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排列组合常见题型及解题策略


排列组合常见题型及解题策略
一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能
重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可 顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底 数,哪个是指数 【例 1】 (1)有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方

法? (2)有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(1) 3 (2) 4
4
3

(3) 4

3

【例 2】 8 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有( ) A、 8
3

B、 3

8

C、 A8

3

D、 C8

3

【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把 8 名学生看作 8 家“店”,3 项冠军看作 3 个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有 8 种可能,因此共有 8 种不同的结 果。所以选 A
3

二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
【例 1】 A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么不同的排法种数有
4 【解析】:把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列, A4 ? 24 种

【例 2】(2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有 且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 )

2 2 2 2 【解析】 : 间接法 6 位同学站成一排, 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,C3 A2A4A2 =432 种 2 2 2 2 其中男生甲站两端的有 A1 2C3 A2A3 A2 =144 ,符合条件的排法故共有 288

三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定
的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例 1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
5 2 【解析】:除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A6 种,不同的排法种数是 5 2 A5 A6 ? 3600 种

【例 2】 书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有 体数字作答)
1

种不同的插法(具

【解析】:

1 1 A1 7 A8A9 =504

【例 3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要 求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
5 2 【解析】:不同排法的种数为 A5 A6 =3600

【例 4】 某工程队有 6 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工 程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程的不同排 法种数是
2 【解析】:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5 个空中,可得有 A5 =

20 种不同排法。 【例 5】某市春节晚会原定 10 个节目,导演最后决定添加 3 个与“抗冰救灾”有关的节目,但是赈灾节目 不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的 10 个节目的相对顺序不变,则该晚会的节目 单的编排总数为 种.
1 1 【解析】: A1 9A10A11 =990

【例 6】.马路上有编号为 1,2,3?,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏, 也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种? 【解析】:把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方法,所以满足 条件的关灯方案有 10 种. 说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问 题容易解决. 【例 7】 3 个人坐在一排 8 个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
3

【解析】: 解法 1、先将 3 个人(各带一把椅子)进行全排列有 A 3 3 ,○*○*○*○,在四个空中分别放一
3 把椅子, 还剩一把椅子再去插空有 A 4 种, 所以每个人左右两边都空位的排法有 A1 4 A 3 =24

1

种. 解法 2:先拿出 5 个椅子排成一排,在 5 个椅子中间出现 4 个空,*○*○*○*○*再让 3 个人 每人带一把椅子去插空,于是有 A 3 4 =24 种. 【例 8】 停车场划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方 法有多少种? 【解析】:先排好 8 辆车有 A 8 8 种方法,要求空车位置连在一起,则在每 2 辆之间及其两端的 9 个空档中
1 8 任选一个,将空车位置插入有 C 1 9 种方法,所以共有 C 9 A 8 种方法.

注:题中*表示元素,○

表示空.

四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其
它的元素。
2

【例 1】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事 翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均 能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 ) D. 48 种

2 3 【解析】: 方法一: 从后两项工作出发,采取位置分析法。 A3 A3 ? 36

1 1 3 方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法 C2 C2 A3 ? 24 ;若小张、小赵都入选,则有 2 2 选法 A2 A3 ? 12 ,共有选法 36 种,选 A.

【例 2】

1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
4

1 【解析】: 老师在中间三个位置上选一个有 A3 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法;所以共有

1 4 A3 A4 ? 72 种。.

【例 3】 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
6 【解析】 法一: A1 5A 6 ? 3600 2 5 法二: A6 A5 ? 3600

7 6 6 法三: A7 ? A6 ? A6 ? 3600

五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
【例 1】(1) 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 )

(2)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元素排 在后排,有多少种不同排法?
6 【解析】 : (1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共 A6 ? 720 种,

选 C .(2)看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在后半段的四
1 2 5 个位置中选一个有 A4 种,其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A5 种,故共有 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.
1 5

2

五.定序问题缩倍法(等几率法):在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍
数的方法. 【例 1】. A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以不相邻)那么不同的排 法种数是( )

【解析】 : B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半, 即

1 5 A5 ? 60 种 2

【例 2】 书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有多少种不同的插法?
3

3 【解析】 :法一: A9

法二:

