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2014年高考数学(辽宁卷)文


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数学(供文科考生使用)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将 自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.

回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的。 (1)已知全集 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A ? B) ? (A) {x | x ? 0} (B) {x | x ? 1} (C) {x | 0 ? x ? 1} (D) {x | 0 ? x ? 1}

(2)设复数 Z 满足 ( Z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 Z ? (A)
2 ? 3i
1

(B) 2 ? 3i

(C) 3 ? 2i

(D) 3 ? 2i

? 1 1 (3)已知 a ? 2 3 , b ? log 2 , c ? log 1 则 3 3 2

(A) a ? b ? c

(B) a ? c ? b

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b

(4)已知 m , n 表示两条不同直线, ? 表示平面。下列说法正确的是 (A) 若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n (C) 若 m ? ? , m ? n ,则 n ∥ ? (B) 若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n (D) 若 m ∥ ? , m ? n ,则 n ? ?

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(5)设 a , b , c 是非零向量,已知命题 P:若 a ? b =0, b ? c =0,则 a ? c =0 命题 Q:若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ,则下列命题中真命题是 (A) P ? Q (B) P ? Q (C) (?P) ? (?Q) (D) P ? (?Q)

(6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中, 其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为 直径的半圆内的概率是 (A)

? 2

(B)

? 4

(C)

? 6

(D)

? 8

(7)某几何体三视图如图所示, 则该几何体的体积为 (A) 8 ? (B) 8 ?

? ?
4 2

(C) 8 ? ? (D) 8 ? 2? (8)已知点 A (?2,3) 在抛物线 C : y 2 ? 2 px 的准线上, 记 C 得焦点为 F ,则直线 AF 的斜率为 :(A) ?
4 3

(B) ? 1

(C) ?

3 4

(D) ?

1 2

(9)设等差数列 {an } 的公差为 d ,若数列{ 2 (A) d ? 0 (B) d ? 0

a1an

}为递减数列,则 (D) a1d ? 0

(C) a1d ? 0

1 ? cos?x, x ? [0, ] ? ? 2 (10)已知 f ( x) 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? , ?2 x ? 1, x ? ( 1 ,??) ? 2 ?

则不等式 f ( x ? 1) ? (A) (C)

1 的解集为 2 3 1 1 2 (B) [? ,? ] ? [ , ] 4 3 4 3 3 1 1 3 (D) [? ,? ] ? [ , ] 4 3 3 4

1 2 4 7 [ , ]?[ , ] 4 3 3 4 1 3 4 7 [ , ] ?[ , ] 3 4 3 4

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(11)将函数 y ? 3 sin( 2 x ? (A) 在区间 [

?
3

) 的图像向右平移

, ] 上单调递减 12 12

? 7?

(C) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3

? 个单位长度,所得图像对应的函数 2 ? 7? (B) 在区间 [ , ] 上单调递增 12 12 ? ? (D) 在区间 [ ? , ] 上单调递增 6 3

(12)当 x ? [?2,1] 时,不等式 ax3 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (A) [?5,?3]
9 (B) [ ?6,? ] 8

(C) [?6,?2]

(D) [?4,?3]

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考生都 必须做答。第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)执行右侧的程序框图,若输入 n ? 3 , 则输出 T ? __________ (14)已知 x , y 满足约束条件
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最大值为__________.
x2 y2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合, (15)已知椭圆 C : 9 4

若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A , B , 线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? ______________ (16) 对于 c ? 0 , 当非零实数 a ,b 满足 4a 2 ? 2ab ? b 2 ? c ? 0 , 且使 | 2a ? b | 最大时,
1 2 4 ? ? 的最小值为__________. a b c

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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 且 a ? c, 已知 BA ? BC ? 2 ,
cos B ? 1 , b ? 3 . 求: 3

(Ⅰ) a 和 c 的值; (Ⅱ) cos(B ? C ) 的值 (18)(本小题满分 12 分) 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查, 调查结果如下表所示: 喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100

(Ⅰ)根据表中数据,问是否 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮 食习惯方面有差异”; (Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在 从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , ?A B C 和 ?BCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 , 且 ?ABC ? ?DBC ? 120? ,
AB ? BC ? BD ? 2 , E 、 F 、 G 分别为 AC 、 DC 、 AD 的中点.

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 BCG (Ⅱ)求三棱锥 D ? BCG 的体积. 附:椎体的体积公式 V ?
1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高. 3
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20. (本小题满分 12 分) 圆 x 2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面 积最小时,切点为 P (如图). (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ,且与直线

y ? x ? 3 交于 A , B 两点,若 ?PAB 的面积为 2 ,
求 C 的标准方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数
f ( x) ? ? ( x ? cos x) ? 2 sin x ? 2 , g ( x) ? ( x ? ? )

1 ? sin x 2 x ? ? 1. 1 ? sin x ?

? 证明: (Ⅰ)存在唯一 x? ? (0, ) ,使 f ( x? ) ? 0 ; 2 ? (Ⅱ)存在唯一 x1 ? ( , ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x? ,有 x? ? x1 ? ? . 2
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1:几何证明选讲 如图, EP 交圆于 E 、 C 两点, PD 切圆于 D , G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连 接 DG 并延长交圆于点 A ,作弦 AB 垂直 EP ,垂足为 F . (Ⅰ)求证: AB 为圆的直径; (Ⅱ)若 AC ? BD ,求证: AB ? ED .

(23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 将圆 x 2 ? y 2 ? 1 上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的 2 倍, 得曲线 C . (Ⅰ)写出 C 的参数方程;
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(Ⅱ)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1,P 2 ,以坐标原点为极点, x 轴正半 轴为极坐标建立极坐标系,求过线段 P 1 P 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1 | ? x ? 1 , g ( x) ? 16x 2 ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M ,
g ( x) ? 4 的解集为 N .

(Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)当 x ? M ? N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)] 2 ?
1 . 4

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