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人教版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学必修4知识点总结


高中数学必修 4 知识点总结
第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.

§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 2、 ? ?

l . r<

br />
3、弧长公式: l ?

n?R ? ? R. 180

n?R 2 1 ? lR . 4、扇形面积公式: S ? 360 2
§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P?x, y ?,那么: sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? 2、 设点 A? x , y (设 r ? ? 为角 ? 终边上任意一点,那么:

y x

x2 ? y 2 )

sin ? ?
3、

y x y x , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? r r x y

y P T

sin ? , cos? , tan ? 在四个象限的符号和三角函数线的画法.
O

正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 4、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270 等的三角函数值. 0
?
? 6

M

Ax

?
4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

?

3? 2

2?

sin ?
cos ?

tan ?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 .

sin ? . cos ? 3、 倒数关系: tan ? cot ? ? 1
2、 商数关系: tan ? ?

§1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z )

-1-

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , 1、 诱导公式一: cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .
sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , 2、 诱导公式二: cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .

sin ?? ? ? ? ? sin ? , 3、诱导公式三: cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? . sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .

4、诱导公式四:

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? 5、诱导公式五: ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? 6、诱导公式六: ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y 1 o -1
? 2 ? ? 2

3? 2 2? 5? 3? 2

7? 2 4?

x

y=cosx
-4? -7? 2 -5? -3? 2 -2? -3? 2

? -? - 2

?

3? 2 2? 5? 2

7? 3? 2

4?

x

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

0) ( , , 1 ) ( , ?, 0) ( , y ? sin x 在 x ? [0, 2? ] 上的五个关键点为:(0, 2
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
-2-

?

3? ,) -1( , 2?, 0) . 2

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2、记住余切函数的图象:
y

y=cotx

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ?,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

-2-

图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域
x ? 2 k? ?

R
[-1,1]
?
2 , k ? Z时,y max ? 1 , k ? Z时,y min ? ?1

R
[-1,1]
x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? , k ? Z时,ymin ? ?1

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

最值
x ? 2 k? ?

?
2



周期性 奇偶性
2

T ? 2?
奇 在 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递增
2

T ? 2?
偶 在 [2k? ? ? , 2k? ] 上单调递增 在 [2k? , 2k? ? ? ] 上单调递减

T ??
奇 在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递增 2 2

单调性

k ?Z

在 [2k? ? ? , 2k? ? 3? ] 上单调递减
2 2

对称性

对称轴方程: x ? k? ? 对称中心 ( k? , 0)

?
2

对称轴方程: x ? k? 对称中心 ( k? ?

无对称轴 对称中心 (

k ?Z

?
2

, 0)

k? 2

, 0)

§1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象 1、对于函数:

y ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周期 T ?
2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

2?

?

, 初相 ? , 相位 ?x ? ? , 频率 f ?

1 T

?

2?

?

.

y ? Asin ??x ? ? ? ? B 的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩:

y ? sin x

平移

| ?| 个单位

y ?sin ? x ?? ? y ? As i n ?? ? ? x

(左加右减) 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍

2

纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移 | B | 个单位 (上加下减)

y ? Asin ??x ? ? ?
1

?

|倍

y ? Asin ??x ? ? ? ? B

② 先伸缩后平移:

y ? sin x

横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变

y ? A sin x y ? A sin ? x
1

横坐标变为原来的 | 平移
? ?

?

|倍

个单位

y? A sin ?? ? ?? x
y ? Asin ??x ? ? ? ? B

(左加右减) 平移 | B | 个单位 (上加下减)

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A, ? , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

2? ; |? |

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ?

? . |? |

对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称中心,只需令 ? x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 与

? x ? ? ? k? (k ? Z )
解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征: A ?

ymax ? ymin y ? ymin , B ? max . 2 2 ? 要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值:

?

sin ?
6? 2 4

cos?
6? 2 4

tan ?

? 12

2? 3
3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 5、 tan ?? ? ? ? ? 6、 tan ?? ? ? ? ?

tan? ?tan ? . 1?tan? tan ? tan? ?tan ? . 1?tan? tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ? 1 . 2 sin 2? 2、 cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? .
变形如下: 升幂公式: ?

?1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 2 ? ?1 ? cos 2? ? 2sin ?

?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? ?sin 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2
3、 tan 2? 4、 tan ? ?

? 2 tan? . 1 ? tan2 ?
sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2?

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
(其中辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?

b ). a

第二章:平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长度
4

??? ?

等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、 a ? b ≤ a ? b . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向规定 如下: ⑴

?a ? ? a ,
? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.

⑵当 ? ? 0 时,

2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . §2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则:

? ?

5

⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则

? ⑵△ABC 的重心坐标为 ?
⑴线段 AB 中点坐标为 1、 a ? b ? a b cos? .

x1 ? x2 2

y2 , , y1 ? 2

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3 .

?

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a . 4、 a ?
2 2

a .

