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第11单元-算法初步、复数、推理与证明-数学(理科)-人教B版


新课标·人教B版

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第十一单元

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算法初步、复数、 推理与证明

第65讲 第66讲 第67讲 第68讲

算法初步 合情推理与演绎推理 数学证明 数系的扩充与复数的引入

单元网络

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核心导语

一、算法与程序框图 1.框图:利用条件结构和循环结构的程序框图 是重点. 2.语句:基本算法语句与框图的对应. 二、复数 1.概念:复数的核心概念是基础. 2.运算:复数的四则运算以及乘方、求模运算是 重点. 三、推理与证明 综合应用:常与立体几何、解析几何、数列、函 数、不等式等知识综合.

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使用建议
1.编写意图 本单元是新课标考纲中的新增内容, 考查范围广, 内容多, 涉及数学知识的方方面面,难易度不易把握.以教材为根本, 以考试大纲为准绳,在编写过程中突出了以下两个特点: (1)突出主干知识.对核心知识和常考知识点进行重点设 计, 对各种基本题型进行了详细阐述. 比如在算法初步部分的 编写中,突出了对学生算法思想及运用程序框图能力的训练, 对算法案例进行了弱化处理, 目的是帮助学生在繁杂的知识中 构建知识体系,抓住重点,提高复习效率. (2)体现新课标理念.编写过程中尽量体现以学生为主体, 在试题的选择上, 以便于学生以自主学习, 自主探究为出发点, 培养学生的创新能力. 比如合情推理这一知识点, 为创新性试 题的命题提供了较好的空间, 对于这部分试题的选取都体现了 新颖性.
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使用建议
2.教学指导 尽管本单元内容是新课标考纲中新增的内容,除算法、复数 内容外,突出了对学生推理与创新能力的考查,但教学中仍然要 以掌握基础知识、基本方法为出发点,切不可盲目加大难度.教 学时要做好以下几点: (1)对算法初步教学的建议:由于试题主要考查程序框图和 基本算法语句,复习该部分时要抓住如下要点:一是程序框图的 三种基本逻辑结构,弄清三种基本逻辑结构的功能和使用方法, 结合具体题目掌握好一些常见计算问题的程序框图题, 如数列求 和、累加、累乘等程序框图;二是理解基本算法语句,搞清楚条 件语句与条件结构的对应关系, 循环语句与循环结构的对应关系 等.

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使用建议
(2) 对复数部分教学的建议:新教材对复数的要求有所降 低,复习时要重视基础,理解复数、相等复数、共轭复数及复数 的模等概念,掌握复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件,掌握 复数的四则运算, 理解复数加减法的几何意义. 同时注重复数的 基本运算和技巧运用,来提高解题速度和准确度. (3)对推理与证明教学的建议:本单元是培养学生良好思维 习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要一环.要 站在数学思想方法的高度, 对多年来所学习的数学知识和数学方 法进行系统的梳理. 务必使学生对数学发现与数学证明方法有一 个较为全面的认识. 要重视对合情推理的训练, 加强合情推理与 演绎推理的综合运用. (4)充分重视学生的主体作用:本单元学生都可以独立地完 成其中的绝大多数内容,教师在教学中要把这个特点发挥出来, 在不需要讲的地方就不讲、能少讲的不多讲
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3.课时安排 本单元包含 4 讲和 1 个滚动基础训练.建议每讲 1 课时, 45 分钟滚动基础训练卷 1 课时,本单元共需 5 课时.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第65讲 初步算法

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考试说明

1.算法的含义、程序框图 (1)了解算法的含义,了解算法的思想. (2)理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、 条件分支、循环. 2.基本算法语句 理解几种基本算法语句——输入语句、输出 语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

1.算法 (1)定义 算法是指按照一定的规则解决某一类问题的明确 和有限的步骤,算法的基本思想就是___________ 程序化思想 . (2)特点 ①________ 确定性 ——每一步都是确定的,能有效地执行, 能得到确定的结果. 有限性 ——步骤是有限的. ②________ 不唯一性 ——求解一个问题的算法不一定只有一 ③________ 种,对于同一个问题可以有多种不同的算法.

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

2.程序框图 (1)程序框图的概念:程序框图又称流程图,是一种用 流程线 及________ 文字说明 来准确、直观地表示算法的图 程序框 、________ ________ 形. (2)构成程序框图的图形符号及作用
程序框 名称 起止框 输入、输出框 处理框 判断框 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立,成立时在出 口处标明“是”;不成立时标明 “否” 连接程序框

↓ ?

流程线

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

3.三种逻辑结构
名称 内容 顺序结构 集 由 若 干 个 依次执行 的步骤 __________ 组成的,这是任何 一个算法都离不开 的基本结构 条件结构 若算法的流程根据 条件是否成立 有 _____________ 不同的流向,条件 结构就是处理这种 过程的结构 循环结构 或从某处开始, 按照一定的条件 反复执行 某些步骤的情况, 反复执行的步骤称 为________ 循环体

定义

程序框图

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

4.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
语句 输入语句 输出语句 赋值语句 一般格式 input“提示内容”;变量 print“提示内容” ;表达式 变量=表达式 功能

输入信息 _______________ 输出常量、变量的 _______________ 值和系统信息 _______________ 将表达式代表的值 _______________ 赋给变量 _______________

5. 条件语句 条件结构 与条件语句相对应. ①程序框图中的________ ②条件语句的格式及框图

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步
(i)if 格式(如图 11-65-1 所示)

(ii) if—else 格式(如图 11-65-2 所示)

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

6.循环语句 循环结构 与循环语句相对应. ①程序框图中的________ ②循环语句的格式及框图 while 语句(如图 11-65-3 所示)

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

—— 链接教材 ——
1.如果执行如图 11654 所示的程序框图, 输入 x=-12,那么输出的结果是 .

图 11-65-4 .
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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

[答案]

3

[解析] 依题意得,执行完第 1 次循环后,x=-12+3= -9≤0;执行完第 2 次循环后,x=-9+3=-6≤0;执行 完第 3 次循环后,x=-6+3=-3≤0;执行完第 4 次循 环后,x=-3+3=0≤0;执行完第 5 次循环后,x=0+3 =3>0.结合题中的程序框图可知,最后输出的结果是 3.

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

2.阅读如图 11655 所示的程序框图,若运行 1 该程序后输出的 y 值为 ,则输入的实数 x 的值为 8



图 11655

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

3 [答案] 4

[解析] 由流程图可得,该程序为计算分段函数 2 1 2 x ? ? ? -1,x>0, ?2x2-1= , 8 y=?1x 的值,由? ,x≤0 ? ? ?x>0 ?2 ? ?x≤0, 3 或?1x 1 解得 x=4. = , ? ?2 8

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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步
3.当 a=1,b=3 时,执行完如图 11?65?6 所示的 一段程序后 x 的值是________.
if a<b x=a+b; else x=a-b; end

图 11656
[答案] 4
[解析] ∵a<b,∴x=a+b=4.
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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

—— 疑 难 辨 析 ——
算法结构的几种形式 (1)算法的条件结构是选择程序走向的. ( ) (2)任何算法必有条件结构. ( ) (3)?是赋值框,有计算功能. ( ) (4)算法框图中如果有◇,则一定是条件结构( ) (5)当型循环是在给定条件不成立时,执行循环体, 反复进行,直到条件成立为止. ( ) (6)直到型循环是当条件不满足时,执行循环体, 直到满足条件为止. ( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
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第65讲
双 向 固 基 础

算法初步

[解析] (1)条件结构是根据某种条件是否满足来选择程 序的走向,当条件满足时,运行“是”的分支,不满足 时运行“否”的分支. (2)任何算法必有顺序结构,可以没有条件结构. (3)此框是输入、输出框,没有计算功能. (4)循环结构中也有◇. (5)当型循环是给定条件成立时,执行循环体,完毕 后如果仍然成立,再执行循环体,反复进行,直到某一 次条件不成立为止,此时不再执行循环体,离开循环结 构.当型循环的特点是先判断,后执行. (6)直到型循环是先执行循环体,然后判定条件是否 成立,如果仍然不成立,则继续执行循环体,直到某一 次条件成立为止,不再执行循环体,离开循环结构.直 到型循环的特点是先执行,后判断.
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第65讲

算法初步

?

