nbhkdz.com冰点文库

利用教学内容的逻辑体系培养学生的逻辑思维能力——谈新教材中几个问题的教学处理


数学通报

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第2 期

利用教学内容的逻辑体系 培养学生的逻辑思维能力
— 谈新教材中几个问题的教学处理
陶维林
( 江苏南京师大附中 2 1 0 0 0 3

     高中数学新教材是教材编写人员根据教育部 颁布的《 普通高中数学课程标准 ( 实验) 》

( 以下称 “ 新课程标准” ) , 周密思考, 认真研究的结果. 教学 中对教材应该尊重. 但教材也是一家之言, 因此未 必需要照搬. 根据具体情况, 认真研究、 灵活地使用 教材是教学研究的一项重要工作. 本文就高中数学新教材(      新课程标准“ 苏教版” 教材, 必修模块《 数学 2 ) ) 3 ) 教学中几个问题的处理, 谈谈学习新课程标准, 带着对数学本质认识, 带着 对数学教学所承载的任务 — 培养学生的思维能 力的认识来组织教学的体会, 供同行参考. 欠妥之 处, 恳请指正. 1 直线的倾斜角与斜率的教学处理      解析几何的本质是用代数的方法研究几何问 题. 教学中可以保持两条线并进, 一是几何对象, 一 是代数方法, 始终注意数与形之间的紧密联系. 1 . 1 为什么要定义倾斜角 为了刻画直线在坐标平面中的位置,      为了区别 经过同一点的不同直线的位置关系, 需要定义倾斜 角. 明确了定义概念的目的、 作用, 也就明确了定义 的必要性以及如何定义这个概念. 要用角来区别直 线位置就需要一个基准, 一个参照物, 这个参照物
与研究的课题 .
参考文献

就是 x 轴及它的正方向. 角是由同一点出发的两条 射线组成的图形, 因此还需要规定直线的方向, 这 就是向上或向右的方向, 这样, 直线的倾斜角是哪 个角就明确了. 由于目的清楚, 自然直线的倾斜角 的范围就应该是0 0  _  a<1 8 0 0 . 为什么不要 1 8 0 0 ? 那 是因为与 0 0 所刻画的是同一种位置状态. 为什么不

是0 0 <a 落    1 8 0 0 , 那是能 用较 小的 不用较大的, 能用
正的就不用负的, 计算方便, 合理. 这样定义的倾斜角,      平面内的任意一条直线都 有倾斜角, 很容易知道, 倾斜角相等的直线是平行 的, 反之, 平行的直线的倾斜角相等.

1 . 2 为什么要定义斜率 是为了对倾斜角进行代数刻画,      便于以后参与 运算, 用代数的方法处理几何问题. 我们规定,      直线的 斜率 k二t a n a  ( a  0  9 0 0 ) . 这个规定是合理的.      加上同学们有关于坡度意 义的感受, 乐意接受它. 但是, 斜率有一个缺点, 就 是不能表示与 x 轴垂直的直线. 换句话说, 倾斜角 不是 9 0 0 的直线的倾斜角的正切值才称为该直线的
斜率. 至此,      对直线倾斜程度的几何、 代数两方面的

刻画工作都已经完成.
2 0 0 6 , 1 5 ( 1 ) : 1一4

李祥兆. 知识分类与提出 数学问题[ . 1 l . 数学通报, 2 0 0 5 , 1 1 : 2 5
 ̄2 7

1 中华人民共和国 教育部. 普通高中数学课程标准【 M l . 北京:

张晓斌. 创设问题情境唤起学生的创新思维【 J l . 数学通报,
2 0 0 3 , 2 : 7 ̄ 1 0

     人民 教育出版社, 2 0 0 3 , 4 2〔 美」 D .  A格劳斯. 数学教与学研究手册「 M l . 上海: 上海教育 出版社,      1 9 9 9 , 4
3 张广样, 张奠宙. 代数教学中的模式直观「 J l . 数学教育学报,

