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山东省潍坊第一中学2016届高三上学期10月月考理数试题

时间:2016-07-20


Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4,5,6?,集合 A ? ? 1, 2, 5?, C U B ? ?4, 5, 6?,则集合 A ? B ? ( A. ? 1, 2? B. ?5? C. ? 1, 2, 3? D.

?3, 4, 6? ) D. a ? b
2 2



2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不成立的是(

1 1 1 1 ? C. ? a?b a a b ( x ? 1) ln( x ? 2) 3.函数 f ( x ) ? 的零点有( x?3
A. a ? b B. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
0.1 4.设 a ? 2 , b ? lg



A. b ? c ? a 5.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A . 两 条 直 线 平 行 , 同 旁 内 角 互 补 , 如 果 ?A 和 ? B 是 两 条 平 行 直 线 的 同 旁 内 角 , 则 ?A + ? B = 180 ? B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高三共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,三班有 52 人,由此推测各班都超过 50 人 D. 在数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ,a n ?

5 9 , c ? log 3 ,则 a, b, c 的大小关系是( ) 2 10 B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. a ? b ? c

1 1 计算 a 2 , a3 , a 4 , 由此推测通项 an (an?1 ? ) (n ? 2) , 2 an ? 1


6.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(1) ? ln x ,则 f ?(1) ? ( A. ? e 7.函数 y ? A. 1 B. ? 1 C. 1 D. e

1? ,则 log a a ? a x (a ? 0, a ? 0) 的定义域和值域都是 ?0,
B. 2 C. 3 D. 4

5 48 ? log a ?( 6 5

)

a 8.函数 f ( x) ? x 满足 f (2) ? 4 ,那么函数 g ( x) ? loga ( x ? 1) 的图象大致为(



y A. B.

y C.

y D.

y

-1

O

x

-1

O

x

-1

O

x

O

1

x

9.设函数 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f (1) ? 1 , f ( 2) ? A. a ?

2a ? 1 ,则有( a ?1
D. ? 1 ? a ? 2



1 且 a ? ?1 2

B. a ? ? 1 或 a ? 0

C. ? 1 ? a ? 0

10.已知 f ( x) ? ? 1

? log3 x , 0? x?3 ? , a, b, c, d 是互不相同的正数, 10 2 x ? x ? 8 , x ? 3 ? 3 ?3
)

且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,则 abcd 的取值范围是( A. (18,28) B. (18,25) C. (20,25)

D. (21,24)

Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中横线上
3 11. ? 2 ?2 ( x ? 2)dx ?



? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 12.设实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 0. ?
13.观察下列式子: 1 ?



1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,根据上述 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4
. ”的两个括号内各填入一个正整数,使它们的和最小,则填入

规律,第 n 个不等式应该为 14.在等式“ 1 ?

? ? ? ?

1

?

9

的两个数依次为 、 . 15.下列四个命题: ①命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” ; ②若命题 p:?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p:?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

③若命题“ ? p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题; ④命题“若 0 ? a ? 1 ,则 log a ( a ? 1) ? log a (1 ?

1 ) ”是真命题. a

其中正确命题的序 号是 . (把所有正确的命题序号都填上) 三、解答题:本大题有 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算 步骤 16. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x | log2 x ? 8?, B ? ? x | (Ⅰ)求集合 A ? B ;

? ?

x?2 ? ? 0? , C ? ?x | a ? x ? a ? 1?. x?4 ?

(Ⅱ)若 B ? C ? B ,求实数 a 的取值范围. 17. (本题满分 12 分) 设命题 p :函数 y ? kx ? 1 在 R 上是增函数,命题 q : ?x ? R, x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 ? 0 ,如果

p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,求 k 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? ax.

b 的值; (Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 2 x ? b, 求 a,
(Ⅱ)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的最大值.

19. (本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c (b, c ? R) . (Ⅰ)若 f (?1) ? f (2), 且函数 y ? f ( x) ? x 的值域为 [0,??), 求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 c ? 0, 且函数 f ( x) 在 [ ?1,1] 上有两个零点,求 2b ? c 的取值范围.

