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江苏省海州高级中学2012---2013学年度高二第一学期期中检测数学文试题

时间:2012-11-18


江苏省海州高级中学 2012---2013 学年度高二第一学期期中检测

数学(文)试题
命题人:乔 健
-、填空题:本大题共 14 小题,每小题5分,共计 70 分,不需要写出解答过程,请把答 案直接填写在答题卡相应位置上. ........

1 1 1 , q ? , an ? ,则项数 n 为 ▲ . 2 32

2 ? 2. 在 △ B 中, ? A ? , B , B? 6,则 ? ? ▲ . AC C?3 A C 3 3 5 7 3.已知数列 1, , , ,?的一个通项公式是 an =________▲__________. 4 9 16
1.在等比数列中, a1 ? 4. 不等式 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 的解集为
2



。 ▲ .

5.在等比数列{an}中, S 4 =1, S8 =3,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 =
o

6.某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米,那 么 x 的值为 ▲ .

?x ? 1 ? 7.如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



.

8.在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 3, a2 ? a3 ? 6, 则此数列的前 10 项之和为___▲_____. 9.设等比数列 {an } 共有 3n 项,它的前 2n 项的和为 100,后 2n 项之和为 200,则该等比数 列中间 n 项的和等于 ▲ .

10.在等差数列 ?an ? 中,Sn 是其前 n 项的和, a1 ? 2 , 且 的前 n 项的和是 ▲ .

?1? S 2012 S 2010 ? ? 2 ,, 则数列 ? ? 2012 2010 ? Sn ?

11.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 3 ,当 n ? 2 时, an ?1 是 an ? an?1 的个位数,则 a2012 ? ▲ .
2 2

12.若 3ax ? (a ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 表示直线 3ax ? (a ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 上方的平面区域, 则 a 的取值范围是 ▲ .

13.某厂生产甲、乙两种产品,计划产量分别为 45 个、50 个,所用原料为 A、B 两种规格的

第 1 页

金属板,每张面积分别为 2m 2、 2 , 用 A 种金属板可造甲产品 3 个,乙产品 5 个,用 B 种金 3m 属板可造甲、乙产品各 6 个,则能完成计划产量时总用料面积最少为 轻松日赚 100 元,加入兼职完全免费,注册立即送 20 元! 任务奖励 10 元/个,发帖奖励 3 元/帖,每天登陆奖励 3 元! 详情:http://www.xiguajz.com/?dt58fa224222 14. 如 果 有 穷 数 列 a1 , a2 , a3 ,?, am ( m ? 2k , k ? N* ) 满 足 条 件 ▲

m2 .

a1 ? ?am , a2 ? ?am?1 ,?, am ? ?a1 ,即 ai ? ?am?i ?1 (i ? 1, 2,?, m) ,我们称其为“反对称数
列” 。设 {cn } 是项数为 30 的“反对称数列” ,其中 c16 , c17 , c18 ,?, c30 构成首项为-1,公比为 2 的等比数列.设 Tn 是数列 {ncn } 的前 n 项和,则 T15 = ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) (1)解不等式:

9 ≤2 x?4

(2)已知不等式 x 2 ? 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围.

16. (本题满分 14 分)已知 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足下列三个 条件:① a ? b ? c ? ab ② 3 c ? 14sin C 求 (1) 内角 C 和边长 c 的大小;
2 2 2

③ a ? b ? 13

(2) ?ABC 的面积.

17. (本题满分 15 分)已知等差数列 {an } 中, a3 ? a6 ? 17, (1)求 {an } 的通项公式;

a1a 8 ? ?38且a1 ? a8 .

第 2 页

(2) 调整数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 的顺序, 使它成为等比数列 {bn } 的前三项, {bn } 求 的前 n 项和.