1 9 A9 6 A6

【例 3】将 A、B、C、D、E、F 这 6 个字母排成一排,若 A、B、C 必须按 A 在前,B 居中,C 在后的原 则(A、B、C 允许不相邻),有多少种不同的排法?
3 【解析】 :法一: A6

法二:

1 6 A6 3 A3

六.标号排位问题(不配对问题) 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再
排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 【例 1】 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与 所填数字均不相同的填法有( A、6 种 B、9 种 ) D、23 种

C、11 种

【解析】 :先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方 格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3×1=9 种填法,选 B . 【例 2】:同室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则 4 张贺年 卡不同的分配方式共有( ) (A)6 种 (B)9 种 (C)11 种 (D)23 种 【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为 a、b、c、d。 第一步,甲取其中一张,有 3 种等同的方式; 第二步,假设甲取 b,则乙的取法可分两类: (1)乙取 a,则接下来丙、丁取法都是唯一的, (2)乙取 c 或 d(2 种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理,一共有 3 ? (1 ? 2) ? 9 种分配方式。 故选(B)

六.不同元素的分配问题(先分堆再分配):注意平均分堆的算法
【例 1】将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 【解析】:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 ; 2 A2

种.

3 第 二 步 将 分 好 的 三 组 分 配 到 3 个 乡 镇 , 其 分 法 有 A3 所以满足条件得分配的方案有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 【例2】 5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有 (A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 种。

3 1 1 C5 C2C1 3 ? A3 【解析】:人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式,若是 1,2,2,则有 =60 种,若是 1,1,3, 2 A2

4

则有

1 2 2 C5 C4 C2 3 ? A3 =90 种,所以共有 150 种,选 A 2 A2

【例 3】 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 ( ) (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 【解析】:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分成
1 2 C5 ? C4 3 三组, 一组 1 人, 另两组都是 2 人, 有 再将 3 组分到 3 个班, 共有15 ? A3 ? 15 种方法, ? 90 2 A2

种不同的分配方案,选 B. 【例 4】 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外 商不同的投资方案有( )种 A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种
2 2 2 3 3 【解析】:按条件项目可分配为 2,1,0,0 与 1,1,1, 0 的结构,∴C4 C3 A2 ? C4 A3 ? 36 ? 24 ? 60

故选 D;

【例 5】 有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务, 不同的选法种数是( A、1260 种 ) C、2520 种 D、5040 种

B、2025 种

【解析】:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第三步从另外
2 1 1 的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C10 C8C7 ? 2520 种,选 C .

【例 6】.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中 甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 【解析】:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A8 种; ②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其余学生有 A8 方法,所以共有 3 A8 ; ③若乙参加而甲不参加同理也有 3 A8 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方法,然后再安 排其余 8 人到另 两个城市有 A8 种,共有 7 A8 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 A8 ? 3A8 ? 3A8 ? 7 A8 ? 4088
2 2 3 3 3 4

4

3

3

2



七.相同元素的分配问题隔板法:
【例 1】:把 20 个相同的球全放入编号分别为 1,2,3 的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编 号数,则有多少种不同的放法? 【解析】:向 1,2,3 号三个盒子中分别放入 0,1,2 个球后还余下 17 个球,然后再把这 17 个球分成 3 份,每份至少一球,运用隔板法,共有 C16 ? 120种。
5
2

【例 2】

10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?

【解析】:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆至少一个, 可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的
6 分配方案为 C9 ? 84 种.

【例 3】:将 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球放入 4 各不同的盒子中的 3 个中,使得有 一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种? 【解析】: 1、先从 4 个盒子中选三个放置小球有 C4 种方法。 2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以 在 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球所产生的 3 个、4 个 5 个空挡中分别 插入两个板。各有 C3 、 C4 、 C5 种方法。 3、由分步计数原理可得 C4 C3 C4 C5 =720 种
3 2 2 2 2 2 2 3

八.多面手问题( 分类法---选定标准)
【例 1】: 有 11 名外语翻译人员,其中 5 名是英语译员,4 名是日语译员,另外两名是英、日语均精通, 从中找出 8 人,使他们可以组成翻译小组,其中 4 人翻译英语,另 4 人翻译日语,这两个小 组 能 同 时 工 作 , 问 这 样 的 8 人 名 单 可 以 开 出 几 张 ?