汤炳兴, 周渊. 教“ 学” 贵在教“ 问” l i l . 数学教学通讯, 2 0 0 2 ,
1 1 : 9 ̄ 1 2

夏小刚. 国内外数学问题提出教学研究的回顾与反思【 J l . 数 学教育学报, 2 0 0 5 , 1 4 ( 3 ) : 1 7一2 0

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第2 期

数学通报

     既然直线的倾斜角与斜率都是用来刻画直线 的倾斜程度的, 对他们之间的关系 k二t a n a 就需要 理解认识. 比如, 当直线的倾斜角是锐角时, 直线的 斜率是正数; 当直线的倾斜角是钝角时, 直线的斜 率是负数, 当直线的倾斜角是零度时, 直线的斜率 等于零. 同样,      如果两条( 不重合) 直线都有斜率, 那么, 两直线平行时, 倾斜角相等, 斜率相等; 反过来, 两 直线的斜率相等时, 倾斜角相等, 它们平行. 这样来 进行两直线平行的判断既合理又简单, 顺理成章. 而不是象新教材那样, 构造两个直角三角形, 利用 它们相似, 对应边的比相等, 来说明为什么两平行 直线斜率相等. 1 . 3 斜率公式是怎么回事

2 直线方程的教学处理

2 . 1 一个“ 定理”      一个点与一个方向可以确一条直 从几何上讲, 线; 从代数上讲, 一个点的坐标和一条直线的斜率 可以确定直线的方程.

首先提出问      题: 已 知直线 l 经过点P ( x o ,  y o ) , 斜
率为 k , 求直线 l 的方程. 所谓“      求直线 l 的方程” , 就是建立直线 l 上任

意一点M ( x , 刃 坐标之间的关系式. 于是, 设M ( x , Y ) 是直线 2 上任意一点.
根据斜率公式 ,      有

Y x - Y x 0 o = 、 ( 二 , 二 。 ) .
化简, 得Y 一Y o =k ( x 一x o )
     那么, 这个方程有没有资格作为直线 l 的方程 呢? 直线 l 上的点的坐标都满足这个方程( 从几何到 代数) 没有问题 , 问题在于, 坐标满足这个方程的点 都在这条直线 l 上( 从代数到几何) 吗? 这是需要证
明的.

斜    率 公 式 ‘ 二 Y x 2 - Y x i ), ( x 1x 2 , 是 斜 率 概 念 的
一个应用, 解决的一个数学问题. 两点确定一条直 线, 已知直线经过的两点可以求它的斜率, 又是从 几何到代数. 并不同于前面的定义概念. 弄清了以上关系,      自 然也就明确了教学顺序应 该是什么, 这样做学生会感到“ 数学是 自然的” , 清 楚的, 逻辑性强. 而且是典型的解析几何研究问题 的手法, 从几何到代数. 也更符合新课程标准指出 的“ 理解直线的倾斜角和斜率的概念, 经历用代数 方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线斜率 的计算公式. ” 的要求, 而不是象新教材那样, 先由 坡度概念引进斜率公式, 作为斜率的定义, 最后再 讲倾斜角, 淡化了倾斜角与斜率之间的重要关系 k

     设 M '  ( x ' ,   Y ' ) 满足方程①, 即 有 Y      , 一 Y 。 二Ox ‘ 一 二 。 ) . 如果x=x      o , 则犷=Y o . 点M ' 在直线l 上, 没
有问题 .

如果 x      ' 笋 也没有问题.

x 0  ,  9 d 7 万 万 - 丁

n        d  Y 一Y o

z                = a , 0

一 二 ‘.

这说明 P      ,  M,  M ‘ 三点共线, 点M ' 在直线 l 上,

=t a n a  ( a  = 4  9 ( r ) . 这样的 顺序, 可能打乱了数学知
识之间的逻辑体系, 对于培养学生的逻辑思维能力 不利 . 也许有人认为,      学生在初中已经了解坡度的概 念, 应该从学生已有的认知结构出发, 我不反对从

     由此, 坐标满足方程 ① 的点一定在直线 l 上. 这样一来,      我们可以把它作为一个“ 定理” , 一 个“ 公式” , 即

     经过点P ( x 0 , Y 0 ) , 斜率为k 的直 线l 的 方程是y 一Y o  =  k ( x 一x o ) .
     既然有了这样一个“ 定理” , 今后就可以利用这 个“ 定理” , 求其他直线的方程了。 2 . 2 三个“ 推论” 教学中,      可以把直线的斜截式方程, 截距式方 程, 两点式方程都作为直线的点斜式方程这个“ 定 理” 的“ 推论” 来处理.      这几种形式的方程都是表现直线的, 它们之间 也是可以互相转换的. 理清这一脉络,      让学生感受到教学内容之间的 这一逻辑联系, 培养学生逻辑思维能力, 不然学生

