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利用均值不等式求最值的九种技巧

时间:2011-05-15


利用均值不等式求最值的九种技巧 您可能更想看… 人教 A 版高中数学课标实验教科书《不... 第二节 不等式(组) 第一节 一元一次不等式 不等式复习导引 浅谈含参数的不等式问题 不等式考点透析 分类讨论法在解含参数的有理不等式时... 谈不等式证明的几种特殊方法 一元一次不等式复习指南 不等式易错题剖解 利用均值(基本)不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均 值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时,就需要 一定的技巧,特别是凑“定和”或“定积”的技巧,使其具备.下面谈谈常见的凑“定和” 或“定积”的技巧,供同学们参考. 一、 添、减项(配常数项) 例 1 求函数 y=3x2+162+x2 的最小值. 分析 3x2+162+x2 是二项“和”的形式,但其 “积”的形式不为定值.而 12+x2 可与 x2+2 相约,即其积为定积 1,因此可以先添、减项 6,即 y=3x2+6+162+x2-6,再用均值不等式. 解 x2+2>0,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6 ≥23(2+x2)·162+x2-6=83-6, 当且仅当 3(2+x2)=162+x2,即 x2=433-2 时,等号成立. 所以 y 的最小值是 83-6. 评注 为了创造条件利用均值不等式, 添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不 变,添项后一定要再减去同一项. 二、 配系数(乘、除项) 例 2 已知 x>0,y>0,且满足 3x+2y=12,求 lgx+lgy 的最大值. 分析 lgx+lgy=lg(x+y),xy 是二项“积”的形式,但不知其“和”的形式 x+y 是否定值, 而已知是 3x 与 2y 的和为定值 12,故应先配系数,即将 xy 变形为 3x·2y6,再用均值 不等式.

解 x,y>0,lgx+lgy=lg(xy)=lg3x·2y6≤lg163x+2y22=lg161222=lg6, 当且仅当 3x=2y,即 x=2,y=3 时,等号成立. 所以 lgx+lgy 的最大值是 lg6. 评注 本题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利用 ab≤a+b22 来解决. 三、 裂项 例 3 已知 x>-1,求函数 y=(x+5)(x+2)x+1 的最小值. 分析 在分子的各因式中分别凑出(x+1),借助于裂项解决问题. 解 x+1>0,y=[(x+1)+4][(x+1)+1]x+1 =(x+1)+4x+1+5 ≥2(x+1)4x+1+5=9,?? 当且仅当 x+1=4x+1,即 x=1 时,取等号. 所以 ymin=9. 四、 取倒数 例 4 已知 0<x<12,求函数 y=(x+1)2x(1-2x)的最小值. 分析 分母是 x 与(1-2x)的积,可通过配系数,使它们的和为定值;也可通过配系数,使 它们的和为(1+x)(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由 0<x<12,得 1+x>0,1-2x>0. 取倒数,得 1y=x(1-2x)(1+x)2=13·3x1+x·1-2x1+x ≤133x1+x+1-2x1+x22=112, 当且仅当 3x1+x=1-2x1+x,即 x=15 时,取等号. 故 y 的最小值是 12.

五、 平方 例 5 已知 x>0,y>0,且 2x2+y23=8,求? x6+2y2 的最大值. 分析 条件式中的 x 与 y 都是平方式,而所求式中的 x 是一次式,y 是平方式但带根号. 初看似乎无从下手,但若把所求式? x6+2y2 平方,则解题思路豁然开朗,即可利用均值不 等式来解决. 解 (x6+2y2)2=x2(6+2y2) =3·2x21+y23 ≤32x2+1+y2322=3922, 当且仅当 2x2=1+y23,即 x=32,y=422 时,等号成立. 故 x6+2y2 的最大值是 923. 评注 本题也可将 x 纳入根号内,即将所求式化为 x2(6+2y2),先配系数,再运用均值不 等式的变式. 六、 换元(整体思想) 例 6 求函数 y=x+22x+5 的最大值. 分析 可先令 x+2=t,进行换元,再使分子常数化,然后运用均值不等式来解决. 解 令 x+2=t,则 t≥0,x=t2-2, 则 y=t2t2+1(t≥0). 当 t=0 时,y=0; 当 t>0 时,y=12t+1t≤122t·1t=24. 当且仅当 2t=1t,即 t=22 时,取等号. 所以 x=-32 时,y 取最大值为 24. 七、 逆用条件 例 7 已知 1x+9y=1(x>0,y>0),则 x+y 的最小值是 . 分析 直接利用均值不等式,只能求 xy 的最小值,而无法求 x+y 的最小值.这时可逆用

条件,即由 1=1x+9y,得 x+y=(x+y)1x+9y,然后展开即可解决问题. 解 由 x>0,y>0,1x+9y=1,得 x+y=(x+y)1x+9y=yx+9xy+10≥2yx·9xy+10=16, 当且仅当 yx=9xy,即 x=4,y=12 时,等号成立. 故 x+y 的最小值是 16. 评注 若已知 x>0,y>0,x+y=1(或其他定值),要求 1x+9y 的最大值,则同样可运用 此法. 八、 巧组合 例 8 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-? 23,求 2a+b+c 的最小值 . 分析 初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用 a+b≥? 2ab 来解决.换个思路,可 考虑将 2a+b+c 重新组合,变成(a+b)+(a+c),而(a+b)(b+c)等于定值 4-23,于是就可以利 用均值不等式了. 解 由 a,b,c>0,知 2a+b+c=(a+b)+(a+c) ≥2(a+b)(a+c)=2a2+ab+ac+bc=24-23=23-2,当且仅当 b=c,即 b=c= 3-1-a 时,等号成立. 故 2a+b+c 的最小值为 23-2. 九、 消元 例 9 (2008 年江苏卷)设 x,y,z 为正实数,x-2y+3z=0,则 y2xz 的最小值是. 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得 y=x+3z2,则可对 y2xz 进行消元,用 x,z 表示,即变为二元式,然后可利用均值不等式解决问题. 解 由 x,z>0,y=x+3z2,可得 y2xz=x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3,当且仅当 x=3z,即 x=y,z=y3 时,取“=”. 故 y2xz 的最小值为 3. 巩 固 练 习 1. 当 0<x<π2 时,f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x 的最小值为 .

2. 若 x,y 是正数,则 x+12y2+y+12x2 的最小值是 . 3. 已知对于 x,y∈R 且 x<y,不等式 x+y≤ax+y 恒成立,求实数 a 的最小值. 4. 如右图,要设计一张矩形广告,该广告要包含左右两个全等的矩形栏目(即右图中 阴影部分) ,这两个栏目的面积之和为 18 000cm2,四周空白的宽度均为 10cm,中缝空白的宽 度为 5cm,怎样确定该广告的高与宽的尺寸(单位:cm),才能使该广告的面积最小? (参考答案见第 41 页)


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