探究点一

算法的基本结构

例 1 给出下列三个问题:
点 面 讲 考 向

①输入一个数 x,输出函数

2 ? 1, x≥0, ?x - f(x)=? ? 2, x<0 ?x+

的值;

②求面积为 6 的正方形的周长; ③求三个数 a,b,c 中的最大数. 其中可以用条件语句来描述其算法的有( A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 0 个



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第65讲

算法初步

[答案] B
点 面 讲 考 点

[解析]算法中需要逻辑判断的都要用到条件语句.①③都 需要进行逻辑判断, 故都要用到条件语句, ②只需用顺序 结构就能描述其算法.

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第65讲

算法初步

点 面 讲 考 点

归纳总结 三种基本逻辑结构的主要作用:顺序结构是最简单 的算法结构,它是任何一个算法都离不开的基本算法结 构 . 条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法 中,如分段函数的求值、数据的大小比较等问题.循环结构 主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和、 累乘求积等问题.

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第65讲

算法初步

变式题(1)半径为r的圆的面积公式为s=π r2,当r=5时, 计算面积的流程图为( )
点 面 讲 考 点

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第65讲

算法初步

[答案]
点 面 讲 考 点

D

[解析] ∵输入和输出框是平行四边形,故计算面积的流程 图为 D.

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第65讲

算法初步

?

探究点二

程序框图的综合性问题

点 面 讲 考 点

例 2(1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ]执行如图 11657 所示 的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=( 1 1 1 A. 1+ + +?+ 2 3 10 1 1 1 B.1+ + +?+ 2! 3! 10! 1 1 1 C.1+ + +?+ 2 3 11 1 1 1 D.1+ + +?+ 2! 3! 11! 图 11?65?7



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第65讲

算法初步
(2)[2013· 南昌三中三模] 如图 11658 所示的算法流程 图中输出的最后一个数为- 55 ,则判断框中的条件为 ( ) A.n<11 B. n≥11 C. n<10 D. n≥10

点 面 讲 考 点

图 11658
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第65讲

算法初步

点 面 讲 考 点

[思考流程] (1)分析:需要得出程序是计算什么数值的. 推理:根据变量变化规律、判断条件得出算法的 功能. 结论:结合选项作出判断. (2)分析:需要知道计算次数. 推理:根据程序框图得出计算规律,根据输出值求 解计算次数. 结论:写出判断条件.

[答案] (1)B

(2)C

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第65讲

算法初步

点 面 讲 考 点

1 1 [解析] (1)k=1,T=1,S=1;k=2,T= ,S=1+ ;k=3, 2 2 1 1 1 1 1 1 T= , S=1+ + ; k=4, T= , S=1+ + 2× 3 2 2×3 2×3×4 2! 3! 1 1 1 1 + ,…,11>10 成立,输出 S=1+ + +…+ . 4! 2! 3! 10!

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第65讲

算法初步

点 面 讲 考 点

(2)程序在运行过程中各变量的值如下所示: 是否继续循环 n S 环前 / 1 1 一圈 是 2 -3 二圈 是 3 6 三圈 是 4 -10 四圈 是 5 15 五圈 是 6 -21 六圈 是 7 28 七圈 是 8 -36 八圈 是 9 45 九圈 是 10 -55 十圈 否 故退出循环的条件应为 n<10.

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第65讲

算法初步

点 面 讲 考 点

归纳总结 高考对算法的考查集中在程序框图,特别是带有 循环结构的程序框图,主要通过数列求和、求积,统 计中的平均数、方差的计算,函数值的计算等设计试 题.解决的方法是弄清楚程序框图中的计数变量和累加 变量的关系,弄清楚循环结束的控制条件,通过逐步 计算、模拟程序的计算方法找到其中的规律.

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第65讲

算法初步

点 面 讲 考 点

变式题[2013·太原一模]执行如图 11?65?9 所示 的程序框图,若输出的 b 的值为 16,则图中判断框内 ①处应填( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5

图 11?65?9

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第65讲

算法初步

[答案] B
点 面 讲 考 点

[解析] 判断框中的条件是 a≤3.∵第一次循环结果为 b= 2,a=2,第二次循环结果为 b=4,a=3,第三次循环结 果为 b=16,a=4,不满足判断框中的条件,输出的结果 是 16,满足已知条件.

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第65讲

算法初步

?

探究点三

基本算法语句的应用

点 面 讲 考 点

例 3 [2013· 陕西卷改编]根据如图 116510 所示的 算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为( ) x= input( “x=” ) ; if x≤50 y=0.5*x; else y=25+0.6*(x-50) ; end y 图 11?65?10 A. 25 B. 30 C. 31 D. 61

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第65讲

算法初步

[答案]
点 面 讲 考 点

C

[解析]算法给出的是计算分段函数 y=
? ?0.5x,x≤50, ? 的值.当输入 ? ?25+0.6(x-50),x>50

x=60 时,y=25

+0.6×(60-50)=31.

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第65讲

算法初步

多 元 提 能 力

[点评] 同一问题可以有不同的程序, 解决这类试题的关键是 分析程序是用哪种算法语句编制的.根据循环语句讨论其 执行结果时,首先要分清是属于直到型循环结构还是当型 循环结构,通常根据循环语句所表达的意义,具体执行程 序,明确程序功能,就可以得到其输出结果.一般情况下, 要善于将算法语句转化成程序框图再作进一步分析

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第65讲

算法初步

点 面 讲 考 点

归纳总结 (1)输入、输出和赋值语句是任何一个算法中必不 可少的语句,一个语句可以输出多个表达式 .在赋值语句 中,一定要注意其格式的要求,如“=”的右侧必须是表达 式,左侧必须是变量;一个语句只能给一个变量赋值;变 量的值始终等于最近一次赋给它的值,先前的值将被替 换; 条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构, 解决 像“判断一个数的正负” “比较两个数的大小” “对一组数 进行排序” “求分段函数的函数值”等问题时,就需要用 到条件语句. (2)循环语句有两种格式,要区分两者的异同,主 要是在解决需要反复执行的任务时, 如解决算法问题里的 累加、累乘等问题,需用循环语句编写程序,注意合理设 计计数变量、累积变量和判断条件.
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第65讲

算法初步

易错究源

23.误解判断条件致误

例 运行如图 11?65?11 所示的程序框图,

多 元 提 能 力

图 11?65?11 则输出的结果 s=

.

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第65讲

算法初步

[错解] 初值s=1,k=1; 第一次循环后k=2,s=1+22=5; 第二次循环后k=3,s=5+23=13; 第三次循环后k=4,s=13+24=29; k=4循环结束,s=29.①
多 元 提 能 力

[错因] ①错因:注意循环终止的条件,即只要k>4 即终止循环,输出结果.

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第65讲

算法初步

多 元 提 能 力

[正解] 61 [解析] 初值 s=1,k=1; 第一次循环后,k=2,s=1+22=5; 第二次循环后,k=3,s=5+23=13; 第三次循环后,k=4,s=13+24=29; 第四次循环后,k=5,s=29+25=61. 因为 k=5>4,循环结束,s=61

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第65讲

算法初步

【备选理由】 本讲复习的难点是对循环结构的理解和应用,例 1 与循环结构有关,例 2 是对条件语句、循语句的 巩固.

教 师 备 用 题
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第65讲

算法初步

例 1 [配例 2 使用]某城市缺水问题比较突出,为了制定节 水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调 查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1,?,x4(单位: t).根据下图所示的程序框图,若 x1,x2,x3,x4 分别为 1, 1.5,1.5,2,则输出的结果 s 为________.

教 师 备 用 题
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第65讲

算法初步

[答案]

1.5

教 师 备 用 题

1 [解析] 第一次循环后,s1=0+1=1,s=1=1; 1 5 第二次循环后,s1=1+1.5=2.5,s= × 2.5= ; 2 4 1 4 第三次循环后,s1=2.5+1.5=4;s=3× 4=3; 1 3 第四次循环后,s1=4+2=6,s= × 4 6=2; 第五次循环后,i=5>4,跳出循环,输出 s=1.5.

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第65讲

算法初步

例 2 [配例 3 使用]如图所示的算法语句,若执行的结 果是 3,则输入的 x 值为________. x =input(“ x”); if x>=0 y=x; esle y=-x; end y
教 师 备 用 题
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第65讲

算法初步

[答案] 3 或-3
[解析] 本题是计算 y=|x|的一个算法程序,由 y=3, 得 x=± 3.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第66讲 合情推理与演绎推理

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考试说明

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单 的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简单的演绎推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理

1.推理的概念 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维 方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分 前提 是已知的事实(或假设),叫作________ ,一部分是由已知推 结论 出的判断,叫作________ . 2.合情推理 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进 合情推理 .合情推理 行归纳、类比,然后提出猜想的推理叫________ 归纳推论 和________ 类比推论 两类. 可分为________

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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理

(1)归纳推理 部分对象 具有的某些特征,推出该类事物 由某类事物的________ 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出 的________ 一般结论的推理,叫归纳推理.简言之,归纳推理是由 全部 到______ 整体 、由______ 个别 到______ 一般 的推理. ______ (2)类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫作类比 推理.简言之,类比推理是由_____ 特殊 到_____ 特殊 的推理.