20. (本题满分 13 分) 某地空气中出现污染,须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒 1 个单位的去污剂, 空气中释放的浓度 y ( 单位:毫克 / 立方米 ) 随着时间 x ( 单位:天 ) 变化的函数关系式近似为

? 16 ? 1, 0? x?4 ? ,若多次喷洒,则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污 y ? ?8 ? x 1 ? 5 ? x, 4 ? x ? 10 2 ?
剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中去污剂的浓度不低于 4(毫克/立方米) 时,它才能起到去污作用. (Ⅰ)若一次喷洒 4 个单位的去污剂,则去污时间可达几天? (Ⅱ)若第一次喷洒 2 个单位的去污剂,6 天后再喷洒 a(1 ? a ? 4) 个单位的去污剂,要使接下 来的 4 天中能够持续有效去污,试求 a 的最小值(精确到 0.1 ,参考数据: 2 取 1.4 ).

21. (本题满分 14 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; ( Ⅱ)设 F( x) ? f ( x) ? ax2 ? ax, 问 F( x) 是否存在极值,若存在,请求出极值;若不存在,请 说明理由; (Ⅲ)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 是函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 图象上任意不同的两点,线段 AB 的中 点为 C( x0 , y0 ), 直线 AB 的斜率为 k .证明: k ? g ?( x0 ) .

高三数学试题(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: ABADA BCCBD 二、填空题: 11.8 12.4 13. 1 ?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1)

14.4,12 三、解答题

15.②③

16.解:(Ⅰ)由 log2 x ? 8 ,得 0 ? x ? 3 .??????????2 分

x?2 ? 0 得 ( x ? 4)(x ? 2) ? 0, x?4 所以 ? 2 ? x ? 4 .??????????4 分
由不等式 所以 A ? B ? ?x | 0 ? x ? 3?.??????????6 分 (Ⅱ)因为 B ? C ? B ,所以 C ? B ,??????????8 分

所以 ?

?a ? 1 ? 4 ??????????9 分 ? a ? ?2

解得 ? 2 ? a ? 3 .??????????11 分 所以,实数 a 的取值范围是 [?2,3] .??????????12 分 17.解:∵函数 y ? kx ? 1 在 R 上是增函数,∴ k ? 0 ,??????????2 分 由 ?x ? R, x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 ? 0 得方程 x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 ? 0 有解,?????? 4 分

1 5 或 k ? ??????????5 分 2 2 q 一真一假,??????????6 ∵ p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,∴命题 p,
∴ ? ? (2k ? 3) 2 ? 4 ? 0 ,解得 k ? 分

?k ?0 1 5 ? ①若 p 真 q 假,则 ? 1 ∴ ? k ? ;??????????8 分 5, ?k? 2 2 ? 2 ?2 ?k ? 0 ? ②若 p 假 q 真,则 ? 解得 k ? 0 ,??????????10 分 1 5, k ? 或 k ? ? 2 2 ? 1 5 综上可得 k 的取值范围为 ( ?? ,0] ? ( , ) ?? ????????12 分 2 2
x 18.解:(Ⅰ)∵ f ?( x) ? e ? 2x ? a, ∴ f ?(0) ? 1 ? a .

于是由题知 1 ? a ? 2, 解得 a ? -1 .??????????2 分
x 2 ∴ f ( x) ? e ? x ? x .∴ f (0) ? 1 ,

于是 1 ? 2 ? 0 ? b ,解得 b ? 1 .??????????4 分 (Ⅱ)由题意 f ?( x) ? 0 即 e ? 2 x ? a ? 0 恒成立,∴ a ? e ? 2 x 恒成立;?????6
x x

分 设 h( x) ? e ? 2 x ,则 h?( x) ? e ? 2 .??????????8 分
x x

x
h ?( x)
h( x )

(??, ln 2)

ln 2

(ln 2,??)

0
减函数 极小值

?
增函数

∴ h( x) min ? h(ln 2) ? 2 ? 2 ln 2, ??????????11 分 ∴ a ? 2 ? 2 ln 2 .∴ a 的最大值为 2 ? 2 ln 2 ??????????12 分

19.解:(Ⅰ)因为 f (?1) ? f (2), 所以 b ? ?1 ??????????2 分 因为函数 y ? f ( x) ? x 的值域为 [0,??), 所以方程 f ( x) ? x ? 0 有两个相等的实数根,??????????3 分
2 即 x ? 2 x ? c ? 0 有等根,故 ? ? 4 ? 4c ? 0,c ? 1 .??????????5 分