学生已 经有的认知结构出发来组织教学这个观点, 但是, 对于学生已经有的认知结构有个如何尊重, 如何利用的问题. 比如在学习了斜率以及斜率公式 之后, 问一问学生, 过去你们见过类似的概念吗, 让 学生把新知识与旧知识联系起来, 感受到新知识的 生长点在哪里, 未必不可. 打乱数学知识之间的逻 辑联系, 迁就学生已经有的, 又不是非借助不可的
知识结构来组织教学, 可能是得不偿失的.

数学通报

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第2 期

不知道为什么要讲这些, 他们的关系到底是什么. 注意到解析几何的本质,      我在处理直线的斜截 式方程的教学时, 改变教材三种直线方程同一种处 理方式的教学方法 , 采用从代数到几何的方式 , 提 出问题. 比如,

求证:      方程 Y=故十b 表示一条直线.
因为有了前面的“      定理” , 学生明白, 只要把方

程Y 二厄十 b 化成点斜式就可以了. 这是容易的. 由

Y=k x + b 得Y 一 b 二k ( 二 一 0 ) , 这 是直 线的 点 斜式
方程, 它表示一条经过点( 0 ,  b ) , 斜率为 k的直线. 然后再提出截距的有关概念, 等等. 之所以这样来提出问题,      是还注意到, 在初中,

中的缘故. 这里还借机进行了一次“ 以直代曲” 极限 思想的渗透. 教学实践表明,      这样做逻辑体系清晰, 学生接 受并不感到有什么困难, 没有增加学生的负担, 相 反却增加了学生的兴趣与乐趣, 增强了教学效果. 在初中,      由于学生的思维特点, 用“ 倒沙” 的方 法解释锥体体积是等底等高柱体体积的三分之一 的教学处理是可以理解和接受的. 但对于高一学 生, 再用“ 倒沙”的方法来验证球 的体积是 V二

牛 n R , 可 能 是 不 必 要 的 , 应 该 相 信 证 明 过 程 . 这 样 更 3“ “ 刁 ’ 刁 .  ̄一 ’  ̄书曰 J ’ 一 朴, 曰’ 曰一 月件 一 ’  ̄ ” ̄
符合高中学生理性思维的特点.
4 几点思考

学生已 经熟悉一次函 数( 代数) Y=k x 十b ( k  40 3   ) ,
它的图象是一条直线( 几何) , 打通代数与几何之间 的联系, “ 体会斜截式与一次函数的关系” , “ 帮助学 生不断地体会‘ 数形结合’ 的思想方法川, 贯穿解析 几何的本质. 3 柱、 锥、 台、 球体积的教学处理      让学生感受到体积公式建立过程中的逻辑顺 序, 培养学生的逻辑思维能力. 我是按照这样的顺序组织教学的:      (      1 ) 什么是体积? 几何体占有空间的大小称为 几何体的体积. (      2 ) 公理 5 : 长方体的体积是
V= a                b c .

4 . 1 新课程强调学生的动手操作, 亲身参与, 这是 正确的. 但是, 研究表明: 人的智力与能力发展具有 年龄特征. 整个中学阶段以抽象逻辑思维占主导地 位. 初中阶段主要是以经验型为主的抽象逻辑思 维, 而高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思 维. 这此结论是需要我们在教材编写、 教学设计中 引起注意、 认真思考的、 比如在讲平面上两点间距
离公式、 点到直线的距离公式、 直线的点斜式方程 时, 是否有必要先设置一个具体的例子, 再引人一 般情况呢? 我以为是不要的. 另外, 对于高中学生来

     前面已经学习了4 个公理, 这里再提出第 5 个 公理, 学生并不会感到意外. (      3 ) 介绍祖呕原理, 从平面到空间. 这是我国古 代数学家的杰出贡献, 借机进行爱国主义的教育. (      4 ) 介绍柱体体积公式. 这由公理5 及祖粗原理 很容易理解.

