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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第四章第三节平面向量的数量积


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第三节
自 主 落 实 ? 固 基 础

平面向量的数量积
高 考 体 验 ? 明 考 情

典 例 探 究 ? 提 知 能

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自 主 落 实 ? 固 基 础

1.平面向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则 |a|·|b|cos_θ 数量_______________叫做a与b的数量积(或内积).规定:零 0 向量与任一向量的数量积为______.

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(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上 |b|cos θ 的投影___________的乘积.

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2.平面向量数量积的运算律

(1)交换律:a·b=b·a;
λ(a·b) a·(λb) (2)数乘结合律:(λa)·b=__________=__________; a·b+a·c (3)分配律:a·(b+c)=______________.

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3.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.
结论 模 数量积 几何表示 |a|= a· a a· b=|a||b|cos θ a· b cos θ = |a||b| a· b=0 坐标表示

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x2+y2 1 1 |a|=____________
a· b=x1x2+y1y2

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夹角 a⊥b的充 要条件

x1x2+y1y2 x2+y2? x2+y2 1 1 2 2 __________________
x1x2+y1y2=0 _______________

cos θ =

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结论 |a· b|与 |a||b|的 关系

几何表示

坐标表示 |x1x2+y1y2|≤

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|a· b|≤|a||b|

x2+y2? x2+y2 1 1 2 2 _________________

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1.若a·b=b·c,则a=c吗? 【提示】 不一定.b=0时就不成立.

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2.(a·b)c=a(b·c)一定成立吗? 【提示】
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不 一 定 成 立 . (a·b)c 是 与 c 平 行 的 向 量 ,
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a(b·c)是与a平行的向量.而a与c关系不确定,故(a·b)c=
a(b·c)不一定成立.





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1.(人教A版教材习题改编)已知向量a、b满足|a|=1, |b|=4,且a· b=2,则a与b的夹角为( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

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【解析】 向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a· b=2, π a· 1 b 设a与b的夹角为θ,则cos θ= = ,∴θ= . |a|· 2 |b| 3
【答案】 C

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2.已知向量a,b和实数λ,下列选项中错误的是( A.|a|= a· a B.|a· b|=|a|· |b| C.λ (a?b)=λa· b
【解析】
【答案】

)

D.|a· b|≤|a|· |b|

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|a·b|=|a||b||cos θ|,故B错误.
B
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3.(2012·福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2, 1),则a⊥b的充要条件是( )

A.x=-
C.x=5

B.x=-1
D.x=0

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【解析】
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∵a=(x-1,2),b=(2,1),∴a·b=2(x-

1)+2?1=2x.又a⊥b?a·b=0,∴2x=0,∴x=0. 【答案】 D
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4.(2013· 深圳质检)若平面向量α,β满足|α|=1, 1 |β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为 ,则α 2 与β的夹角θ的取值范围是________. 1 【解析】 由题意知S=|α||β|sin θ= ≤sin θ, 2 π 5 ∵θ∈[0,π],∴θ∈[ , π]. 6 6

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π 5 【答案】 [ , π ] 6 6

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(1)(2012· 浙江高考)在△ABC中,M是BC的中点, → → AM=3,BC=10,则AB?AC=________. (2)(2012· 北京高考)已知正方形ABCD的边长为1,点E

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→ → → → 是AB边上的动点,则DE?CB的值为________;DE?DC的 最大值为________.
【思路点拨】 → → → → → (1)把AB,AC用AM,MB或MC表示;

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(2)建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示.





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【尝试解答】

→ → → → (1)如图所示, AB = AM + MB , AC =

→ → → → AM+MC=AM-MB,

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→ → → → (→ → → → ∴ AB ·AC =(AM + MB )·AM -MB )= AM 2-MB 2= → → |AM|2-|MB|2=9-25=-16.
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(2) 如图所示,以AB,AD所在

的直线分别为x轴和y轴建立平面直
角坐标系,由于正方形边长为1,故 B(1,0),C(1,1),D(0,1). 又 E 在 AB 边 上 , 故 设 E(t , 0)(0≤t≤1).