所以 f ( x) ? x 2 ? x ? 1;???????6 分 (Ⅱ)解法一:因为 f ( x) 在 [ ?1,1] 上有两个零点, 且c ? 0 ,

? f (?1) ? 0, ?? b ? c ? 1 ? 0, ? ? ? ? b ? c ? 1 ? 0,??8 分 所以有 ? f (1) ? 0, ? c ? 0, ? c ? 0, ? ?
(图正确,答案错误,扣 2 分) 通过线性规划可得 ? 2 ? 2b ? c ? 2 .??12 分 (若答案为 ? 2 ? 2b ? c ? 2 ,则扣 1 分) 解法二:设 f ( x) 的两个零点分别为 x1 , x 2 ,所以 f ( x) ? ( x ? x1 )(x ? x2 ) ;????8 分 不妨设 x1 ? [?1,0),x2 ? (0,1] ,因为 f (2) ? (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ,

(2 ? x2 ) ? [1,2) ,所以 f (2) ? (2,6) ,??????????10 分 且 (2 ? x1 ) ? (2,3],
因为 f (2) ? 4 ? 2b ? c ,所以 ? 2 ? 2b ? c ? 2 .??????????12 分 20.解:(Ⅰ)因为一次喷洒 4 个单位的去污剂,

所以空气中释放的浓度为 f ( x) ? 4 y ? ? 8 ? x

? 64 ? ? 4, 0 ? x ? 4, ? 4 ? x ? 10, ? 20 ? 2 x,

??????????2 分

64 ? 4 ? 4 ,解得 x ? 0 ,所以 0 ? x ? 4 . 8? x 当 4 ? x ? 10 时,令 20 ? 2 x ? 4 ,解得 x ? 8 ,所以 4 ? x ? 8 . 于是得 0 ? x ? 8 ,??????????5 分
当 0 ? x ? 4 时,令 即一次投放 4 个单位的去污剂,有效去污时间可达 8 天.??????????6 分 (Ⅱ)设从第一次喷洒起,经 x(6 ? x ? 10) 天, 浓度 g ( x) ? 2(5 ?

1 16 x) ? a[ ? 1] 2 8 ? ( x ? 6)

? 10 ? x ?

16 a 16 a ? a ? (14 ? x) ? ? a ? 4 .??????????8 分 14 ? x 14 ? x

因为 14 ? x ? [4,8] ,而 1 ? a ? 4 ,所以 4 a ? [4,8] ,??????????10 分 故当且仅当 14 ? x ? 4 a 时, y 有最小值为 8 a ? a ? 4 . 令 8 a ? a ? 4 ? 4 ,解得 24 ? 16 2 ? a ? 4 ,??????????1 2 分 所以 a 的最小值为 24 ? 16 2 ? 1.6.??????????13 分 21.解:在区间 (0,??) 上, f ?( x) ? (Ⅰ) f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? . x x

1 1 ? ax ?a ? .??????????1 分 x x

(1)当 a ? 0 时,∵ x ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 的单调增区间为 (??,??) ;???2 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,即

1 ? ax 1 ? 0 ,得 0 ? x ? x a

∴ f ( x) 的单调增区间为 (0, ) ??????????3 分 综上所述: 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??,??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (0, ) ??????????4 分 (Ⅱ) F( x) ? ln x ? ax 得 F?( x) ?
2

1 a

1 a

1 2ax2 ? 1 ? 2ax ? ( x ? 0) ??????????5 分 x x

当 a ? 0 时,恒有 F?( x) ? 0 ∴ F( x) 在 (0,??) 上为单调增函数, 故 F( x) 在 (0,??) 上无极值;??????????6 分 当 a ? 0 时,令 F?( x) ? 0 ,得 x ?

?

1 2a

x ? (0, ?

1 ),F?( x) ? 0,F( x) 单调递增, 2a

x?( ?

1 , ? ?),F?( x) ? 0,F( x) 单调递减. 2a 1 1 1 ) ? ln ? ? 2a 2a 2

∴ F极大值 ( x) ? F( ?

F( x) 无极小值??????????8 分
综上所述: a ? 0 时, F( x) 无极值

a ? 0 时, F( x) 有极大值 ln ?

1 1 ? 无极小值.??????????9 分 2a 2


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