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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理

3.演绎推理 (1)定义 从一般性的真命题(原理或逻辑规则)出发,推出某个特 殊情况下的结论的推理叫演绎推理.简言之,演绎推理是 由_____ 特殊 的推理. 一般 到_____ (2)三段论 三段论是演绎推理的一般模式,它包括: 大前提 ——已知的一般原理; ①_______ 小前提 ——所研究的特殊情况; ②_______ 结论 ——根据一般原理,对特殊情况作出的判 ③_______ 断.

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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理

—— 链接教材 ——
1.数列 2,5,11,20,x,47,…中 的 x 等于 .

[答案] 32
[解析] 由 5-2=3,11-5=6,20-11=9, 得 x-20=12, ∴x=32.

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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理

2.观察下列等式: 13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2,…, 根据上述规律,第 4 个等式为____________________ ___________________________.

[答案] 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或 152)
[解析]按观察前 3 个等式发现等式左边分别是从 1 开始的 2 个数、3 个数、4 个数的立方和,等式右边分别是这几个 数的和的平方,因此可得第 4 个等式是 13+23+33+43+53 =(1+2+3+4+5)2=152.
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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理

3.在平面上,若两个正三角形的边长的 比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在空间 中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的 体积为 .

[答案] 1:8

1 S1h1 3 V1 S1 h1 1 1 1 [解析] = = · = × = . V2 1 S2 h2 4 2 8 3S2h2

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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理

—— 疑 难 辨 析 ——
对三种推理的认识 (1) 命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数, 所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因 是使用了类比推理. ( ) (2)三角形与空间的平行六面体作为类比对象较合适. ( ) (3)合情推理的结果一定正确. ( ) (4)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公 式是an=n(n?N+). ( )

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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理
2 3 3 4 , 3+ =3 , 4+ = 3 8 8 15 4 b b 4 ,?, 6+a=6 a(a,b均为实数), 15 则可以推测a=35,b=6. ( ) (5) 2 2+ =2 3

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第66讲
双 向 固 基 础

合情推理与演绎推理

[答案] (1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

[解析] (1)大前提是特称命题,而小前提是全称命题,使用了“ 三段论”,但大前提使用错误. (2)不是三角形,应该是平行四边形.因为平行六面体 相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边互 相平行. (3)合情推理的结果不一定正确,其正确与否还需要进 一步证明. (4)已知一个数列的前三项,并不知道第四项及以后的 项是什么,所以通项公式不一定是 an=n(n?N+).如 an= (n-1)(n-2)(n-3)+n(n?N+)也可以是其通项公式. (5)观察发现规律即可得出.

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第66讲

合情推理与演绎推理

?

探究点一

归纳推理

点 面 讲 考 向

例1(1) [2013· 陕西卷]观察下列等式: 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第n个等式可为

.

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第66讲

合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 向

(2)[2013· 湖北卷] 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研 究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…, n(n+1) 1 2 1 第n个三角形数为 = n + n,记第n个k边 2 2 2 形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数 中第n个数的表达式: 1 2 1 三角形数 N(n,3)=2n +2n, 正方形数 N(n,4)=n2, 3 2 1 五边形数 N(n,5)=2n -2n, 六边形数 N(n,6)=2n2-n, ?? 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= .
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第66讲

合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据给出的等式分析. 推理:求出等式两边的规律. 结论:得出对应的式子. (2)分析:依据给出的数据分析. 推理:观察已知式子的规律,并改写形式. 结论:归纳可得 N(n,k)的表达式.
[答案] (1)12-22+32-42+…+(-1)n 1n2= n+1n(n+1) (-1) 2 (2)1000


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第66讲

合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

[解析] (1)结合已知所给几项的特点,可知式子左边共 n 项, 且正负交错,奇数项为正,偶数项为负,右边的绝对值为左 边底数的和,系数和最后一项正负保持一致.故第 n 个等式 2 2 2 2 n+1 2 n+1n(n+1) 为 1 -2 +3 -4 +…+(-1) n =(-1) . 2 1 (2)观察可知 k 每增加 1,n2 项系数增加2,n 项系数 k-2 2 1 n 减少2,即 N(n,k)= 2 n +(4-k)2,故 N(10,24)=1000.

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第66讲

合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

点评 应用归纳推理解题:一是要通过观察个别情况发 现某些相同的性质;二是要从已知的相同性质中推出 一个明确表述的一般性命题(猜想).

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第66讲

合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

归纳总结 归纳推理的难点是由个别事实得到一般结论, 破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息,从 中发现一般规律,解题的一般步骤: (1)对有限的资料进行观察、分析、归纳整 理; (2)提出带有规律性的结论,即猜想; (3)检验猜想.

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

变式题[2013· 太原一中月考]用火柴棒摆“金鱼”,如图 11661所示,按照规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒 的根数为( )

图11-66-1 A. 6n-2 C. 6n+2 B. 8n-2 D. 8n+2

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第66讲

合情推理与演绎推理

[答案] C
点 面 讲 考 点

[解析] 由于第 1 个图中有 8 根火柴棒组成,第 2 个图中有 (8+6)根火柴棒组成,第 3 个图中有(8+2× 6)根火柴棒组成, 以此类推,组成第 n 个“金鱼”图的火柴棒的根数是 8+6(n -1).故第 n 个图中的火柴棒有 6n+2 根.

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合情推理与演绎推理

?

探究点二

类比推理

点 面 讲 考 点

例2 (1) [2013· 上海春招卷] 36的所有正约数之和可按 如下方法得到.因为36=22×32,所以36的所有正约数 之和为(1+3+32)+(2+2× 3+2× 32)+(22+22 ×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91. 参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和 为 . (2)已知结论:“在三边长都相等的△ABC中,若D AG 是BC的中点,G是△ABC外接圆的圆心,则GD=2”. 若把该结论推广到空间,则有结论:“在六条棱长都相 等的四面体ABCD中,若M是△BCD的三边中线的交点, AO O为四面体ABCD外接球的球心,则OM= .”
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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

[思考流程] (1)分析:需要根据已知得出规律. 推理:通过已知类比得出一般规律. 结论:将 2000 进行分解后,利用一般规律得出结论. (2)分析:需要知道空间的情况. 推理:通过类比平面推知空间情况. 结论:利用类比方法得出合理的结论.

[答案] (1) 4836

(2) 3

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

[解析] (1)类比 36 的所有正约数之和的方法,可知 2000 的所有正约数之和可按如下方法得到. 因为 2000=24× 53 , 所以 2000 的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1 +5+52+53)=4836. 故求得 2000 的所有正约数之和为 4836.

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

(2)如图所示,易知球心 O 在线段 AM 上,不妨设四面体 ABCD 的边长为 1,外接球的半径为 R, 3 2 3 则 BM= × = , 2 3 3 3 6 AM= 12- 3 2= 3 , 6 32 6 2 R= - R + ,解得 R = 3 3 4. 6 4 AO 故OM= =3. 6 6 - 3 4

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类相类似 的对象之间的推理,类比的关键是能把两个系统之间 的某种一致性(相似性)确切地表达出来,也就是要把相 关对象在某些方面一致性的含糊认识表达清楚.类比 推理能够为我们提供发现的思路和方向,但类比推理 的结论不一定正确.

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

归纳总结 类比推理的难点是发现两类对象的相似特征,由 其中一类对象的特征得出另一类对象的特征,破解的 方法是利用已经掌握的数学知识,分析两类对象之间 的关系,通过两类对象的已知的相似特征得出所需要 的相似特征,其一般步骤如下: (1)找出两类对象之间可以确切表达的相似性 (或一致性); (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性 质,从而得到一个猜想; (3)验证猜想.

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第66讲

合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

变式题[2013· 浙江五校联盟联考]公比为4的等比数列 T20 T30 {bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项积,则有T ,T , 10 20 T40 100 也成等比数列,且公比为 4 ;类比上述结论,相 T30 应地在公差为3的等差数列{an}中,若Sn是{an}的前n 项和,则有相应的S20-S10,S30-S20,S40-S30成等差 数列,该等差数列的公差为 .