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→ → → → 则DE=(t,-1),CB=(0,-1).故DE·CB=1. → 又DC=(1,0),

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→ → ∴DE·DC=(t,-1)· (1,0)=t.且0≤t≤1. → → ∴DE·DC的最大值为1.
【答案】 (1)-16 (2)1 1

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1.平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长 度与夹角,二是利用坐标来计算. 2.(1)要有“基底”意识,关键用基向量表示题目中所 → → → → 求相关向量,如本题(1)中用AM 、MB 表示AB 、AC 等.(2) 注意向量夹角的大小,以及夹角θ=0°,90°,180°三种 特殊情形. 3.应当注意:(1)向量数量积a· b中的“· ”既不能省略,也 不能写成“?”;(2)向量的数量积满足“交换律”、“分 配律”,但不满足“结合律”.

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→ 已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足 AP = → ,AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ?CP=-3,则λ=( → → → λAB → 2 1± 2 1 A. B. 2 2 1± 10 -3± 2 2 C. D. 2 2 )

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【解析】

→ → → → (CA → → BQ ·CP =(BA +AQ )·→ +AP )=[BA +(1

→ ]·→ +λAB)=-3,所以4λ2-4λ+1=0,所以λ=1. → -λ)AC (CA 2 2
【答案】
菜 单

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A

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(1)(2012·安徽高考)设向量a=(1,2m),b=(m+1,
1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________. (2)(2013·珠海调研)已知a与b为两个不共线的单位向 量 , k 为 实 数 , 若 向 量 a + b 与 向 量 ka - b 垂 直 , 则 k = ________.

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【思路点拨】
0求出m;

(1)求出a+c的坐标后,利用(a+c)·b=

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(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k
的方程,进而解方程求k的值.
菜 单

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【尝试解答】 (1)a+c=(1,2m)+(2,m)=(3, 3m). ∵(a+c)⊥b,∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3 =0, 1 ∴m=- . 2 ∴a=(1,-1),∴|a|= 2. (2)∵a与b是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1. 又ka-b与a+b垂直, ∴(a+b)· (ka-b)=0, 即ka2+ka· b-a· 2=0. b-b ∴k-1+ka· b-a· b=0.
菜 单

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因此k-1+kcos θ-cos θ=0.(θ为a与b的夹角) ∴(k-1)(1+cos θ)=0. 又a与b不共线,∴cos θ≠-1,∴k=1.
【答案】 (1) 2 (2)1

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1.(1)非零向量垂直的充要条件:a⊥b?a·b=0?|a+

b|=|a-b|?x1x2 +y1y2 =0.(2)本例(2)中常见的错误是不能利
用条件判定a·b≠-1,导致求解受阻. 2.(1)a⊥b?a· b=0是对非零向量而言的,若a=0时,

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a· b=0,但不能说a⊥b.(2)a⊥b?a· b=0,体现了“形”与 “数”的转化,用之可解决几何问题中的线线垂直问题.

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(2012· 江 西 高 考 ) 设 单 位 向 量 m = (x , y) , b = (2 , -

1).若m⊥b,则|x+2y|=________.

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【解析】 设单位向量m=(x,y),则x2+y2=1, 若m⊥b,则m· b=0,即2x-y=0, 5 2 1 解得x = ,所以|x|= , 5 5 因此|x+2y|=5|x|= 5.
【答案】 5

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已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61, (1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC的面积.

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【思路点拨】

平面向量数 夹角 求模 面积 → → → 量积的定义 公式 公式 公式

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【尝试解答】 (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61, ∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3, ∴64-4a· b-27=61,∴a· b=-6. -6 a· b 1 ∴cos θ= = =- . |a||b| 4?3 2 2π 又0≤θ≤π,∴θ= . 3 (2)可先平方转化为向量的数量积. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 =42+2?(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13.

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2π → 与BC的夹角θ= , → (3)由(1)知,AB 3 2π π ∴∠ABC=π- = . 3 3 → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 1 → → 1 3 ∴S△ ABC= |AB||BC|sin ∠ABC= ?4?3? =3 3. 2 2 2

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1.(1)在进行向量模与夹角的计算时,关键是求出向量 的数量积,注意避免错用公式.如a2=|a|2是正确的,而a·b =|a||b|和|a·b|=|a||b|都是错误的.(2)①研究向量的夹角应注

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意“共起点”;②两个非零共线向量的夹角分别是0°(方向
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相同)与180°(方向相反). 2.(1)求两向量的夹角,进而确定两直线的夹角时,要 注意两者的区别与联系.(2)求向量的长度,进而可解决平面 上两点间的距离,求线段的长度问题.
菜 单

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(1)(2013· 惠州调研)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b与a-b的夹角等于( ) π π π 3π A.- B. C. D. 4 6 4 4 (2)(2012· 课标全国卷)已知向量a,b夹角为45°,且|a| =1,|2a-b|= 10,则|b|=________.