18. (本题满分 15 分)攀岩运动是一项刺激而危险的运动,如图(1)在某次攀岩活动中, 两名运动员在如图所在位置, 为确保运动员的安全, 地面救援者应时刻注意两人离地面的的 距离,以备发生危险时进行及时救援.为了方便测量和计算,现如图(2) A, C 分别为两名攀

B D 岩者所在位置, 为山的拐角处, 且斜坡 AB 的坡角为 ? , 为山脚, 某人在 E 处测得 A, B, C
的仰角分别为 ? , ? , ? , ED ? a ,求: (1) BD 间的距离及 CD 间的距离; (2)在 A 处攀岩者距地面的距离 h.
A θ B

C

E

D

图 (1)

图(2)

19. (本题满分 16 分)已知在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 4, 前 7 项和等于 35,数列 ?bn ? 中,
* 点 ?bn , Sn ? 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,其中 Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和 n ? N 。

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (3)设 cn ? an ? bn ,Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn 并证明:

4 5 ? Tn ? . 3 2

第 3 页

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20. (本题满分 16 分) 如图,在 y 轴的正半轴上依次有点 A1,A2,?,An,?,A1,A2 的坐标分别为 (0,1),(0,10),且|An-1An |= 3|An An+1 |(n=2,3,4,?). 在射线 y=x(x≥0)上依次有点 B1,B2,?,Bn,?,点 B1 的坐标为(3,3),且|OBn |=|OBn-1 |+2 2 (n=2,3,4,?). (1)用含 n 的式子表示|An An+1 |;
y

(2)用含 n 的式子分别表示点 An、Bn 的坐标; (3)求四边形 An An+1Bn+1Bn 面积的最大值.

A3

A2

B3 B2 B1 A1 x

第 4 页

海州高级中学 2012---2013 学年度第一学期期中检测

高二数学(文)试题答案
一、填空题:每小题 5 分,共 70 分. 1._____5__. 2.

? 4



3.

2n -1 . n2

4. ? x x ? ?3或x ?

? ?

1? ?. 2?

5. 16



6. 3 或 2 3 .

7._______3___________. 8._______1023___. 9.

200 3
(1, 2 )



10.

n n ?1
24



11._________8______.12.



13.



14.

216 ? 17 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1) (??, ?4] ? [ , ??) ;

1 2

(2) k ?

2 或k ? ? 2

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2 2 2 16.(1) 由 a ? b ? c ? ab ,所以 cos B ?

1 , 2

又0 ? C ? ? , 即C ? (2), S ?ABC ?

?

c 14 ? ? c ? 7 ??????????????6 分 ? 3 sin 60 3
-

1 ? ab sin -????????????????????????8 分 2 3

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,得 49 ? (a ? b) 2 ? 3ab ? ab ? 40 ,-?????????12 分

S ?ABC ?

1 ? ab sin ? 10 3 ???????????????????????14 分 2 3

第 5 页

17、解: (1)由已知,求得 a1 ? ?2 , a8 ? 19 ∴ {an } 的公差 d=3 ∴an=a1+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5.

(2)由(1) ,得 a3=a2+d=1+3=4,∴a1=-2,a2=1,a3=4. 依题意可得:数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 或 b1==4,b2=-2,b3=1 (i)当数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 时,则 q=-2 .

? Sn ?

b1 (1 ? q n ) 1? [1 ? (?2)n ] 1 ? ? [1 ? (?2)n ] . 1? q 1 ? (?2) 3

(ii)当数列{bn}的前三项为 b1=4,b2=-2,b3=1 时,则

b (1 ? q n ) 1 q ? ? . ? Sn ? 1 ? 2 1? q

1 4[1 ? (? ) n ] 8 1 2 ? [1 ? (? ) n ] 1 3 2 1 ? (? ) 2

18. 解: (1)根据题意得 ?CED ? ? , ?ABE ? ? , ?AED ? ?

CD , CD ? a tan ? ————3 分 DE BD 在直角三角形 BED 中, tan ? ? , BD ? a tan ? ————6 分 DE a h (2)易得 AE ? , BE ? ————————9 分 cos ? sin ? 在 ?ABE 中, ?AEB ? ? ? ? , ?EAB ? ? ? (? ? ? ) ————11 分 BE AE 正弦定理 ————————————13 分 ? sin ?EAB sin ?AEB a sin ? sin(? ? ? ) 代入整理: h ? ——————————————————15 分 cos ? sin(? ? ? )
在直角三角形 CED 中, tan ? ?

