4 x ,动点 B 和 P 分别在 y 轴上和抛物线上,若

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ,则 PB ? PA 的最小值为( OB ? PB ? 0 (其中 O 为坐标原点)
(A) 9 (B) 10 (C)



113

(D)

115

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. (5)高二数学竞赛获一等奖的人数在 30 到 55 人之间,颁奖典礼上给获一等奖的学生照 相.按 3 列排,多出 2 人;按 5 列排,多出 4 人;按 7 列排,多出 2 人,则获一等 奖的人数有 人. (6)若函数 f ? x ? 的图像经过点 ? ,1? , ?1,0 ? , ? 2, ?1? ,试写出两个 满足上述条件的函数 .. 的解析式 、 .

?1 ? ?2 ?

(7) 已知点 P?a,b ? 在直线 3x ? 4 y ? 14 ? 0 上, 则

?a ? 1?2 ? ?b ? 1?2

的最小值为



? (8)正三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? ?BPC ? ?APC ? 30 , AP ? BP ? CP ?

2,

过点 A 作平面分别交 PB 、 PC 于 E 、 F ,则 ?AEF 的周长的最小值为 . (9)现代社会对破译密码的要求越来越高,有一种密码把英文的明文(真实文)按字母 分解, 其中英文的 a 、b 、c 、 …、z 的 26 个字母 (不论大小写) 依次对应 1、 2、 3、 …、 26 这 26 个自然数,见表格:

1

a
1

b
2

c
3

d
4

e
5

f
6

g
7

h
8

i
9

j
10

k
11

l
12

m
13

n
14

o
15

p
16

q
17

r
18

s
19

t
20

u
21

v
22

w
23

x
24

y
25

z
26

? x ?1    1 ? x ? 26,x不能被2整除 ? ? x ? N,  ? ? 2 给出如下一个变换公式: x? ? ? ?x   ? 13   1 ? x ? 26,x能被2整除 ? ? x ? N,  ? ?2
将明文转换成密文,如 6 ?

6 9 ?1 +13=16 即 f 变为 p ; 9 ? =5 即 i 变为 e . 2 2
, 密文 gawqj 的明文是 .

按上述规定, 明文 good 的密文是

(10)对一切实数 x ,所有的二次函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c   ?a ? b? 的值均为非负实数, 则

b?a 的最大值是 a?b?c



三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. (11) (本小题满分 15 分) 已知函数 f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a ( a 为常数) . (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最小正周期,并指出其单调减区间; (Ⅱ)若函数 f ?x ? 在 ?0, ? 上恰有两个 x 的值满足 f ?x ? ? 2 ,试求实数 a 的取值范

? ?

??
2?

围.

2

(12) (本小题满分 15 分) 如图,点 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点且 PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? 1 , BC ? 2 . (Ⅰ)求证:平面 PDC ? 平面 PAD ; (Ⅱ)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; (Ⅲ) 在 BC 边上是否存在一点 Q , 使得 D 点到平面 PAQ 的距离为 1. 若存在, 求出 BQ 的值;若不存在,请说明理由. P E A

D

B

C

3

(13) (本小题满分 20 分) 如图,将一块直角三角形板 ABO 放置于平面直角坐标系中,已知 AB ? BO ? 2 ,

1? ? AB ? OB .点 P?1, ? 是三角板内一点,现因三角板中阴影部分(即△POB)受到 2? ?
损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角板锯成 ?AMN ,设 直线 MN 的斜率为 k . (Ⅰ)试用 k 表示 ?AMN 的面积 S ,并指出 k 的取值范围; (Ⅱ)试求 S 的最大值. y A

M O

P

N B x

4

(14) (本小题满分 20 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,都有 an ? an?1 ? 2n ?1 ,记

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? . a1 a2 an

(Ⅰ)试求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明: Tn ? 2 ; (Ⅲ)令 bn ? 1 ?

n 1 , Bn ? b1b2 …… bn ,试比较 n ?1 与 Bn 的大小. 3 an ?1

5

(15) (本小题满分 20 分) 设定义在 R 上的函数 f ?x? ? ax4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? e , 当 x ? ?1 时, f ?x ? 取得极大 值

2 ,并且函数 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点 ?1 ,  0? 对称. 3

(Ⅰ)求 f ?x ? 的表达式; (Ⅱ)试在函数 f ?x ? 的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点 的横坐标都在区间 ? ? 2, 2 ? 上;

?

?