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

[答案]

300

[解析] 由等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积, T20 T30 T40 则有T ,T ,T 也成等比数列,且公比为 4100;类比 10 20 30 上述结论,在公差为 3 的等差数列{an}中,我们可以类 比推断出 S20-S10,S30-S20,S40-S30 也构成等差数列, 公差为 100d=300.

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合情推理与演绎推理

?

探究点三

演绎推理

点 面 讲 考 点

例3 (1) 某校对文明班的评选设计了a,b,c,d,e 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式 a c 1 S=b+d+e 来计算各班的综合得分,S的值越高, 则评价效果越好.若某班在自测过程中各项指标显 示0<c<d<e<b<a,则下阶段要把其中一个指标的值 增加1个单位,而使S的值增加最多,那么该指标应 为 (填入a,b,c,d,e中的某个字母)

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

(2)用三段论的形式写出下列演绎推理. ①若两角是对顶角,则该两角相等,所以若 两角不相等,则该两角不是对顶角; ②矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以 正方形的对角线相等; · · ③0. 3 3 2 是有理数; ④y=sin x(x?R)是周期函数.

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

[思考流程] 分析:需要有根据地得出结论的正误及其结果. 推理:运用相关知识使用演绎推理的方法得之. 结论:按照演绎推理方法写出过程.

[答案]

(1) C

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

[解析] (1)因为 a,b,c,d,e 都为正数,所以分子越大 或分母越小时,S 值越大.而在分子都增加 1 的前提下, 当分母越小时,S 的值增长越多. ∵0<c<d<e<b<a,所以 c 增加 1 个单位会使得 S 的值增 加最多. (2)①两个角是对顶角,则两角相等. ∠1 和∠2 不相等, ∠1 和∠2 不是对顶角. ②每个矩形的对角线相等, 正方形是矩形, 正方形的对角线相等.

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

③所有的循环小数是有理数, · · 0. 3 3 2 是循环小数, · · 所以 0. 3 3 2 是有理数. ④三角函数是周期函数, y=sin x(x?R)是三角函数, y=sin x(x?R)是周期函数.

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

归纳总结 合情推理与演绎推理的区别: (1)归纳推理是由特殊到一般的推理; (2)类比推理是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定 正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确. 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要 思维过程,是证明数学问题的基本推理形式. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推 理.也就是说,在具体问题中,常用合情推理猜测 发现结论,利用演绎推理去验证或证明发现的结论.
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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

变式题[2013·南通三模] 已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1+a2+a3=0,a1a2 4+a2a4-a2=0,且 a1>a2 >a3,则 a4 的取值范围是 .

-1- 5 -1+ 5 [答案] ( , ) 2 2

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合情推理与演绎推理

点 面 讲 考 点

[解析] 由 a1+a2+a3=0,a1>a2>a3,得 a1≥0,a3≤0, a1≥|a2|-a3≥|a2|. - a2 ± a2 1 a2 1 a22 a2 2+4a1a2 a4= =-2· 2a1 a1± 2· a1 +4· a1, a2 1 1 2 设a =x,由 a1≥|a2|,得-1≤x≤1,a4=-2x± 2 x +4x. 1 又由 x2+4x≥0,得 0≤x≤1, 1 1 当 a4=-2x+2 x2+4x时,可知若 x=1,a4 取最大, 1 5 最大值 a4=-2+ 2 ; 1 1 当 a4=- x- x2+4x时,可知若 x=1,a4 取最小, 2 2 -1- 5 -1+ 5 1 5 最小值 a4=-2- 2 .则 a4 的取值范围是 , . 2 2
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第66讲

合情推理与演绎推理

思想方法

27.合情推理中的创新思维

例 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色, 当 n≤4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正 方形互不相邻的着色方案如图 11662 所示.

多 元 提 能 力

图 11662 由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的 着色方案共有 种,至少有两个黑色正方形相 邻的着色方案共有 种.(结果用数值表示) .
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合情推理与演绎推理

[答案] 21

43

多 元 提 能 力

[解析] (1)以黑色正方形的个数分类:①若有 3 块黑色正方形, 2 则有 C3 = 4 种;②若有 2 块黑色正方形,则有 C 4 5=10 种; ③若有 1 块黑色正方形,则有 C1 6=6 种;④若无黑色正方形, 则有 1 种.所以共有 4+10+6+1=21 种. (2)至少有 2 块黑色相邻包括:有 2 块黑色相邻,有 3 块黑 色相邻,有 4 块黑色相邻,有 5 块黑色相邻,有 6 块黑色相 1 2 邻等几种情况.①有 2 块黑色正方形相邻,有(C2 3+C3)+A4 1 2 1 +C1 5=23 种;②有 3 块黑色正方形相邻,有 C2+A3+C4= 1 12 种;③有 4 块黑色正方形相邻,有 C1 2+C3=5 种;④有 5 块黑色正方形相邻,有 C1 2=2 种;⑤有 6 块黑色正方形相邻, 有 1 种.故共有 23+12+5+2+1=43 种.

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合情推理与演绎推理

多 元 提 能 力

[规律解读] 归纳推理的一般步骤:首先通过观察个别情况发 现某些相同性质;其次从已知的相同性质中推出一个 明确表达的一般性命题.归纳推理的关键是合乎情理, 要充分利用数学知识,对推理过程和结论进行适当地 调整,使得推理具有可靠性.

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第66讲

合情推理与演绎推理

【备选理由】 例 1 是平面几何中的问题, 例 2 是数列中的演绎推理 问题,例 3、例 4 是数列中的归纳推理问题.

教 师 备 用 题
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第66讲

合情推理与演绎推理

例 1 [配例 1 使用] 若平面上 n 个圆最多把平面分成 f(n)个区 域,则 n+1 个圆最多把平面分成区域的个数为( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+2n C.f(n)+2n-2 D.f(n)+2n+2

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合情推理与演绎推理

[答案] B
[解析] 由于 f(n)表示 n 个圆把平面分割成的区域数,那么 再有一个圆和这 n 个圆相交,则有 2n 个交点,这些交点 将增加的这个圆分成 2n 段弧且每一段弧又将原来的平面 区域一分为二.因此,增加一个圆后,平面分成的区域数 增加 2n 个,即 f(n+1)=f(n)+2n,且 f(1)=2.
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第66讲

合情推理与演绎推理

例 2 [配例 3 使用] 已知数列{an},ai?{-1,0,1} (i=1,2,3,4,…,2012),若 a1+a2+…+a2012=11, 且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2012+1)2=2099,则 a1,a2, …,a2012 中 1 的个数为( ) A.36 B.37 C.38 D.39

教 师 备 用 题
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第66讲

合情推理与演绎推理

[答案] C
[解析] 设 1 的个数有 x 个,根据 a1+a2+…+a2012=11, 则-1 的个数为 x-11 个,0 的个数为 2012-2x+11= 2023-2x.由(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2012+1)2=2099, 得 4x+2023-2x=2099,解得 x=38.

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第66讲

合情推理与演绎推理

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 例 3 [配例 1 使用] 已知数列 , , , , , , , , , , 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 ?,依它的前 10 项的规律,这个数列的第 2012 项 a2012 满足 ( ) 1 1 A.0<a2012< B. ≤a2012<1 10 10 C.1≤a2012≤10 D.a2012>10

教 师 备 用 题
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第66讲

合情推理与演绎推理

[答案]

A

1 2 1 [解析] 这个数列按如下规则分组:第一组 1;第二组1,2; n-r+1 3 2 1 n n-1 n-2 第三组1,2,3;…;第 n 组1, 2 , 3 ,…, r , n-r+2 n(n+1) 1 , …, <2012, 即 n(n+1)<4024, r n.由不等式 2 n(n+1) 得 n≤62,且当 n=62 时, =1953.又 2012-1953 2 =59, 即 a2012 是上述分组中的第 63 组的第 59 个数, 即 a2012 63-59+1 5 1 = =59,故 0<a2012<10. 59

教 师 备 用 题

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第66讲

合情推理与演绎推理

例 4 [配例 1 使用] 如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长 为 1,由下往上的六个点(1,2,3,4,5,6)的横、纵坐标分 别对应数列{an}(n?N*)的前 12 项(即横坐标为奇数项, 纵坐标 为 偶 数 项 ) ,按如此规律下去,则 a2009 + a2010 + a2011 等 于 __________

教 师 备 用 题
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第66讲

合情推理与演绎推理

[答案] C
[解析] 观察点坐标的规律可知,偶数项的值 等于其序号的一半. a4n-3=n,a4n-1=-n. 又 2009=4× 503-3,2011=4× 503-1, 所以 a2009=503,a2011=-503,a2010=1005. 故 a2009+a2010+a2011=1005.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第67讲 数学证明

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考试说明

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法; 了解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法, 了解反证法的思考过程、特点. 3.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题.

