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第23届大学生物理竞赛试卷答案


第 23 届全国部分地区大学生物理竞赛试卷解答
一.填空题(12 题,每题 2 空,每空 2 分,共 48 分) 1. l/4,

13 l 10 ?3 = 0.0316 ;3. 4πε 0 R , 2πε 0 R ; 2.0.1, 2 v 1 3 1 = , ; 5. 2gh1 , 0;6.C, A;7. 2 ln 2 , 2 ln 2 ? 1 ;

4. 6 2 2 3
63 , 32

8.

? 63 ? ln ? ? ; ? 32 ?

9.

kl 2 , 0; 8R
12. ( 1 ? β
2

10.

R , c

c R2 ? r 2 ; r

11.线偏振光,

λ
4( n o ? n e )



+ β),

1? 1? β 2

β

1 v = , 其中 β = 3 c

二.计算题 13. (13 分) 解:参考图示参量,有

m1

m1 : T ? T cos α = m1 a1 ( 1 )

(2 分)

T ? a1 α ?T a1

水平桌边

?m g ? T sin α = m2 a 2 sin α (2) (2分) m2 : ? 2 ?T cos α = m2 (a1 ? a 2 cos α ) (3) (2分)
运动关联:m2沿绳伸长方向移动量等于m1左行量, 既有v2 = v1,进而有

m2 a2

a 2 = a1 = a (4)

(2 分)

将(4)式代入(1)(2)(3)式,得 、 、

T (1 ? cos α ) = m1 a, m2 g ? T sin α = m2 a sin α , T cos α = m2 a(1 ? cos α )


消去 T,

1 ? cos α (1 ? cos α )m2 a = m1 a (5) cos α

m2 g ?

1 ? cos α sin α ? m 2 a = m2 a sin α 6) cos α

?cos 2 α ? (k + 2) cos α + 1 = 0 由(5)式得 ? ?k = m1 / m2 > 0
?1 ? 2 (k + 2) + k (k + 4) > 1舍去 ? 解得 cos α = ? ? 1 (k + 2) ? k (k + 4) < 1 ?2 ?
即有 ?

[ [

] ]

? ?α = arccos 1 (k + 2) ? k (k + 4) 2 ? ?k = m1 / m 2 > 0

{[

]} ]}

(3 分)

代入(6)式得 ?

?a1 = a 2 = g cot α ? ?α = arccos 1 (k + 2) ? k (k + 4) 2 ?

{[

(2 分)

1

14. (13 分) 解:频率为ν的光子,质量为

mν =

hν c2

(3 分)

仿照理想气体压强公式推导, 可得此种光子对光子气压 光子气中这种光子的数密度记为nν , 强的贡献为

pν =

1 1 1 nν mν c 2 = nν hν = uν 3 3 3

(5 分)

其中 uν = nν hν ,即为光子气中ν光子的能量密度。于是,光子气的总压强便为

p = ∑ pν =
ν

1 1 ∑ uν = 3 u 3 ν

(3 分)

其中

u = ∑ uν = ∑ nν hν 即为光子气能量密度。因 u ∝ T 4 ,即得
ν ν

p∝T4

(2 分)

15. (13 分)解: (1)静电平衡后,各板内场强均为零。取图中虚线所示高斯面,可证第 1 块板的右侧面电 量Q1 右与第 2 块板的左侧面电量Q2 左必等量异号,即有

Q1右 + Q2左 = 0
同理可得

Q2 右 + Q3左 = 0, Q3右 + Q4 左 = 0,

Q4 右 + Q5 左 = 0 ,又因 Q1左 + [(Q1右 + Q2 左 ) + (Q2 右 + Q3左 ) + … + ( Q4 右 + Q5 左 ) ] + Q5 右 = Q1 + Q2 + … + Q5
即 得 Q1左 + Q5 右 =

∑Q
i =1

5

i

考 虑 到 (Q1右 , Q2左 ) ,

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

(Q2右 , Q3左 ) ,… ( Q4 右 , Q5 左 ) 中每一组面电荷给
各块板内部场强的贡献均为零,便要求面电荷组

( Q1左 , Q5 右 ) 给各导体板内部场强的贡献也为零,
即要求 Q1左 = Q5 右 ,便得

Q1左 = Q5 右 =
(2) Q2 左 =

1 5 ∑ Qi 2 i =1

(7 分)