2 ?1 ? 3t ? 2t ? 1 (Ⅲ)若 x ? ,y? 2t 3t

. ? t ? R ? ,求证: f ? x ? ? f ? y ? ? 4 3
?

6

2006 年广州市卡西欧杯高二数学竞赛参考答案
1、 B

Sn ?

n ? n ? 1? ,当 x ? 62 时, Sn ? 1953 ;当 x ? 63 时, Sn ? 2016 2

故第 2006 项的值是 63 2、 A 由a? A ,

1? a ?A 1? a

?

1?

1? a 1 ? a ? ?1 ? A 1? a a 1? 1? a 1? a ?1 a ?1 ? a ? A a ?1 1? a ?1

?

? 1? 1? ? ? ? ? a ? ? a ?1 ? A ? 1 ? a ?1 1? ? ? ? ? a?

?

? ……

故a?

1 ? a ? 1 ? a ?1 ?? ? ?? ?1 1? a ? a ? a ?1
2 ? ? ?a ? 2 b ? 2 c ? a??? 1 ? 3 ??? ? 2 ? ?a ? 2 b ? 2 c ? ?

3、 C

?a 2 ? a ?2 b ?2 c ?0 ? ? ?a ? 2 b ? 2 c ? 3 ? 0

2 2 ?1? ? ? 2? 得 ? a ? 2b ? ? ? 2c ? ? ?3a 2 ,化简得 a2 ? b2 ? c2 ? ?ab

故 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ?ab 1 ? ? ? ,故 C ? 120? 2ab 2ab 2

4、 A

??? ? ??? ? ? a2 ? , a ? ,则 OB ? PB ? b ? b ? a ? ? 0 ,则 b ? 0 或 a ? b 设 B ? 0, b? , P ? ? 4 ? ??? ? ??? ? ??? ? 当 b ? 0 时 PB ? PA ? OA ? 113

?

?

min

当 a ? b 时,过 P 作准线的垂线,垂足为 B? 则 PB ? PA ? PB? ? PA ? 1 ? PF ? PA ? 1 ? AF ? 1 ? 10 ? 1 ? 9 5、 44 除以 7 余 2 的数的集合 A ? ?30,37,44,51 ? ,经检验,只有 44 满足题意

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

6、 f ? x ? ? log 1 x , f ? x ? ?
2

2 2 7 1 2?1 ? x ? 3x ? , f ? x ? ? ? ? x ? , f ? x ? ? 3 ? 16 x ? 7 , 3 3 2 3? x ?
7

?

?

? ? 1? ?x ? ? ?1   2? ? ? ? 2 x ? 2    x ? 1 ? ? ? 2 3 ? 2 ? ? ? , f ? x ? ? ?0    f ? x? ? sin ?? ? 1 x ?? , f ? x ? ? ? ? x ? 1? , ? 3 ? x ? 1     x ? 1 ? ? ?3 ? ? ? ? ? x ? 2? ??1  ? ? 1 x ?1 f ? x? ? 1 ? 2 2 ? 2? 2x ? 1 f ? x ? ? 9 ? ?16 x 2 ? 136 x ? 39 , 4

?

?

?

?

?

?

…… 7、3 设

? a ?1? ? ? b ?1?
2

2

则当直线 3x ? 4 y ? 14 ? 0 与圆 ?r,

? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

2

?r

相切时 r 取得最小值,此时 r ?

3 ? 4 ? 14 32 ? 42

?3
P

8、 2 将正三棱锥 P ? ABC 展开(如图所示) , 易知 AA? 为 ?AEF 的周长的最小值, 依题意有 ?APA? ? 90 ,故 AA? ? 2
?

A?

2
A B

C

9、 maths g ? 7 ?

x ?1 ? 7 ? x ? 13 ? m 2 x ?1 a ?1 ? ?1 ? x ?1? a 2 x ? 13 ? 23 ? x ? 20 ? t w ? 23 ? 2 x q ? 17 ? ? 13 ? 17 ? x ? 8 ? h 2 x ?1 ? 10 ? x ? 19 ? s j ? 10 ? 2

故密文 gawqj 的明文是 maths

10、

1 3

设 b ? a ? k ,则 b ? a ? k

2 依题意有 b ? a ? 0 , b ? 4ac ,即 ? a ? k ? ? 4ac ,即 c ?
2

?a ? k ? 2
4a

8



b?a k ? ? a ? b ? c 2a ? k ? c

k 2a ? k ?

?a ? k ?
4a

2

?

k 9a 3k k 2 ? ? 4 2 4a

?