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

1.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明 方法叫作直接证明.直接证明有两种基本方法——综合 法和分析法. (1)综合法 综合法是由原因推导到结果的证明方法,它是利用 已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证 ,最后推导出所要证明的结论 ______ 成立 的证明方 ________ 法. 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:

P?Q1 ―→ Q1?Q2 ―→ Q2?Q3 ―→?―→ Qn? Q

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

(2)分析法 要证明的结论 出发,逐步寻求使其成立 分析法是从_______________ 充分 条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一 的______ 个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)的证 明方法. 用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: 得到一个明显 Q?P1 ―→ P1?P2 ―→ P2?P3 ―→?―→ 成立的条件 (3)综合法与分析法的辩证关系 在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思想方法, 而用综合法展现解决问题的过程,即综合分析法.

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

2.演绎间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反 证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义 不成立 ,经过正确的推 一般地,假设原命题的结论______ 矛盾 ,由此说明假设错误,从而证明了 理,最后得出______ 原命题成立,这样的证明方法叫反证法. (2)用反证法证明的一般步骤 ①反设——假设原命题的结论不成立; ②归谬——根据假设进行推理,直到推理中出现矛 盾为止; ③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结 论成立.

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

说明:反证法的证明过程可以概括为“否定—推理 —否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,推导 出逻辑矛盾,从而达到新的否定 ( 即肯定原命题 ) 的过 程.用反证法证明命题“若 p,则 q”的过程可以用框图 表示为: “若p,则綈q” 肯定条件p, 推出逻 为: ―→ ―→ 否定结论q 辑矛盾 为假 “若p,则q” ―→ 为真

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

3.数学归纳法 (1)概念:设命题 p(n)是与正整数 n 有关的命题,如果 满足: ①?n0?N*,命题 p(n0)成立; ②当假设命题 p(k) (k?N*,k≥n0)成立时,可以推 出命题 p(k+1)也成立. 那么,可以断定命题 p(n)对一切满足 n≥n0 的正整 数 n 成立; (2)数学归纳法的适用对象: 数学归纳法是用来证明与 正整数n 有关命题的一种方 法,若 n0 是起始值,则 n0 是使命题成立的 最小正整数 .

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

(3)数学归纳法证题的步骤: ①归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0 时,命题成立; ②归纳递推:假设当 n=k(k≥n0,k?N*) 时,命题成立, 证明 n=k+1 时命题也成立; ③归纳总结:根据①②可知,当 n≥n0 ,且 n?N* 时,命题成立.

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

—— 链接教材 ——
1.用反证法证明命题“三角形三个内角 至少有一个不大于 60°”时,应假设



[答案] 三个内角都大于 60°
[解析] “至少有一个”的否定是“一个也没有”, “不大于”的否定是“大于”.

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

2. 证明不等式 a+1- a< a-1- a-2 (a≥2)所用的最适合的方法是____________.

[答案] 分析法
[解析] 欲比较 a+1- a, a-1- a-2的大小,只 需比较 a+1+ a-2, a-1+ a的大小,( a+1 + a-2)2=2a-1+2 a+1· a-2,( a-1+ a)2 =2a-1+2 a-1· a,只需比较 a+1· a-2, a-1· a的大小,由以上证明可知最适合的方法是分 析法.

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

3.凸 k 边形的内角和为 f(k) ,则凸(k+1) 边形的内角和为 f(k+1)=f(k)+______________.

[答案] π
[解析] 从 k 边形到 k+1 边形, 实际是多了一个三角形, 故凸(k+1)边形的内角和比凸 k 多边形的内角和多 π, 即 f(k+1)=f(k)+π.

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第67讲
双 向 固 基 础

数学证明

—— 疑 难 辨 析 ——
对三种证明方法的基本认识 (1)反证法就是将结论与条件同时否定,推出矛 盾. ( ) (2)综合法是执果索因的逆推证法. ( ) (3)在解决问题时,常常用分析法寻找解题思 想方法,而用综合法展现解决问题的过程. ( ) (4)证明不等式 2+ 7< 3+ 6的最适合的方法 是间接证法. ( ) (5)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”. ( )

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双 向 固 基 础

数学证明

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
[解析](1)反证法是肯定条件,否定结论,推出矛盾. (2)综合法是由因导果的顺推证法. (3)这是由两种方法的特点决定的. (4)最适合的方法是分析法. (5)应假设 a<b 或 a=b.

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数学证明

?

探究点一

利用综合法与分析法证明数学命题

点 面 讲 考 向

例 1(1) 设 a,b 是非负实数, 求证:a3+b3≥ ab(a2+b2) ;
2 x ax e x (2)求证:当 a≥1 时,不等式 e -x-1≤ 2 对于 x?[0,+∞)恒成立.

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数学证明

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:a,b 为非负实数. 目标:证明不等式 a3+b3≥ ab(a2+b2). 方法:根据不等式的结构特点,采用作差比较法. (2)条件:a≥1,x≥0. 2 x ax e 目标:证明不等式 ex-x-1≤ . 2 a 2 x+1 方法:采用分析的方法变换不等式为 x + x ≥1, 2 e 构造函数后通过函数的单调性得之.

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第67讲

数学证明

[证明] (1)方法一(直接作差): 由 a, b 是非负实数, 作差得 a3+b3- ab(a2+b2)=a2 a( a - b)+b2 b( b- a)=( a- b)[( a)5-( b)5].

点 面 讲 考 点

当 a≥b 时, a≥ b,从而( a)5≥( b)5, 即( a- b)[( a)5-( b)5]≥0. 当 a<b 时, a< b,从而( a)5<( b)5, 即( a- b)[( a)5-( b)5]>0. 所以 a3+b3≥ ab(a2+b2), 方法二(平方后作差): (a3+b3)2-[ ab(a2+b2)]2 =a6+b6+2a3b3-(a5b+ab5+2a3b3) =a6-a5b+b6-ab5=a5(a-b)-b5(a-b)=(a-b)(a5-b5).
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第67讲

数学证明
因为 a,b 是非负实数, ①当 a≥b 时,a-b≥0,a5-b5≥0,(a-b)(a5-b5)≥0; ②当 a<b 时,a-b<0,a5-b5<0,(a-b)(a5-b5)>0.

点 面 讲 考 点

综合①②可知,a3+b3≥ ab(a2+b2). 方法三(基本不等式法): ∵a≥0,b≥0,∴a+b≥2 ab,a2-ab+b2≥0, ab(a2-ab+b2) ∴a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2 = ab(2a2-2ab+2b2) = ab[(a2+b2)+(a-b)2]≥ ab(a2+b2), 即 a3+b3≥ ab(a2+b2).

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第67讲

数学证明

点 面 讲 考 点

2 x 2 x ax e ax e (2)要证 ex-x-1≤ 2 成立,只需证 ex≤ 2 +x+1, a 2 x+1 即只需证2x + ex ≥1.(*) a 2 x+1 令 f(x) = x + x , 对 函 数 f(x) 求 导 , 得 f′(x) = ax + 2 e

1· ex-(x+1)ex -x 1 = ax + = xa - . x e ex (ex)2 ∵a≥1,x?[0,+∞),∴f′(x)≥0,∴f(x)是增函数. 故 f(x)≥f(0)=1,从而(*)式得证, ax2ex x 所以,当 a≥1 时,不等式 e -x-1≤ 2 对于 x?[0,+∞) 恒成立.

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数学证明

点 面 讲 考 点

归纳总结 (1)综合法证题的一般规律: 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的 出发点,也就是能想到从哪里起步,一般的处理 方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质, 逐层推进,从而由已知推出结论. (2)分析法证题的一般规律: 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从 结论出发,逆向分析,寻找结论成立的充分条件. 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表 达,下一步是上一步的充分条件.

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第67讲

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点 面 讲 考 点

b d 变式题 (1)已知 p= ab+ cd,q= ma+nc· m+n (m,n,a,b,c,d 均为正数) ,试判断 p 与 q 的大小. 1 (2)用分析法证明:若 a>0,则 a2+ 2- 2≥ a 1 a+a-2.

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mad nbc ab+ n + m +cd

[证明] (1)(综合法)q= ≥ ab+2

abcd+cd= ab+ cd=p.故 p≤q.