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【解析】 (1)2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3), a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3), (2a+b)· (a-b)=9,|2a+b|=3 2,|a-b|=3. 9 2 设所求两向量夹角为α,则cos α= = , 3 2?3 2 π ∴α= . 4
菜 单

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(2)∵a,b的夹角为45°,|a|=1, 2 ∴a· b=|a|· |b|cos 45°= |b|, 2 2 2 |2a-b| =4-4? |b|+|b|2=10, 2 ∴|b|=3 2.

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【答案】 (1)C (2)3 2
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两个非零向量垂直的充要条件:a⊥b?a· b=0.

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1.若a·b>0,能否说明a和b的夹角为锐角? 2.若a·b<0,能否说明a和b的夹角为钝角?
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1.数量积运算不满足消去律,若向量a,b,c满足a· b= a· c(a≠0),则不一定有b=c. 2.数量积运算不满足结合律,即(a· b)c≠a(b· c),这是 由于(a· b)c表示一个与c共线的向量,a(b· c)表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,因此(a· b)c与a(b· c)不一定相 等. → 3.领会向量夹角的概念,比如正三角形ABC中,AB 与 → BC的夹角应为120°,而不是60°.

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向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点,属

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中低档题目.平面向量数量积的计算,向量垂直条件与数量
积的性质常以客观题形式命题;解答题以向量为载体,常与
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平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题, 主要考查运算能力及数形结合思想.
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思想方法之九 转化思想在数量积计算中的应用 (2012· 江西高考)在直角三角形ABC中,点D是斜边 |PA|2+|PB|2 AB的中点,点P为线段CD的中点,则 =( ) |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10
→ → → 【解析】 ∵PA=CA-CP,

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→ → → → → ∴|PA|2=CA2-2CP·CA+CP2. → → → → → → → → ∵PB=CB-CP,∴|PB|2=CB2-2CP·CB+CP2. → → → → → → → → ∴|PA|2+|PB |2=(CA 2+CB 2)-2CP ·(CA +CB )+2CP 2 → → → → =AB2-2CP·2CD+2CP2.
菜 单

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→ → → → 又AB2=16CP2,CD=2CP, → → → 代入上式整理得|PA|2+|PB|2=10|CP|2. |PA|2+|PB|2 所以 =10. |PC|2
【答案】 D

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易错提示:(1)转化与化归思想意识不强,难以入手, 盲目求解,无果而终. → → → → (2)运算过程中,对隐含条件CD=2CP ,AB 2=16CP 2挖 掘不够,无法正确解答本题. 防范措施:(1)树立转化与化归意识,在平面向量数量 积的计算过程中,对模和夹角均未知的向量一般是利用平 面向量的加减和数乘运算,把未知向量转化为已知向量. (2)在直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半.本 题中出现斜边的中线这一条件,稍加联想不难发现隐含条 件.

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1.(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b| =|a-b|,则下面结论正确的是( )

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A.a∥b
C.|a|=|b|
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B.a⊥b
D.a+b=a-b

【解析】

因为|a+b|=|a-b|,

所以(a+b)2=(a-b)2,即a·b=0,故a⊥b. 【答案】 B

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2.(2012· 广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β, α ?β 定义α?β= .若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹 β·β π n 角θ∈(0, ),且a?b和b?a都在集合{ |n∈Z}中,则a?b= 4 2 ( ) 1 3 5 A. B.1 C. D. 2 2 2
a·b |a||b|cos θ |a|cos θ 【解析】 a?b= = = , ① b· b |b|2 |b| b·a |b||a|cos θ |b|cos θ b?a= = = . ② a· a |a|2 |a|

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π 2 ∵θ∈(0, ),∴ <cos θ <1. 4 2 |b| 又|a|≥|b|>0,∴0< ≤1. |a| |b| ∴0< cos θ <1, |a| 即0<b?a<1. n 1 ∵b?a∈{ |n∈Z},∴b?a= . 2 2 1 ①?②,得(a?b)(b?a)=cos θ∈( ,1), 2 1 1 ∴ < (a?b)<1, 2 2
2
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3 ∴1<a?b<2,∴a?b= . 2 由选项可知,只有C符合.
【答案】 C

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课后作业(二十八)

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