2

5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵a ?

x12 ? y12

⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

?

?

? ?

?

?

?

?

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
6

3、 两向量的夹角公式

? ? a ?b co? s ? ? ? ? a b
4、点的平移公式

x1 x2 ? y1 y2 x ? y 12 ? x 2 2? y
2 1 2 2

平移前的点为 P( x, y) (原坐标) ,平移后的对应点为 P?( x?, y?) (新坐标) ,平移向量为 PP? ? (h, k ) , 则?

????

? x? ? x ? h ? y? ? y ? k .
函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (h, k ) 平移后的图像的解析式为 y ? k ? f ( x ? h).

?

§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进 行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量: 若 A、B 是直线 l 上的任意两点,则 AB 为直线 l 的一个方向向量;与 AB 平行的任意非零向量也是直 线 l 的方向向量. ⑵.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? , 则称这个向量垂直于平面 ? , 记作 n ? ? , 如果 n ? ? , 那么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. ⑶.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) . ③求出平面内两个不共线向量的坐标 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) .

??? ?

??? ?

?

?

?

?

?

?

??

? ? ? ?n ? a ? 0 ④根据法向量定义建立方程组 ? ? ? . n ? b ? 0 ? ?
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面 ? 的法向量. (如图)

2、 用向量方法判定空间中的平行关系
7

⑴线线平行 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ∥ l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) . 即:两直线平行或重合 ⑵线面平行 两直线的方向向量共线.

? ?

?

?

?

?

① (法一) 设直线 l 的方向向量是 a , 平面 ? 的法向量是 u , 则要证明 l ∥ ? , 只需证明 a ? u , 即 a ?u ? 0 . 即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. ⑶面面平行 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ∥ ? ,只需证 u ∥ v ,即证 u ? ? v . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 . 即:两直线垂直 ⑵线面垂直 两直线的方向向量垂直.

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

① (法一) 设直线 l 的方向向量是 a , 平面 ? 的法向量是 u , 则要证明 l ? ? , 只需证明 a ∥ u , 即 a ? ?u .

?

?

?

?

?

?

? ?? ? ?? ?? ? ? ?a ? m ? 0 , 则l ? ? . ②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两个相交向量分别为 m 、 n ,若 ? ? ? a ? n ? 0 ? ?
即:直线与平面垂直 直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线

若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? ,

?

?

?

?

? ?

???? ??? ? AC ? BD 则 cos ? ? ???? ??? ?. AC BD
⑵求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

王新敞
奎屯

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? ? ? ? ②求法: 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 ? 的法向量为 u , 直线与平面所成的角为 ? ,a 与 u 的夹角为 ? ,
则 ? 为 ? 的余角或 ? 的补角 的余角.即有:
8

? ? a ?u sin ? ? cos ? ? ? . a u
⑶求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面
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二面角的平面角是指在二面角 ? ?l ? ? 的棱上任取一点 O,分别在两个半平面内作射线

AO ? l , BO ? l ,则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角.
如图: ②求法:设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量分别为 m 、 n ,再设 m 、 n 的夹角为 ? ,二面角

?? ?

?? ?

?? ? ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角 ? 或其补角 ? ? ? .
根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角:

?? ? m?n ◆如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ? ?? ? , m n ?? ? m?n 即 ? ? arccos ?? ? ; m n ?? ? m?n ◆ 如果 ? 是钝角,则 cos ? ? ? cos ? ? ? ?? ? , m n
?? ? ? m?n ? 即 ? ? arccos ? ? ?? ? ? . ? m n? ? ?
5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l 距离

若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为

?

? ??? ?

1 ? ? ? ? h ? ? (| a || b |)2 ? (a ? b ) 2 |a|
⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点, 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值. 即 d ? MP cos n, MP

?

????

?

????

??????

? ???? ???? n ? M P ? MP ? ? ???? n MP

9

? ???? n ? MP ? ? n
⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等.由此可知,直线到平面的距离可转化为 求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离.

? ???? n ? MP 即d ? ? . n
⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.

? ???? n ? MP 即d ? ? . n

⑸异面直线间的距离 设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向 上投影的绝对值.

?

????

?

? ???? n ? MP 即d ? ? . n

6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直
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PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?
概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直
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P
O A

?

a

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的任一条直线,AD 是 ? 的一条斜线 AB 在 ? 内的射影,且 BD⊥AD,垂足为 D.设 AB 与 ? (AD)所成的角为 ? 1 , AD 与 AC 所成的角为 ? 2 , AB 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .

B
10

A ?

?1 ?2

?

D C

8、 面积射影定理

已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S S原 ,它在平面 ? 内的射影图形的面积为 S ? S射 ,平面 ? 与 平面 ? 所成的二面角的大小为锐二面角 ? ,则

? ?

? ?

cos? ?

S ' S射 = . S S原

9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 , 夹角分别为 ?1、? 2、?3 ,则有

l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1

? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

11


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