点 面 讲 考 点

1 1 1 1 a2+ 2- 2≥a+a-2,只需证 a2+ 2+2≥a+a+ 2. a a 1 1 ∵a>0,故只需证 a2+ 2+22≥a+a+ 22, a 1 1 1 1 2 2 2 即 a +a2+4 a +a2+4≥a +2+a2+2 2a+a+2, 1 1 从而只需证 2 a2+a2≥ 2a+a, 1 1 1 只要证 4a2+ 2≥2a2+2+ 2,即 a2+ 2≥2. a a a 1 2 而不等式 a +a2≥2 显然成立,故原不等式成立. (2)要证
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?

探究点二
例2

利用反证法证明数学命题

点 面 讲 考 点

已知 a,b,c 是互不相等的实数. 求证:由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个不同的交点

[思考流程] 条件:a,b,c 互不相等. 目标:已知的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个 不同的交点. 方法:反设结论,导出矛盾.

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点 面 讲 考 点

[证明] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两 个不同的交点(即任何一条抛物线与 x 轴没有两个不同的交 点),由 y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得 Δ1=(2b)2-4ac≤0, Δ2=(2c)2-4ab≤0, Δ3=(2a)2-4bc≤0. 同向不等式求和得 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0, ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. 故 a=b=c,这与题设 a,b,c 互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而原命题得证

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点 面 讲 考 点

归纳总结 一般以下题型用反证法: (1) “结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、 更明确; (2)否定性命题、唯一性命题、存在性命题、 “至多”“至少”型命题; (3)有的肯定形式命题,由于已知或结论涉及无 限个元素,用直接证明比较困难,往往用反证法.

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?

探究点三

利用数学归纳法证明数学命题

点 面 讲 考 点

1 1 1 例 3 [2013· 郑州模拟] 设 f(n)=1+2+3+…+n (n?N*). 求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1) =n· [f(n)-1] (n≥2,n?N*) .

[思考流程] 条件:函数 f(n)的表达式. 目标:证明一个正整数的等式. 方法:使用数学归纳法.

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1 [证明] (1)当n=2时,左边=f(1)=1,右边=21+2-1
点 面 讲 考 点

=1,左边=右边,等式成立. (2)假设n=k(k≥2,k?N*)时,结论成立, 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当n=k+1时, f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k) ? 1 ? ? =(k+1)f(k)-k=(k+1)?f(k+1)-k+1? ?-k ? ? =(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1], 即当n=k+1时结论仍然成立. 故f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n· [f(n)-1](n≥2,n?N*)

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点 面 讲 考 点

点评
当用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式(或不 等式)时,关键在于“先看项”,弄清式子两边的构成规律, 式子的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关, 由n=k到n=k+1时式子的两边变化的项,然后正确写出 归纳证明的步骤,使问题得以证明.数学归纳法的证明过 程中,要把握好两个关键:一是f(n)与n的关系;二是f(k) 与f(k+1)的关系.

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点 面 讲 考 点

归纳总结
用数学归纳法证题可明确为“两个步骤、一个结论”, 即递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

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变式题 用数学归纳法证明
点 面 讲 考 点

1 1 1 + + 2×4 4×6 6×8 1 n +?+ = (n?N*)成立. 2n(2n+2) 4(n+1)

1 1 [证明](1)当n=1时,左边= = , 2× 1× (2× 1+2) 8 1 1 右边= = . 4× (1+1) 8 左边=右边,所以等式成立.

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(2)假设n=k(k?N*且k≥1)时等式成立,即有 1 1 1 1 k 2× 4+4× 6+6× 8+…+2k(2k+2)=4(k+1), 1 1 1 1 则当n=k+1时, + + +…+ + 2× 4 4× 6 6× 8 2k(2k+2) 1 1 k = + 2(k+1)[2(k+1)+2] 4(k+1) 4(k+1)(k+2) k(k+2)+1 (k+1)2 k+1 = = = 4(k+1)(k+2) 4(k+1)(k+2) 4(k+2) k+1 = , 4(k+1+1) 所以当n=k+1时等式也成立. 由(1)(2)可知,对于一切n?N*等式都成立.
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答题模板

17.正确选用合理的数学证明方法

多 元 提 能 力

例 函数 f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下:x1=2, xn+1 是过两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标. (1)证明:2≤xn<xn+1<3; (2)求数列{xn}的通项公式.

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[解答规范] (1)用数学归纳法证明 2≤xn<xn+1<3. ①当 n=1 时,x1=2,直线 PQ1 的方程为 f(2)-5 y-5= (x-4) , 2-4 11 令 y=0,解得 x2= 4 ,所以 2≤x1<x2<3.[JY](2 分) ②假设当 n=k 时,结论成立,即 2≤xk<xk+1<3. f(xk+1)-5 直线 PQk+1 的方程为 y-5= (x-4) , xk+1-4 (4 分) 3+4xk+1 令 y=0,解得 xk+2= . 2+xk+1
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多 元 提 能 力

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数学证明

3+4xk+1 5 5 由归纳假设知 xk+2= =4- <4- =3, 2+xk+1 2+xk+1 2+3 (3-xk+1)(1+xk+1) xk+2-xk+1= >0,即 xk+1<xk+2. 2+xk+1
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(5 分) 所以 2≤xk+1<xk+2<3,即当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②知对任意的正整数 n,2≤xn<xn+1<3.(6 分)

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3+4xn (2)由(1)及题意得 xn+1= .设 bn=xn-3,则 2+xn 5 1 1 1 1 =b +1,即 +4=5[JB<2(]b +4[JB>2)], (8 分) bn+1 n bn +1 n ?1 1? 3 ? ? + 所以数列 b 4 是首项为- ,公比为 5 的等比数列, 4 ? n ? 1 1 3 n-1 4 因此b +4=-4·5 ,即 bn=- .(10 分) n -1 3 · 5 + 1 n 4 故数列{xn}的通项公式为 xn=3- .(12 分) 3·5n-1+1 1

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多 元 提 能 力

[步骤解读] (1)使用数学归纳法证明第一问,先验证 n=1 时结论 成立; (2)在归纳假设下,证明当 n=k+1 时结论也成立, 根据数学归纳法原理作出命题对一切正整数都成立的结 论; (3)通过构造辅助数列的方法解决第二问,构造合适的 辅助数列; (4)把问题转化为等比数列的通项,并求出其通项公式; (5)把辅助数列的通项公式转化为所求数列的通项公式.

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【备选理由】 所选四道例题分别涉及综合法、分析法、反证法和 数学归纳法证明相关问题.

教 师 备 用 题
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a+b lg a+lg b 例1[配例1使用]证明:若a,b>0,则lg 2 ≥ . 2

教 师 备 用 题

a+b [证明] 当a,b>0时, 2 ≥ ab, a+b 两边取对数,得lg ≥lg ab. 2 lg (ab) lg a+lg b 又lg ab= = . 2 2 a+b lg a+lg b 所以当a,b>0时,lg 2 ≥ . 2

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(a-b)2 a+b 例2 [配例1使用] 已知a>b>0,求证: < 2 - 8a (a-b)2 ab< . 8b
(a-b)2 a+b (a-b)2 [证明]欲证 < 2 - ab< , 8a 8b (a-b)2 a- b2 (a-b)2 只需证 < < . 8a 8b 2 a-b a- b a-b ∵a>b>0,∴只需证 < < , 2 2a 2 2 2b a+ b a+ b 即 <1< . 2 a 2 b

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教 师 备 用 题

a+ b 欲证 <1,只需证 a + b <2 a ,即 b < a ,该 2 a 式显然成立. a+ b 欲证1< ,只需证2 b < a + b ,即 b < a ,该 2 b 式显然成立. a+ b a+ b ∴ <1< 成立,且以上各步均可逆. 2 a 2 b (a-b)2 a+b (a-b)2 ∴ < 2 - ab< 成立. 8a 8b

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例3 [配例2使用]如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF 不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点. (1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF 所成角的正弦值; (2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.

教 师 备 用 题



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[证明] (1)方法一:取CD的中点G,联结MG,NG. 设正方形ABCD,DCEF的边长为2, 则MG⊥CD,MG=2,NG= 2. 因为平面ABCD⊥平面DCEF,所以MG⊥平面DCEF, 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角. 6 因为MN= 6 ,所以sin∠MNG= 3 ,所以MN与平面 6 DCEF所成角的正弦值为 . 3
教 师 备 用 题
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数学证明

方法二:设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标 原点, 分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间 直角坐标系如图所示.则M(1,0, →= 2),N(0,1,0),可得MN (-1,1,-2). → =(0,0,2)为平面 又DA

DCEF的法向量,
→· → MN DA 6 → ,DA → 〉= 可得cos〈MN =- . → ||DA →| 3 |MN 6 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 . 3

教 师 备 用 题

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数学证明

(2)证明:假设直线ME与BN共面,则AB?平面 MBEN,且平面MBEN∩平面DCEF=EN. 由已知,两正方形不共面,故AB? 平面DCEF. 又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF. 因为平面MBEN∩平面DCEF=EN,所以AB∥EN. 又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛 盾,故假设不成立. 所以ME与BN不共面,它们是异面直线.