1 1 (Q2 + Q3 + Q4 + Q5 ? Q1 ) , Q3左 = (Q3 + Q4 + Q5 ? Q1 ? Q2 ) (6 分) 2 2
2

16. (13 分) 解:由 N (t ) = N 0 e ? λt ,得 dt 时间内衰变的原子核数为 ? dN = λN 0 e ? λt dt = λN (t ) dt (1)处于平衡态时,t时刻某个矿物中Th和Ra的原子个数分别记为N1(t)和N2(t)。经dt时间, N2(t)的增量应为 dN 2 = λ1 N 1 (t ) dt ? λ 2 N 2 (t ) dt , λ1 = 因 dN 2 = 0 , 得

ln 2

τ1

, λ2 =

ln 2

τ2

(2 分)

N 1 (t ) λ 2 τ 1 1.91 × 365 = = = = 190 3.66 N 2 (t ) λ1 τ 2

(1 分)

题文中混合物内原子总数为

N = N1 + N 2 = 191N 2

Th 和 Ra 的摩尔质量非常接近,且 N 1 >> N 2 ,平均摩尔质量近似为 Th 的摩尔质量

? = 228 g ,得 N =

M

?

NA =

1 × 6.02 × 10 23 = 2.64 × 10 21 228
N = 1.38 × 1019 191
(2 分)
? λ1t

即有 N 1 ≈ N = 2.64 × 10 21 , N 2 =

(2)混合物刚组成的时刻改记为 t = 0,t > 0 时刻 Th 的原子数为 N 1 (t ) = N 1e 此时Ra原子数记为N2(t)。经dt时间,有 dN 2 (t ) = λ1 N1 (t )dt ? λ 2 N 2 (t )dt 即

(1 分)

dN 2 (t ) + λ2 N 2 (t ) = λ1 N1 (t ) = λ1 N1e ?λ1t dt ?∫ λ N e ?
1 1
? λ1t

(2 分)

? λ2 dt ? 解为 N 2 (t ) = e ∫

e∫

λ2 dt

? λ1 ? dt + C ? = e ?λ2t ? N1e ?λ1t e λ2t + C ? ? ? ? λ2 ? λ1 ?

利用 N 2 (0) = N 2 ,求得 C = N 2 ?

λ1 λ 2 ? λ1

N1

(3 分)

N 2 (t ) =

λ1 λ2 ? λ1

N1 e ?λ1t ? e ?λ2t + N 2 e ?λ2t 或 N 2 (t ) =

(

)

?? 1 ? τ2 N1 ?? ? τ 1 ? τ 2 ?? 2 ? ?

t / τ1

?1? ?? ? ?2?

t /τ 2

t /τ 2 ? ?1? ? + N2 ? ? ?2? ? ?

(3)Th 原子数减为一半时刻为 t = τ 1 ,此时 Ra 的原子数为

?1 ? 1 ? τ2 N = N 2 (τ 1 ) = N1 ? ? ? ? τ1 ?τ 2 ?2 ? 2 ? ?
* 2

τ1 / τ 2

τ1 / τ 2 ? ?1? ? + N2 ? ? ?2? ? ?

因 τ 1 >> τ 2 , N 1 >> N 2 ,近似有 N 2 =
*

τ2 1 N1 = N1 = 6.94 × 1018 2τ 1 380

(2 分)

3

17. (10 分) 解:参考题解图,据折射定律有

r

?π ? ?π ? n0 sin ? ? φ0 ? = n( r ) sin ? ? φ ? (2 分) ?2 ? ?2 ?
即 n0 cos φ 0 = n( r ) cos φ 由此可得 φ0
2 2 0 2

φ dx

dr

n ? n cos φ0 dr = tan φ = dx n0 cos φ0

O (1 分)

x

2 2 2 2 2 因 n 2 ? n0 cos 2 φ 0 = n0 ? n0 α 2 r 2 ? n0 cos 2 φ 0 = n0 (sin 2 φ 0 ? α 2 r 2 )



dr = dx

sin 2 φ 0 ? α 2 r 2 cos φ 0

(2 分)

