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高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.4知识点总结含同步练习题及答案

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高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布

一、学习任务 了解正态分布的意义,了解正态曲线的意义与性质,会利用 φ(x) ,F (x) 的意义求正态总体小于 X 的概率. 二、知识清单
连续型随机变量的概念 正态分布

三、知识讲解
1.连续型随机变

量的概念 描述: 若随机变量 X 的分布函数 F (X) 可表示成一个非负可积函数 f (x) 的积分,则称 X 为连续型随 机变量,f (x) 称为 X 的概率密度函数 (分布密度函数).

2.正态分布 描述: 正态曲线的定义 如果随机变量 X 的概率密度函数为

φμ,σ (x) =

(x?μ) 1 ? 2σ 2 , x ∈ (?∞, + ∞) e √? 2? πσ 2

其中实数 μ 和 σ ( σ > 0 )为参数.我们称 φμ,σ (x) 的图象为正态分布密度曲线,简称正态 曲线.

当 μ = 0 , σ = 1 时,函数表达式是

f (x) =
相应的曲线称为标准正态曲线.

1 ? x2 e 2 , x ∈ (?∞, + ∞) √? 2? π

正态分布 (1)正态分布的定义: 一般地,如果对于任何实数 a ,b ,随机变量 X 满足

P ( a < X ? b) = ∫

b a

φμ,σ (x)dx

则称随机变量 X 服从正态分布(normal distribution).正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定, 因此正态分布常记作 N (μ, σ 2 ).如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X ? N (μ, σ 2 ) .

(2)正态分布的特点: ① 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交,并且曲线是单峰的; ② 它关于直线 x = μ 对称; ③ 曲线在 x = μ 处达到峰值

高,两边低”的形式; ④ 曲线与 x 轴之间的面积为 1 ; ⑤ 当 σ 一定时,曲线的位置是由 μ 确定,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; ⑥ 当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越 “瘦高”,表示总体的分布越集中; σ 越大,曲线越 “矮胖”,表示总体的分布越分散. (3)正态分布的 3σ 原则: 若X ? N (μ, σ),则对于任何实数 a > 0,P (μ ? a < X ? μ + a) = ∫ φμ,σ (x)dx 为如下图阴 影部分的面积,对于固定的 μ 和 a 而言,该面积随着 σ 的减少而变大.这说明 σ 越小,X 落在区间 (μ ? a, μ + a] 的概率越大,即 X 集中在 μ 周围的概率越大.
μ?a μ+a

1 ,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间 σ√? 2? π

( μ ? a, μ + a]

μ

特别地,有

P (μ ? σ < X ? μ + σ) = 0.6826, P (μ ? 2σ < X < μ + 2σ) = 0.9544, P (μ ? 3σ < X ? μ + 3σ) = 0.9974.
  由 P (μ ? 3σ < X ? μ + 3σ) = 0.9974 ,知正态总体几乎总取值于区间 (μ ? 3σ, μ + 3σ) 之内.而在此区间以外取值的概率只有 0.0026 ,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发 生.   在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N (μ, σ 2 ) 的随机变量 X 只取 (μ ? 3σ, μ + 3σ ) 之间的值,并简称之为 3σ 原则. 例题: 下列函数是正态密度函数的是( A.f (x) =
(x?μ) 2



1 ? ? e 2σ 2 ,μ,σ(σ > 0)都是实数 √2? σπ √? 2? π ? x2 B.f (x) = e 2 2π (x?1) 2 1 ? C.f (x) = 4 e 2√? 2? π x2 1 2 D.f (x) = ? e √2? π

解:B A 错在函数的系数字母部分的二次根式不包含 σ ,而且指数部分的符号是负的. B 是正态分布 N (0, 1) 的密度分布函数. C 对照 f (x) =
2

σ = √2 ,不正确.

(x?μ) 1 ? (x ∈ R ),从系数部分看 σ = 2,可是从指数部分看 2σ 2 e √? 2? π ?σ

D 错在指数部分缺少一个负号.
2 )(σ > 0)和 N (μ , σ 2 )(σ > 0)的分布密度函数图象如图,则有 设两个正态分布 N (μ1 , σ 1 1 2 2 2 ( )

A.μ1 B.μ1 C.μ1 D.μ1

< μ2 ,σ1 < μ2 ,σ1 > μ2 ,σ1 > μ2 ,σ1

< σ2 > σ2 < σ2 > σ2

解:A 由正态分布的曲线与性质可知. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, 1),且 P (2 ? X ? 4) = 0.6826,则 P (X > 4) =( ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1586 解:B

1 P (2 ? X ? 4) = 0.3413, 2 P (X > 4) = 0.5 ? P (3 ? X ? 4) = 0.5 ? 0.3413 = 0.1587. P (3 ? X ? 4) =

四、课后作业

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2 1 ?x 2 ,下列说法不正确的是 ( e √? 2? π

1. 对于标准正态分布 N (0, 1) 的概率密度函数 f (x) = A.f (x) 为偶函数 B.f (x) 最大值为

)

C.f (x) 在 x > 0 时是单调减函数,在 x ? 0 时是单调增函数 D.f (x) 关于 x = 1 对称
答案: D 解析:

1 √? 2? π

f (x) 关于 x = 0 对称. )

2. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0, σ 2 ) ,若 P (ξ > 2) = 0.023 ,则 P (?2 ? ξ ? 2) = ( A.0.477
答案: C 解析: 由题意知,正态曲线关于直线

B.0.628

C.0.954

D.0.977

x = 0, 即 y 轴对称, 所以 P (?2 ? ξ ? 2) = 1 ? 2P (ξ > 2) = 1 ? 2 × 0.023 = 0.954 . )

3. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N (2, 9) ,若 P (ξ > c + 1) = P (ξ < c ? 1) ,则 c = ( A.1
答案: B 解析: 因为

B.2

C.3

D.4

ξ ? N (2, 9) ,正态密度曲线关于 x = 2 对称,而概率表示它与 x 轴所围成的面积 ∴c=2.


4. 已知 ξ 服从正态分布 N (5, 8) ,则 η = ξ ? 3 服从
答案:

N (2, 8)

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