4 4 3 1 4 4 1 3 2 4 4 2 3 1 1 3 C5 C4 ? C5 C2C4 ? C5 C2C4 ? C5 C4 ? C5 C4 ? C5 C2C1 C4

九.走楼梯问题 (分类法与插空法相结合)
【例 1】 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16 级台 阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法? 【解析】 :插空法解题:考虑走 3 级台阶的次数: 1)有 0 次走 3 级台阶(即全走 2 级),那么有 1 种走法; 2)有 1 次走三级台阶。(不可能完成任务); 3)有两次走 3 级台阶,则有 5 次走 2 级台阶:
1 (a) 两次三级台阶挨着时: 相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中, 有 C6 ?6


2 (b) 两次三级不挨着时: 相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中, 有 C6 ? 15

种走法。 4)有 3 次(不可能) 5)有 4 次走 3 级台阶,则有 2 次走两级台阶,互换角色,想成把两个 2 级台阶放到 3 级台阶形成得空中,

6

1 2 同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种 C5 ? C5 ? 15 走法;

6)有 5 次(不可能) 故总共有:1+6+15+15=37 种。

十.排数问题(注意数字“0”)
【例 1】(1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有 ( ) A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种

5 【解析】 :按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个,

1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个,合并总计 300 个,选 B .

(2)从 1,2,3,?,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计顺序)有多少种? 【解析】 :将 I ? ?1,2,3

,100 ? 分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集 A ? ?4,8,12, 100? ;能被 97? ,能被 4 除余 2 的数集 C ? ?2,6, ,98? ,能被 4 除余 3 的

4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9, 数集 D ? ?3,7,11,

99? ,易见这四个集合中每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;

从 B, D 中各取一个数也符合要求; 从 C 中任取两个数也符合要求; 此外其它取法都不符合要求;
2 1 1 2 所以符合要求的取法共有 C25 种. ? C25 C25 ? C25

十一.染色问题:涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论; (3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。 【例 1】 将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______. 【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、B、
1 2 C、D 四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C5 A4 ? 60 种方法。

(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两 种染 A 与 B,由于 A、B 颜色可以交换,故有 A4 种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染 D 或 C,而 D 与 C,而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有 C5 A4 C2C2 ? 240 种方法。
1 2 1 1 2

(3)若恰用五种颜色染色,有 A5 ? 120 种染色法
5

综上所知,满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。【答案】420. 【解析二】设想染色按 S—A—B—C—D 的顺序进行,对 S、A、B 染色,有 5 ? 4 ? 3 ? 60 种染色方法。 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色, 这影响 到 D 点颜色的选取方法数,故分类讨论:
7

C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一),D 应与 A(C)、S 不同色,有 3 种选择; C 与 A 不同色时, C 有 2 种选择的颜色, D 也有 2 种颜色可供选择, 从而对 C、 D 染色有 1? 3 ? 2 ? 2 ? 7 种染色方法。 由乘法原理,总的染色方法是 60 ? 7 ? 420 【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图, 对这五个区域用 5 种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法? 总体实施分步完成,可分为四大步: ①给 S 涂色有 5 种方法;②给 A 涂色有 4 种方法(与 S 不同色);③给 B 涂色有 3 种方法(与 A,S 不同色); ④给 C,D 涂色.当 C 与 A 异色时,C,D 都有 2 种涂色方法; 当 C 与 A 同色时,C 有一种涂色方法(与 A 同 色),D 有 3 种涂色方法.给 C,D 涂色共有 2×2+3=7 种方法. 由分步计数原理共有 5×4×3×7=420 种方法 [规律小结] 涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;(2)根据相对区域是否同 色分类讨论;(3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。

十二.“至多”“至少”问题用间接法或分类: 十三. 几何中的排列组合问题: x y 【例 1】 已知直线 ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点的横坐标和纵 a b
坐标均为整数,那么这样的直线共有 条 12 个 , 【解析】: 圆上的整点有: ( ? 6, ? 8) ,( ? 8, ? 6),( ? 10,0),(0 ? 10)
2 C12 =66

其中关于原点对称的有 4 条 不满则条件 切线有 C1 12 =12 不满则条件 66-4+12-14=60

其中平行于坐标轴的有 14 条 答案:60

8


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