教 师 备 用 题
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1 1 1 a 例4 [配例3使用] 若不等式 + +…+ > 对 n+1 n+2 3n+1 24 一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明结论.
[证明] 当n=1时, 1 1 1 26 a a + + >24,即24>24, 1+1 1+2 3+1

教 师 备 用 题

所以a<26. 而a是正整数,所以取a=25,下面用数学归纳法证 1 1 1 25 明: + + …+ >24. n+1 n+2 3n+1 (1)当n=1时,可知不等式成立; 1 (2)假设当n=k(k?N*,k≥1)时不等式成立,即 + k+1 1 1 25 +…+ >24. k+2 3k+1
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数学证明
则当n=k+1时, 1 1 1 + +…+ (k+1)+1 (k+1)+2 3(k+1)+1 1 1 1 1 1 1 = + +…+ + + + - k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 ? 1 2 1 25 ? ? 1 > +?3k+2+3k+4-3(k+1)? ?. k+1 24 ? ? 因为 6(k+1) 6(k+1) 1 1 + = 2 > 2 = 3k+2 3k+4 9k +18k+8 9k +18k+9

教 师 备 用 题

6(k+1) 2 1 1 = ,所以 + 9(k+1)2 3(k+1) 3k+2 3k + 4 2 1 1 2 > ,所以 + - >0. 3(k+1) 3k+2 3k+4 3(k+1)
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数学证明

所以当n=k+1时不等式也成立. 由(1)(2)知,对一切正整数n,都有 1 a > ,故a的最大值等于25. 3n+1 24 1 1 + +…+ n+1 n+2

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第68讲 数系的扩充和复数的 引入

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考试说明

1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要 条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.会进行复数代数形式的四则运算,了解复数 代数形式的加、减运算的几何意义.

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第68讲
双 向 固 基 础

数系的扩充与复数的引入

1.复数的有关概念 (1)复数的定义:形如a+bi (a,b?R)的数叫作复数,其中 i叫作虚数单位,满足i2=-1,a叫复数的 实部 ,b叫复数 的 虚部 .全体复数所成的集合叫作 复数集 ,用字母C表 示. (2)复数的分类:对于复数a+bi(a,b?R),当且仅当 b=0 时,复数a+bi(a,b?R)是实数;当 b≠0 时, 复数z=a+bi叫作虚数;当a=0且b≠0时,z= bi 叫作纯虚数. (3)复数相等:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么 我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a,b,c,d?R,那 a =c,b=d . 么a+bi=c+di? (4)共轭复数:如果两个复数的 实数部 ,而虚部互 为 相反数 ,则这两个复数互为共轭复数,即复数z=a+bi (a,b?R)的共轭复数为z= a -bi

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第68讲
双 向 固 基 础

数系的扩充与复数的引入

2.复数的四则运算 (1)in的周期性:i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1;i4n+1= , i + + i4n 2= -1 ,i4n 3= (n?Z). -i ,i4n= 1 (2)复数和的运算法则:设z1=a+bi,z2=c+d i是任意个复数,则 ( a+c)+(b-d)i z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ______________. (3)复数差的运算法则:设z1=a+bi,z2=c+d i是任意 (a-c)+(b-d)i 两个复数,则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_______________. (4)复数乘法运算规则:设z1=a+bi,z2=c+d i是任意 两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+ad i +bdi2= (ac-bd)+(ad+bc)i . (5)复数除法运算法则:设z1=a+bi,z2=c+d i(z2≠0) a+bi 是任意两个复数,则z1÷z2=(a+bi)÷ (c+d i)= = c+di

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双 向 固 基 础

数系的扩充与复数的引入

3.复数的几何意义 (1)复平面的概念:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平 面,在复平面内,x轴叫作 实轴 ,y轴叫作 虚轴 ,x轴的单位 是1,y轴的单位是i.显然,实轴上的点都表示 实数 ;除原点以 外,虚轴上的点都表示 纯虚数 . (2)复数的几何意义:复数z=a+bi(a,b?R)一一对应复平面 →. 内的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ

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数系的扩充与复数的引入

—— 链接教材 ——
1. 若复数 z=m+1+(m-1)i 为虚数, 则实数 m 的取值范围是 .

[答案] (-∞,1)∪(1,+∞)
[解析] 当虚部不等于0,即当m≠1时,复数z为虚数.

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数系的扩充与复数的引入

2.在复平面内,O 是原点,向量→ OA对应的复数 为 2+i,如点 B 是点 A 关于实轴的对称点,点 C 为点 B 关 于虚轴的对称点,则点 C 对应的复数是 .

[答案] -2-i
[解析]点C是点A关于原点的对称点,故其对应的复数 是-2-i.

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数系的扩充与复数的引入

3. 计算(1-2i) (3+4i) (-2+i)的 结果是 .

[答案] -20+15i
[解析] (1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i) =-20+15i.

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数系的扩充与复数的引入

—— 疑 难 辨 析 ——
1.复数概念辨析 (1)两个共轭复数之差是纯虚数. ( ) (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d. ( ) (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c, b=-d. ( ) 2.复数与复平面的对应 实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚 数. ( ) 3.复数大小的比较 任意两个复数不能比较大小. ( ) 4.复数实虚部的判断复数 2-3i 的实部是 2, 虚部是-3i. ( )
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数系的扩充与复数的引入

[答案] 1.(1)× (2)× (3)× 3.×

2.× 4.×

[解析]1.(1)有可能是零,也有可能是纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c, d?R). (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭?a=c,b=-d(a,b, c,d?R). 2.复平面内实轴上的点表示实数;除原点外,虚轴上的 点表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数. 3.任意两个复数不一定能比较大小,只有这两个复数全 是实数时才能比较大小. 4. 复数2-3i的实部是2,虚部是-3
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?

探究点一

复数的有关概念

点 面 讲 考 向

例 1 (1) [2013· 新课标全国卷Ⅰ]若复数 z 满足(3-4i)z =|4+3i|,则 z 的虚部为( ) 4 4 A.-4 B.- C. 4 D. 5 5 (2) [2013· 山西大学附中月考] 若复数 z=(5sinθ-3) +(5cosθ-4)i 是纯虚数,则 tanθ 的值为( ) 4 3 3 3 3 A. B.- C. D.- 或 . 3 4 4 4 4

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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要求出复数z.推理:根据已知直接求解或 者使用复数相等的充要条件得方程求解.结论:根据虚部 的概念得出虚部. (2)分析:需要得出θ的三角函数的关系.推理:根据已 知的复数是纯虚数求解.结论:根据同角三角函数关系即 得.

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[答案] (1)D (2)B
点 面 讲 考 向

|4+3i| 5(3+4i) 3 4 5 [解析] (1)方法一:z= = = =5+5i, 25 3-4i 3-4i 4 故z的虚部是 . 5 方法二:设z=a+bi(a,b?R),则(3-4i)(a+bi)=(3a+4b) 9 +(3b-4a)i=5,所以3a+4b=5且3b-4a=0,即 b+4b= 4 4 5,解得b=5. 3 4 3 (2)由题意sinθ=5且cos θ ≠5,所以tanθ=-4.

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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

归纳总结 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数等, 在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出 符合要求的解.

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点 面 讲 考 点

变式题 (1) [2013·临汾一中等四校三联] 复数 z1=3+i, z1 z2=1-i,则复数 的虚部为( ) z2 A. 2 B.-2i C.-2 D. 2i a+i (2) [2013·开封二检] 复数 z= ?R,则实数 a 3+4i 的值是( A.- 3 4 ) B. 3 4 C. 4 3 4 D.- . 3

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[答案] (1)A
点 面 讲 考 点

(2)B

z1 3+i (3+i)(1+i) 2+4i [解析] (1) = = = 2 =1+2i, z2 1-i (1-i)(1+i) 其虚部为2. a+i (a+i) (3-4i) (3a+4)+(3-4a)i (2)z= = = ?R 5 3+4i (3+4i) (3-4i) 3 ?3-4a=0,解得a=4.

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?

探究点二

复数的运算
12i 等于( ) 3+3i 1 3 3-3i D. 4- 12 i )

点 面 讲 考 点

例2

(1) [2013· 三门峡一练] i 是虚数单位, 1 3 A. 4+ 12 i B. 3+ 3i C.

