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北师大版 数列的函数特性

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1.2 数列的函数特性 从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个 定义域为正整数集 N+ (或它的有限子集 {1 , 2 ,…, n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的 一列函数值,通项公式即相应的函数解析式,即数 列是特殊的函数. y=f(x) 函数值 an 自变量 ? n 通项公式 通项公式:an与n之间的函数关系式,通项公 式即相应的函数解析式,那

么数列具有函数的哪些 特性呢?通过本节课的学习,我们会初步了解. 1.理解递增数列、递减数列、常数列的概念. (重点) 2.掌握判断数列增减性的方法.(重点、难点) 3.理解利用解析式、表格、图像表示数列的异同. 探究点 数列的函数特性 请看下面的例子 新中国成立后,我国1952~1994年间部分年份 进出口贸易总额(亿美元)数据排成一数列: 19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1 154.4, 2 367.3. 贸易总额/亿美元 2700 2400 2100 1800 1500 1200 900 600 300 0 696.0 381.4 2 367.3 1154.4 19.4 1952 31.0 1957 42.5 45.9 147.5 年份/年 1980 1985 1990 1994 1965 1970 1975 由上图可以看出我国1952~1994年部分年份, 各时期进出口贸易总额的增长变化情况. 我们可以把一个数列用图像来表示: 图1是数列①:3,4,5,6,7,8,9的图像. 图1 1 1 1 图2是数列⑤: 的图像. 1 ,,, , ? 3 5 7 an 1 1 3 O 1 2 3 4 n 图2 图3是数列⑥:2 100,2 100,2 100,…,2 100 的图像. an 2 100 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 图3 思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列 的好处. 提示:从图中可以看出,数列①的函数图像上升, 称这样的数列为递增数列;数列⑤的函数图像下降, 称这样的数列为递减数列;数列⑥称为常数列 . 想一想:你是否能归纳一下递增数列、递减数列、 常数列的概念呢? 【抽象概括】 一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一 项都大于它前面的一项,即an+1> an,那么这个数列 递增数列 叫作___________. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项, 递减数列 即an+1<an,那么这个数列叫作___________. 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作 常数列 ________. 思考:一个数列一定具有增减性吗? 提示:不一定,如数列1,-1,1,-1,1,-1,…, 这个数列不是递增数列,也不是递减数列,更不 是常数列. 例1.判断下列无穷数列的增减性. ( 1) 2,1,0, ? 1,? ,3 ? n,? 解: (1)设a n ? 3 ? n,那么 1 2 3 n (2) , , ,? , ,? 2 3 4 n ?1 an?1 ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? n, an?1 ? an ? (2 ? n) ? (3 ? n) ? ?1, 所以an?1 ? an ,因此数列{an }是递减数列. n (2)设bn ? , 那么 n ?1 n ?1 n ?1 bn ?1 ? ? , (n ? 1) ? 1 n ? 2 n ?1 n 1 bn?

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