1 1 1 1 ? ? ? k 9a 3 k 9a 3 2 ? 3 ? 3 3 ? ? 2 ? ? 4a 4k 2 4 2 4a 4k 2

? k 9a ? ? ? 4a 4k b ? c ? 4a 时取等号 当且仅当 ? 2 即 a ? k ? ? ?c ? ? 4a ?
11、解: (1) f ? x ? ?

3 1 ? cos 2 x ?? 1 ? sin 2 x ? ? a ? sin ? 2 x ? ? ? ? a 2 2 6? 2 ?

T?

2? ? 2? ? ? ? ? ,其单调减区间为 ? k? ? , k? ? 2 6 3 ? ? ?

?k ? Z ?

(2)令 u ? 2 x ?

?
6

,则 u ? ?

1 ? ? 7? ? ? ? 7? ? , ? ,设 g ? u ? ? sin u ? ? a u ? ? , ? 2 ?6 6 ? ?6 6 ?

要使 g ? u ? 在 ?

? ? 7? ? 上恰有两个 x 的值满足 g ? u ? ? 2 , ?6 6 ? ?

? ?? ? ?g ? 6 ? ? 2 1 ? ? ? 则? ,解得 ? a ? 1 2 ?g ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?2?
12、解: (1)因 PA ? 平面 ABCD , PA ? 面 PAD ,故面 PAD ? 面 ABCD 因四边形 ABCD 是矩形,故 CD ? AD 因面 PAD ? 面 ABCD ? AD ,故 CD ? 面 PAD
9

因 CD ? 面 PCD ,故平面 PDC ? 平面 PAD (2)取 CD 中点 F ,连结 AF 、 EF 因 E 是 PD 的中点,故 EF // PC ,所以 ? AEF 或它的补角是 AE 与 PC 所成的角. 易得 EF ?

17 6 5 , AE ? , AF ? 2 2 2
2 2 2

? 6 ? ? 5 ? ? 17 ? ? ? ?? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 30 ? ?? 故 cos ?AEF ? 10 6 5 2? ? 2 2
故 AE 与 PC 所成角的余弦值为

30 10

(3)假设 Q 点存在,过点 D 作 DG ? AQ 于 G 因为面 PAQ ? 面 ABCD ,面 PAQ ? 面 ABCD ? AQ 所以 DG ? 面 PAQ ,即 DG ? 1 如图,易知 ?DAG ? ?AQB ? 30? 则 BQ ? 3 ,

A
1

2

D

G

1

B

3

Q

C

故存在一点 Q 当 BQ ? 3 时使点 D 到平面 PAQ 的距离为 1

13、解: (1) MN : y ? k ? x ? 1? ?

1 2

OA : y ? x

求得 N ? 2, k ?

? ?

1? ? 2?

1 ?1 ? ? 2 ?k 2 ?k ? M? , ? ? 1? k 1? k ? ? ?
10

于是 AN ?

3 ?k 2

AM ?

?3 ? 2? ?k? ?2 ? 1? k

?3 ? 2? ?k? 2 1 1 ?3 2 ? 3 ? 2k ? 2 ? ? ? ? 所以 s ? AN AM sin 45 ? ? ? ? k ? ? ? ? 2 2 ?2 1? k 2 8 ?1 ? k ? ?

? 3 ? 2k ? 1 1 易知 ? ? k ? ,故 s ? 2 2 8 ?1 ? k ?
(2) s? ?

2

1? ? 1 ?? ? k ? ? 2? ? 2

? 3 ? 2k ?? 2k ? 1? 2 8 ?1 ? k ?
1 3 或 k ? 时 s ? f ? k ? 取得极值 2 2

所以当 k ? 因为当 ?

1 1 ? 1 1? ? k ? 时, s ? ? 0 ,故 s ? f ? k ? 在 ? ? , ? 上是减函数 2 2 ? 2 2? 1 4 时, s 取得最大值 2 3

所以当 k ? ?

14、解: (1)当 n ? 2 时,

a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1 a3 ? a2 ? 2 ? 3 ? 1    ? an ? an ?1 ? 2 ? n ? 1
各式相加得 an ? a1 ? 2 ? 2 ? 3 ???? n? ? ? n ?1? 求得 an ? n2 又当 n ? 1 时, a1 ? 1 满足上式,故 an ? n2 (2) Tn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 4 ? ?? ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 4 2 3 n 2 3 n
11

? 1?