两边对 x 求导,得

d 2r dr ? α 2r ? α 2r = = dx 2 cos φ 0 sin 2 φ0 ? α 2 r 2 dx cos φ 0 sin 2 φ 0 ? α 2 r 2


sin 2 φ 0 ? α 2 r 2 cos φ 0

=

? α 2r cos 2 φ0

d 2r α 2r + =0 dx 2 cos 2 φ 0

(2 分)

这相当于“简谐振动”微分方程,考虑到 x = 0 时, r = 0 ,解为

? α r = A sin ? ? cos φ 0 ?


? x? ? ?

(1 分)

dr dx

= tan φ 0 ,可得 A =
x =0

sin φ 0

α

表明光线为正弦曲线。 从 O 点出射后,光线与 x 轴的第一个交点的坐标为

x1 =

π π cos φ 0 ,φ0为小角度时, x1 = α α

(1 分)

若从O点出射的是半顶角φ0为小角度的细圆锥形光束,则光束中所有光线都会在 x1 =

π 处 α

与x轴相交,即光束又会汇聚在x轴上的x1点。以后还会在x轴上的 2x1,3x1…等处汇聚,形成 自聚焦现象。 (1 分)

4

18. (10 分) 解:参考题解图,有

Vn-1 In

RA

Vn

RA In+1

Vn+1

I n = in + I n +1
V ?V V V ? Vn +1 ? n ?1 n = n + n RA RB RA
即得 in

RB

in+1

RB

?R ? Vn +1 ? 2Vn + Vn ?1 = ? A ?Vn ?R ? ? B?
(2)将 Vn = V0 e ? nα 代入上式,得 e + e
α


(2 分)

= 2+

RA RB
2 ? ? RA ? ?2 + ? ? 4? ? ? RB ? ? ? ?

? R ? 1 ?? ? e = ?2 + A ? ± ? 2 ?? RB ? ? ?
α

α需为正值, e α > 1 ,上式取正号,得

? ? R ? ?1 ? α = ln ? ?? 2 + A ? + ? RB ? ? ? 2 ?? ? ?
(3)实验曲线可代数地表述为 即

2 ?? ? RA ? ? ? ? 4 ?? ?2 + ? ? ?? RB ? ? ??

(3 分)

ln VV(0x ) x

=

ln V10 1000

V ( x ) = V0 e

? ln V0 ? ?? ?x ? 1000 ?

(2 分)

图 2 电路结构与图 1 相同,第 n 个细胞的电压应为

V n = V 0 e ? nα , n =
即得
? ln V0 ? ?? ?10 n ? 1000 ?

x 10 = V0 e
? ln V0 ? ?? ?n ? 100 ?

Vn = V ( x) x =10 n = V0 e

?α =
α


ln V0 ln 30 = = 0.034 100 100

代入 e + e

= 2+

RA ,得 RB RA = eα + e ?α ? 2 = 1.2 × 10 ?3 RB
(3 分)

5

19. (10 分) 解: (1)粒子所受切向力和所得切向加速度分别为

f = ?γv ,


dv γv = a切 = ? m dt


? v = v0 e
再由

v

v0

t dv γ = ∫ ? dt 0 v m

? t m

γ

(3 分)

? t ? t t s ds = v = v 0 e m ? ∫ ds = ∫ v 0 e m dt 0 0 dt

γ

γ


γ ? t ? ? ?1 ? e m ? s = v0 ? ? γ ? ?

m

(3 分)

(2)t 到 t+dt 时间内,粒子作半径为

ρ=

mv qB

的无穷小圆弧运动,速度方向偏转了小角度 dθ,则有

ρdθ = vdt


dθ =
积分后便有

v

ρ

dt =

qB dt m

θ=
?θ =
此时速度大小便为

qB t m

π
2
πγ
2 qB

时, t* =

πm
2qB

v* = v0 e

? t* m

γ

= v0 e

?

(4 分)

6


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