第 6 页

?a1 ? 2d ? 4 ? a1 ? 2 ? 19.解(1)设数列 {an } 的公差为 d,则由题意知: ? 得? 7?6 ?7a1 ? 2 d ? 35 ? d ? 1 ?
∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? n ?1 ? n ? 1. ????????(3 分) (2)∵点 (bn , Sn ) 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上 ∴ bn ? 2Sn ? 2 ? 0 ----① , bn?1 ? 2Sn?1 ? 2 ? 0 (n ? 2) ①-②得 bn ? bn?1 ? 2bn ? 0 ,∴ bn ? 又当 n ? 1 时, b1 ? ? -----②

1 b1 ? 1 2 2 1 ∴数列 {bn } 是以 为首项, 为公比的等比数列。????????(9 分) 3 3 2 1 n ?1 2 (3)由(2)知, bn ? ? (? ) ? n , 3 3 3 2 ∴ c n ? a n ? bn ? (n ? 1) ? n 3 2? 2 2?3 2? 4 2( n ? 1) Tn ? ? 2 ? 3 ?? ? -----------③ 3 3 3 3n 1 2? 2 2?3 2? 4 2n 2( n ? 1) Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ------④ 3 3 3 3 3 3 2 2? 2 2 2 2 2(n ? 1) ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ③—④得, Tn ? 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 1 (n ? 1) n ?1 3 ∴ Tn ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? =2? 3 ? n n 1 3 3 3 3 3 3 1? 3 1 1 n ? 1 5 2n ? 5 = 2 ? (1 ? n ?1 ) ? n = ? ???????? (14 分) 2 3 3 2 2 ? 3n 5 2n ? 5 5 ? Tn ? ? 2 2 ? 3n 2 4 由③知 Tn 的最小值是 T1 ? 3

1 bn ?1 (n ? 2) ,????????(6 分) 3 2 ∴ b1 ? ? 0 3

第 7 页



4 5 ? Tn ? ????????(16 分) 3 2

20.解: (1)∵

An?1An

1 ? , A1 A2 ? 10 ? 1 ? 9 , An?1An 3
n?1

?1? ∴ |An An+1 |= 9 ? ? ? ? 3?

??????????????4 分

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n?2

? ? 1 ?n ?1 ? 9 ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 29 1 1 n ?4 ? ? ?? ? 1? ? ? ? ? ? 1 2 2 ? 3? 1? 3

? 29 1 ? 1 ?n? 4 ? ? ? ∴点 An 的坐标 ? 0, , ??????????????6 分 ? 2 2 ?3? ? ? ? ? ? ?
∵ OBn ? OBn?1 ? 2 2 , OB1 ? 3 2 ∵{|OBn|}是以 3 2 为首项, 2 2 为公差的等差数列 ∴ OBn ? 3 2 ? 2 2(n ? 1) ? ? 2n ? 1? 2 ∴Bn 的坐标为(2n+1,2n+1) ??????????????10 分 (3)连接 An+1Bn+1,设四边形 AnAn+1Bn+1Bn 的面积为 Sn,

? Sn ? S ?OAn?1Bn?1 ? S ?OAn Bn 1 ? 29 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2? 2 2 ?3? ? = 29 n ? 2 3n ?3
??????????????13 分 ∴ S n ?1 ? S n ?
n ?3 n?4 ? 1 ? 29 1 ? 1 ? ? ? ?? 2n ? 3? ? ? ? ? ? ?? 2n ? 1? ? ?? 2? 2 2 ?3? ? ? ? ?

3 ? 6n ? 0 ,即 Sn+1<Sn, 3n ?1 29 47 ?9 ? . 2 2
?????????16 分

∴ {Sn} 单调递减数列 ∴ Sn 的最大值为 S1 ?

第 8 页


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