1+i 2013 (2) [2013·保定一模] 若复数 z= ( ) ,则 ln|z|=( 1-i A.-2 B. 0 C. 1 D. 4

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点 面 讲 考 点

[思考流程] 分析:计算得出结果.推理:根据复数的运算法则计 算之.结论:根据要求和选项作出答案.

[答案] (1)B (2)B
12i( 3-3i) 12i [解析] (1) = =3+ 3i. 3+3i ( 3+3i)( 3-3i) 1+i (2) =i,故z=i2013=i,|z|=1,所以ln |z|=0. 1-i

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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

归纳总结 在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按 多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.复数的四 则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位 i 的看作同类项,不含 i 的看作同类项,分别合并即可. 但要注意把 i 的幂写成最简单的形式,在运算过程中, 要熟悉 i 的特点及熟练应用运算技巧.

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点 面 讲 考 点

变式题 (1) [2013· 湘西自治州一联]已知a,b均为正实数, 若复数z=(a+i)(b+i)为纯虚数,则复数z的虚部的 最小值为( ) A. 1 B. i C. 2 D. 2i 2i (2) [2013·陕西西工大附中模拟] 复数z= 的虚部是 1+i ( ) A. i B.-i C. 1 D.-1.

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[答案] (1)C (2)C
点 面 讲 考 点

[解析](1)(a+i)(b+i)为纯虚数?ab=1,z的虚部为a+b≥2 ab=2. 2i(1-i) 2i (2)z= = =1+i,所以复数z= 1+i (1+i)(1-i) 2i 的虚部是1. 1+i

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第68讲

数系的扩充与复数的引入

?

探究点三

共轭复数与模的有关问题

点 面 讲 考 点

例 3 (1) [2013· 山东卷]复数 z 满足(z-3) (2-i)= 5(i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 为( ) A. 2+i B. 2-i C. 5+i D. 5-i 2 (2) [2013· 杭州一检] 若复数 z=2i+ ,其中 i 是 1+i 虚数单位,则复数 z 的模为( ) 2 A. B. 2 C. 3 D. 2 2

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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

[思考流程] (1)分析:需要求出复数z. 推理:根据已知的复数方程求解. 结论:根据共轭复数的概念求得. (2)分析:需要求出复数z. 推理:根据复数的运算法则计算求解. 结论:根据复数模的概念求出. [答案] (1)D (2)B
[解析](1)设z=a+bi(a,b?R),由题意得(a+bi-3)(2-i)= ? ? ?2a+b-6=5, ?a=5, ? (2a+b-6)+(2b-a+3)i=5,即 解得? ? ? ?2b-a+3=0, ?b=1, ∴z=5-i. 2(1-i) 2 (2)由题意,得z=2i+ =2i+ =1+i, 1+i (1+i)(1-i) 复数z的模|z|= 12+12= 2.
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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

归纳总结
求一个复数的共轭复数、模的主要方法是把复数求 出,再根据共轭复数、模的概念得出结果.

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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

3- i 变式题 (1)[ 2013·太原调研] 复数 (i 为虚数单位) 1+ i 的共轭复数为( ) A. 1-2i B. 1+2i C.-1-2i D.-1+2i 1 (2)[ 2013·辽宁卷] 复数 z= 的模为( ) i-1 1 2 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2

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数系的扩充与复数的引入

[答案] (1)B
点 面 讲 考 点

(2)B

3-i (3-i)(1-i) 2-4i [解析] (1) = = =1-2i,故其共轭 2 2 1+i 复数为1+2i. ? 1+i? 1+i 1 2 ? ? (2)复数z= =- 2 ,所以|z|=?- =2. 2 ? i-1 ? ?

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数系的扩充与复数的引入

?

探究点四

复数的几何意义

点 面 讲 考 点

例 4 [2013· 广东卷] 若复数 iz=2+4i, 则在复平面内, z 对应的点的坐标是( ) A.(2 , 4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2).

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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

[思考流程] 分析:需要求出复数z. 推理:根据已知的复数方程求解. 结论:根据复数的几何意义求得结果.
[答案] C
[解析]设复数z=a+bi,a,b?R,则iz=i(a+bi)=-b+ai= 2+4i.由两复数相等的充要条件得b=-2,a=4,所以z=4- 2i.故在复平面内z对应的点的坐标是(4,-2).

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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

归纳总结
→ 的坐标.对复数 z=a+bi 复数对应的点的坐标就是OZ

(a,b?R),其对应的点的坐标是(a,b).

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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

变式题[2013·惠州模拟] 已知复数 z=i(1+i) (i 为 虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



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数系的扩充与复数的引入

点 面 讲 考 点

[答案] (1)D (2)2
10(3+i) 10 [解析] (1)由a- =a- =(a-3)-i, 3-i (3-i)(3+i) 10 若a- 为纯虚数,则a-3=0,即a=3. 3-i 2 ? ?m -m-2=0, (2)复数z为纯虚数?? 解得m=2. ? ?m+1≠0,

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数系的扩充与复数的引入

易错究源

24.概念理解不准致误

10 例 (1) [2013·安徽卷] 设 i 是虚数单位,若复数 a- 3-i (a?R)是纯虚数,则 a 的值为( ) A.-3 B.-1 C. 1 D. 3

多 元 提 能 力

(2) [2013·北京延庆县模拟] 若复数 z=(m2-m-2)+(m +1)i (i 为虚数单位)为纯虚数, 其中 m?R, 则 m= .

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数系的扩充与复数的引入

10(3+i) 10 [错解](1) a- =a- =a-(3+i) 3-i (3-i)(3+i) =(a-3)-i.故其为纯虚数的充要条件是a=-1①, 故选B. (2)m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.②.
多 元 提 能 力

[错因]①处混淆了纯虚数、虚数的虚部的概念,实际 上是解出的复数的虚部; ②处片面理解了纯虚数的概念,它需要满足实部等于 零且虚部不等于零..

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数系的扩充与复数的引入

[正解] (1){x|-1<x<1}
? 1? [解析](1)因为?x- i ?=|x+i|< ? ?

(2) 4

5

3.

2,所以 x2+1< 2,

多 元 提 能 力

得-1<x<1. (2)依题意 a≠0, b≠0, 所以其中的虚数为 z,z , z ,z2,共 4 个;实数为|z|,| z |,z· z ,|z|2,|z2|,共 5 个;与|z|2 相等的为 z· z ,|z2|,|z|2,共 3 个.

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数系的扩充与复数的引入

【备选理由】 下面例题具有一定的综合性,可在相应探究点中使 用.

教 师 备 用 题
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数系的扩充与复数的引入

例1[配例1使用]投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 4 6 12

[答案] C
[解析]因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数,所以n2=m2, 6 1 即m=n.则可以取1,2,…,6,共6种可能,所以P= 1 1= . C6·C6 6

教 师 备 用 题

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数系的扩充与复数的引入

例2 [配例3使用]对任意复数z=x+yi(x,y?R),i为虚数 单位,下列结论正确的是( ) A.|z-z|=2y B.z2=x2+y2 C.|z-z|≥2x D.|z|≤|x|+|y|

[答案] D
[解析] 由题意可知|z|= x2+y2= (|x|+|y|)2-2|x||y| ≤|x|+|y|.

教 师 备 用 题
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数系的扩充与复数的引入

3+i 例 3 [配例 3 使用] 已知复数 z= , z 是 z 的共 (1- 3i)2
z =( 轭复数,则 z· ) 1 1 A.4 B.2

C.1

D.2

[答案] A
3+i 3+i [解析] 方法一:由题意可知 z= = = (1- 3i)2 -2-2 3i 1 3+i 1 1 -2× =-8( 3+i)(1- 3i)=-4( 3-i). 1+ 3i ? 1 ?? 1 ? 1 ?- ( 3+i)?= . z =?- ( 3-i)?· 所以 z· ? 4 ?? 4 ? 4 ? 3+i ? | 3+i| 2 1 1 ? ? 2 z =|z| = . 方法二:由|z|=? 2?= 2= 2= ,可得 z· 2 2 4 ?(1- 3i) ? |1- 3i|
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教 师 备 用 题

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数系的扩充与复数的引入

2-i 例 2 [配例 4 使用] 复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内 2+i 对应的点所在象限为( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

[答案] D
2-i (2-i)2 3-4i [解析] 由题意可知,z= = = 2+i (2+i)(2-i) 4+1 3 4 3 4 =5-5i.又点(5,-5)在第四象限,所以该复数在复平面 内对应的点也在第四象限.

教 师 备 用 题

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