     ( 5 ) 介绍锥体体积公式. 锥体体积是等底等高 的柱体体积的三分之一 这个公式初中曾经用“ 倒
沙” 的方法验证过, 这里借助信息技术工具几何画

板的演示并证明它, 不难理解.
     ( 6 ) 介绍球的体积公式建立过程. 这是祖呕原 理的又一次应用, 而且可以明确球的体积是它的外 切圆柱体积的三分之二.

说, 讲操作更要讲推理, 讲思维. 4 . 2 数学教学承载着培养学生思维能力的特殊任 务, 因此, 数学教师也应该注意把培养学生的逻辑 思维能力放在十分重要的位置. 让学生从教学内容 的顺序中感受到逻辑, 让学生从数学解题中感受到 逻辑, 让学生从知识体系中感受到逻辑 …… 4 . 3 新教材带来了许多新问题, 如何用好新教材 需要我们花大力气研究. 我以为, 教师必须加强学 习. 加强教育教学理论的学习; 读好“ 原著” , 这就是 教育部颁布的新课程标准; 加强各种版本教材对同 一教学内容处理方法的比较研究. 这样, 可以提高 自 身的识别、 判断能力, 增强对教材的处理能力, 增 强教学方法选择的底气, 不盲从.
参考文献

(      7 ) 介绍球的 表面积. 球就是“ 锥” , 由 锥体体积
公式、 球的体积公式推出球的面积公式. 说球就是 “ 锥” , 开始时学生感到困惑. 因为学生有扇面积公

1 中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准( 实 验)      . 北京: 人民教育出版社, 2 0 0, 4 2 普通高中课程标准实验教科书 ? 数学必修 2 ( A版) . 北京: 人      民教育出版社, 2 0 0 5 , 5 3 普通高中课程标准实验教科书 ? 数学必修 2 . 南京: 江苏教育 出版社.      2 0 0 5 , 6

式如同 三角形面 积公式一样的经验, 很快理解了 其


利用教学内容的逻辑体系培养学生的逻辑思维能力

利用教学内容的逻辑体系 培养学生的逻辑思维能力——谈新教材几个问题的教学处理 陶维林 (江苏南京师大附中 210003) 高中数学新教材是教材编写人员根据教育部颁布的...

必修2·陶· 利用教学内容的逻辑体系培养学生的逻辑思维能力

利用教学内容的逻辑体系 培养学生的逻辑思维能力 ——谈新教材几个问题的 教学处理陶维林 (江苏南京师大附中 210003) 高中数学新教材是教材编写人员根据教育部颁布...

解决问题教学中培养学生逻辑思维能力

解决问题教学中培养学生逻辑思维能力_教学案例/设计_...和解决问题时,思路鲜明、条理清楚、严格遵循逻辑规律...新教材特 点之一是重视直观教学, 增加了学生的实践...

数学课堂上培养学生的逻辑思维能力

数学课堂上培养学生的逻辑思维能力_教学案例/设计_教学研究_教育专区。数学课堂上培养学生的逻辑思维能力 【摘要】数学具有严谨的逻辑体系,数学概念的分类,定理的 证明...

浅谈培养学生数学逻辑思维的方法及对策

责任在教学过程中正确培养和发展学生的逻辑思维能力。...另一方面能优化数学课堂教学,以更 新颖的教学方式,...新事物的思维方法,是一切具有崭新内容的思维形式的...

概念教学对学生逻辑思维能力的影响

中 学数学对学生逻辑思维能力培养具有不可替代的作用。 高中数学概念课的教学...另一方面,新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行,需要某个概念时,就 在...

学生逻辑思维能力的培养与训练

【摘要】在任何一门学科的教学中,培养与训练学生的逻辑思维能力都非常重要,这直 接关系到学生今后在学习中分析问题与解决问题的实际应用能力,影响着学生未来的全面...

中学数学教学中培养学生逻辑思维能力的途径

培养学生的逻辑思维能力,首先要清楚中学数学教学要求教师培养学生什么样的逻辑 思维,它主要指通过中学数学教学,培养学生明确地使用概念、恰当地下判断、合乎逻辑地推...

浅谈小学数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力

本文就针对如何在数学教学培养学生的逻辑思维能力这一问题进行浅要 分析。 一...组成的逻辑体系,并通过数学、逻辑术语和相对应的符 号来表现,学生利用逻辑推理...