1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 ? n ? 1? ? n

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n
(3) bn ? 1 ?

1

? n ? 1?

2

?

n ? n ? 2?

? n ? 1?

2

Bn ?

n ? n ? 2? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n?2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 2 2 3 4 ? n ? 1? 2 ? n ? 1?

n 3 ? 1 ? ? Bn n ?1 3 4 n 2 当 n ? 2 时, n ?1 ? ? Bn 3 3 n 1 5 当 n ? 3 时, n ?1 ? ? ? Bn 3 3 8 n 猜想当 n ? 3 时, n ?1 ? Bn ,以下用数学归纳法证明: 3 n 1 5 ①当 n ? 3 时,左边 ? n ?1 ? ? ? Bn ? 右边,命题成立 3 3 8
当 n ? 1 时, ②假设当 n ? k ? k ? 3? 时, 当 n ? k ? 1 时,

k ?1 k ? 2 k k ?2 ,即 k ?1 ? ? Bk ? k ?1 3 2k 3 2 ? k ? 1?

k ?1 1 k ?1 1 k ? 2 k ? 3 ? ? k ?1 ? ? ? 3k 3 3 3 2k 6k

?
故当 n ? 3 时,

k ?3 k ?3 ? ? Bk ?1 ,命题成立 2 ? k ? 2k ? 2 ? k ? 2 ?

n 3n ?1

? Bn n

综上所述,当 n ? 1 时,

? Bn 3n ?1 n 当 n ? 2 时, n ?1 ? Bn 3 n 当 n ? 3 时, n ?1 ? Bn 3

12

15、解: (1)因 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点 ?1 ,  0? 对称 故 y ? f ? x ? 的图象关于原点 ? 0,  0? 对称 故 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,易得 a ? c ? e ? 0 因为 x ? ?1 时 f ?x ? 有极值,所以 x ? 1 时 f ?x ? 也有极值 故 f ? x ? ? bx3 ? dx

f ? ? x ? ? 3bx2 ? d ? 3b ? x ?1?? x ?1? ? 3bx2 ? 3b
2 2 得 ?b ? d ? 3 3 1 1 3 故 b ? , d ? ?1 ,故 f ? x ? ? x ? x 3 3
故 d ? ?3b ,又由 f ? ?1? ? (2)设这两个切点分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,并且 x1 ? x2

f ? ? x ? ? x2 ?1
2 2 依题意有 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? ?1 …… (*)

?

??

?

因 x1 , x2 ? 1 且 x1 ?
2 2 故 x1 ? 2,  x2   ?2

2,    x2 ? 2

由(*)式得 x1 ? 1 ?
2

1 1 ? 2 ,即 2 ?1 ? 0 x ?1 x2 ? 1
2 2



2 x2 2 ? 0 ,解得 x2 ? 1 或 x2 ? 0 2 x2 ? 1

2 同理可得 x1 ? 1 或 x1 ? 0 2 2 又因为当 x1 ? 1 与 x2 ? 1 同时成立时与(*)式矛盾

所以 x1 ? 0 或 x2 ? 0
13

?x ? 2 ? x1 ? ? 2 ? x1 ? 0 ? 2 ? x2 ? 0 ? 故? ,? 或? ,? 2 2 ? y1 ? 0 ? y2 ? ? ? y2 ? 0 ? y1 ? 3 3 ? ?
即所求的两点为 ? 0, 0 ? , ? 2, ? (3) f ? ? x ? ? x2 ?1 故当 x ? ?1 或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 ?1 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 故 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ?1? ? ?1, ???

? ? ?

? 2? 2? 或 ? 0, 0 ? , ? ? 2, ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?

f ? x ? 的单调递减区间为 ? ?1,1?
因 xn ?

2n ? 1 1 ? 1 ? n ? ? 0,1? n 2 2

故 f ?1? ? f ? xn ? ? f ? 0? 即?

2 2 ? f ? xn ? ? 0 ,故 f ? xn ? ? 3 3

因 yn ?

2 ?1 ? 3n ? 3
n

?1 ? ? 2 ? n ? 1? ? ? 2, 0 ?3 ?

?

?

f ? 2 ?
故 0 ? f ? yn ? ?

?

?

2 2 , f ? 0? ? 0 , f ? ?1? ? 3 3 2 2 ,故 f ? yn ? ? 3 3 2 2 4 ? ? 3 3 3

故 f ? xn ? ? f ? yn ? ? f ? xn ? ? f ? yn ? ?

14


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